अतिपरवलिक आंशिक अवकल समीकरण

गणित में, क्रम का एक अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण $n$ एक आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) है, जो मोटे तौर पर बोल रहा है, पहले के लिए एक अच्छी तरह से प्रस्तुत प्रारंभिक मूल्य समस्या है $n-1$ डेरिवेटिव। अधिक सटीक रूप से, किसी भी गैर-विशेषता वाले हाइपरसफेस के साथ मनमाने प्रारंभिक डेटा के लिए कॉची समस्या को स्थानीय रूप से हल किया जा सकता है। यांत्रिकी के कई समीकरण अतिशयोक्तिपूर्ण हैं, और इसलिए अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरणों का अध्ययन पर्याप्त समकालीन रुचि का है। मॉडल अतिपरवलयिक समीकरण तरंग समीकरण है। एक स्थानिक आयाम में, यह है

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

समीकरण में संपत्ति है कि, यदि यू और इसकी पहली बार डेरिवेटिव मनमाने ढंग से रेखा पर प्रारंभिक डेटा निर्दिष्ट कर रहे हैं t = 0 (पर्याप्त चिकनाई गुणों के साथ), तो हर समय टी के लिए एक समाधान मौजूद है।

अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरणों के समाधान लहर की तरह हैं। यदि अतिशयोक्तिपूर्ण अंतर समीकरण के प्रारंभिक डेटा में गड़बड़ी की जाती है, तो अंतरिक्ष के हर बिंदु पर एक बार में गड़बड़ी महसूस नहीं होती है। एक निश्चित समय समन्वय के सापेक्ष, गड़बड़ी की एक सीमित प्रसार गति होती है। वे समीकरण की विशेषताओं की विधि के साथ यात्रा करते हैं। यह गुण गुणात्मक रूप से अतिपरवलयिक समीकरणों को अण्डाकार आंशिक अवकल समीकरणों और परवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों से अलग करता है। एक अण्डाकार या परवलयिक समीकरण के प्रारंभिक (या सीमा) डेटा का एक गड़बड़ी एक बार डोमेन में अनिवार्य रूप से सभी बिंदुओं द्वारा महसूस किया जाता है।

यद्यपि अतिशयोक्ति की परिभाषा मौलिक रूप से एक गुणात्मक है, ऐसे सटीक मानदंड हैं जो विचाराधीन विशेष प्रकार के अंतर समीकरण पर निर्भर करते हैं। माइक्रोलोकल विश्लेषण के संदर्भ में, लार्स गार्डिंग के कारण रैखिक विभेदक ऑपरेटरों के लिए एक अच्छी तरह से विकसित सिद्धांत है। अरैखिक अवकल समीकरण अतिपरवलयिक होते हैं यदि उनका रैखिकीकरण गर्डिंग के अर्थ में अतिशयोक्तिपूर्ण हो। संरक्षण कानून (भौतिकी) के सिस्टम से आने वाले समीकरणों के पहले क्रम के सिस्टम के लिए कुछ अलग सिद्धांत है।

परिभाषा

आंशिक अंतर समीकरण एक बिंदु पर अतिशयोक्तिपूर्ण है $P$ बशर्ते कि कौची समस्या के पड़ोस में विशिष्ट रूप से हल करने योग्य हो $P$ किसी गैर-विशेषता वाले हाइपरसफेस से गुजरने वाले किसी भी प्रारंभिक डेटा के लिए $P$. यहां निर्धारित प्रारंभिक डेटा में अंतर समीकरण के क्रम की तुलना में सतह पर फ़ंक्शन के सभी (अनुप्रस्थ) डेरिवेटिव शामिल हैं।

उदाहरण

चर के रैखिक परिवर्तन से, प्रपत्र का कोई भी समीकरण

$A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0$

साथ

$B^{2}-AC>0$

समीकरण की गुणात्मक समझ के लिए आवश्यक निचले क्रम की शर्तों के अलावा, लहर समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है। यह परिभाषा समतलीय अतिपरवलय#द्विघात समीकरण की परिभाषा के अनुरूप है।

एक आयामी तरंग समीकरण:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$

अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरण का एक उदाहरण है। द्वि-आयामी और त्रि-आयामी तरंग समीकरण भी हाइपरबॉलिक पीडीई की श्रेणी में आते हैं। इस प्रकार के दूसरे क्रम के अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण को प्रथम कोटि के अवकल समीकरणों के अतिपरवलयिक तंत्र में रूपांतरित किया जा सकता है।

आंशिक अंतर समीकरणों की अतिपरवलयिक प्रणाली

निम्नलिखित की एक प्रणाली है $s$ के लिए प्रथम कोटि आंशिक अवकल समीकरण $s$ अज्ञात फ़ंक्शन (गणित) एस ${\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})$, ${\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)$, कहां ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}$:

${\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f^{j}}}({\vec {u}})=0,$

(∗)

कहां ${\vec {f^{j}}}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d$ एक बार सतत कार्य विभेदक कार्य कार्य होते हैं, सामान्य रूप से अरैखिक।

अगला, प्रत्येक के लिए ${\vec {f^{j}}}$ को परिभाषित करो $s\times s$ जैकबियन मैट्रिक्स

$A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.$

प्रणाली (∗) अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि सभी के लिए $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R}$ साँचा $A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}$ केवल वास्तविक संख्या eigenvalues ​​​​हैं और विकर्ण मैट्रिक्स है।

यदि मैट्रिक्स $A$ विशिष्ट वास्तविक eigenvalues ​​​​हैं, यह इस प्रकार है कि यह विकर्ण है। इस मामले में प्रणाली (∗) सख्ती से अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है।

यदि मैट्रिक्स $A$ सममित है, यह इस प्रकार है कि यह विकर्णीय है और आइगेनवैल्यू वास्तविक हैं। इस मामले में प्रणाली (∗) सममित अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणाली और संरक्षण कानून

एक अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणाली और एक संरक्षण कानून (भौतिकी) के बीच एक संबंध है। एक अज्ञात फलन के लिए एक आंशिक अवकल समीकरण के अतिपरवलयिक तंत्र पर विचार करें $u=u({\vec {x}},t)$. तब प्रणाली (∗) का रूप है

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.$

(∗∗)

यहां, $u$ द्वारा दिए गए प्रवाह के अनुसार घूमने वाली मात्रा के रूप में व्याख्या की जा सकती है ${\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})$. यह देखने के लिए कि मात्रा $u$ संरक्षित है, इंटीग्रल (∗∗) एक डोमेन पर $\Omega$

$\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.$

यदि $u$ और ${\vec {f}}$ पर्याप्त रूप से सुचारू कार्य हैं, हम विचलन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और एकीकरण के क्रम को बदल सकते हैं और $\partial /\partial t$ मात्रा के लिए एक संरक्षण कानून प्राप्त करने के लिए $u$ सामान्य रूप में

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,$

जिसका अर्थ है कि परिवर्तन की समय दर $u$ डोमेन में $\Omega$ के शुद्ध प्रवाह के बराबर है $u$ इसकी सीमा के माध्यम से $\partial \Omega$. चूंकि यह एक समानता है, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है $u$ के भीतर संरक्षित है $\Omega$.

यह भी देखें

• अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण
• हाइपोएलिप्टिक ऑपरेटर
• परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण

आगे की पढाई

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

बाहरी कड़ियाँ

• "Hyperbolic partial differential equation, numerical methods", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Linear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Nonlinear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.