वेब्लेन फलन

गणित में, वेब्लेन फलन, सामान्य फलन का पदानुक्रम है (क्रमवाचक संख्या से क्रमांक तक कठोरता से बढ़ते फलन) , जिसे वेबलेन (1908) में ओसवाल्ड वेब्लेन द्वारा प्रस्तुत किया गया। यदि φ₀ कोई सामान्य कार्य है, तो किसी भी गैर-शून्य क्रमिक α के लिए, φ_α β<α के लिए φ_β के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करने वाला कार्य है। ये सभी सामान्य कार्य हैं।

वेब्लेन पदानुक्रम

विशेष स्थिति में जब φ₀(α) = ω^α कार्यों के इस परिवार को वेब्लेन पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है। फलन φ₁, ε फलन के समान है: φ₁(α) = ε_α यदि $\alpha <\beta \,,$ तब $\varphi _{\alpha }(\varphi _{\beta }(\gamma ))=\varphi _{\beta }(\gamma )$ होता है। इससे और तथ्य यह है कि φ_β कठोरता से बढ़ रहा है हम आदेश प्राप्त करते हैं: $\varphi _{\alpha }(\beta )<\varphi _{\gamma }(\delta )$ यदि और केवल यदि या तो ($\alpha =\gamma$ और $\beta <\delta$) या ($\alpha <\gamma$ और $\beta <\varphi _{\gamma }(\delta )$) या ($\alpha >\gamma$ और $\varphi _{\alpha }(\beta )<\delta$) होता है।

वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रम

cofinality ω के साथ क्रमसूचक के लिए मौलिक अनुक्रम विशिष्ट रूप से बढ़ता हुआ ω-अनुक्रम है जिसकी सीमा के रूप में क्रमसूचक है। यदि किसी के पास α और सभी छोटे सीमा अध्यादेशों के लिए मौलिक अनुक्रम हैं, तो कोई ω और α के बीच स्पष्ट रचनात्मक आक्षेप बना सकता है, (अर्थात पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग नहीं कर रहा है)। यहां हम ऑर्डिनल्स के वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रमों का वर्णन करेंगे। α के मौलिक अनुक्रम के तहत n की छवि α[n] द्वारा इंगित की जाएगी।

वेब्लेन पदानुक्रम के संबंध में उपयोग किए जाने वाले सामान्य अंकगणित # कैंटर सामान्य रूप की भिन्नता है - प्रत्येक गैर-शून्य क्रमिक संख्या α को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है $\alpha =\varphi _{\beta _{1}}(\gamma _{1})+\varphi _{\beta _{2}}(\gamma _{2})+\cdots +\varphi _{\beta _{k}}(\gamma _{k})$, जहाँ k>0 प्राकृत संख्या है और पहले के बाद का प्रत्येक पद पिछले पद से कम या बराबर है, $\varphi _{\beta _{m}}(\gamma _{m})\geq \varphi _{\beta _{m+1}}(\gamma _{m+1})\,,$ और प्रत्येक $\gamma _{m}<\varphi _{\beta _{m}}(\gamma _{m})\,.$ यदि अंतिम पद के लिए मौलिक अनुक्रम प्रदान किया जा सकता है, तो उस पद को प्राप्त करने के लिए ऐसे अनुक्रम से प्रतिस्थापित किया जा सकता है $\alpha [n]=\varphi _{\beta _{1}}(\gamma _{1})+\cdots +\varphi _{\beta _{k-1}}(\gamma _{k-1})+(\varphi _{\beta _{k}}(\gamma _{k})[n])\,.$ किसी भी β के लिए, यदि γ सीमा है $\gamma <\varphi _{\beta }(\gamma )\,,$ तो करने दें $\varphi _{\beta }(\gamma )[n]=\varphi _{\beta }(\gamma [n])\,.$ ऐसा कोई क्रम प्रदान नहीं किया जा सकता है $\varphi _{0}(0)$ = ओ⁰ = 1 क्योंकि इसमें अंतिमता ω नहीं है।

के लिए $\varphi _{0}(\gamma +1)=\omega ^{\gamma +1}=\omega ^{\gamma }\cdot \omega \,,$ हम चुनते हैं $\varphi _{0}(\gamma +1)[n]=\varphi _{0}(\gamma )\cdot n=\omega ^{\gamma }\cdot n\,.$ के लिए $\varphi _{\beta +1}(0)\,,$ हम उपयोग करते हैं $\varphi _{\beta +1}(0)[0]=0$ और $\varphi _{\beta +1}(0)[n+1]=\varphi _{\beta }(\varphi _{\beta +1}(0)[n])\,,$ अर्थात। 0, $\varphi _{\beta }(0)$, $\varphi _{\beta }(\varphi _{\beta }(0))$, वगैरह..

के लिए $\varphi _{\beta +1}(\gamma +1)$, हम उपयोग करते हैं $\varphi _{\beta +1}(\gamma +1)[0]=\varphi _{\beta +1}(\gamma )+1$ और $\varphi _{\beta +1}(\gamma +1)[n+1]=\varphi _{\beta }(\varphi _{\beta +1}(\gamma +1)[n])\,.$ अब मान लीजिए कि β सीमा है:

यदि $\beta <\varphi _{\beta }(0)$, तो करने दें $\varphi _{\beta }(0)[n]=\varphi _{\beta [n]}(0)\,.$ के लिए $\varphi _{\beta }(\gamma +1)$, उपयोग $\varphi _{\beta }(\gamma +1)[n]=\varphi _{\beta [n]}(\varphi _{\beta }(\gamma )+1)\,.$ अन्यथा, छोटे अध्यादेशों के उपयोग के संदर्भ में क्रमसूचक का वर्णन नहीं किया जा सकता है $\varphi$ और यह योजना उस पर लागू नहीं होती है।

Γ समारोह

फ़ंक्शन Γ ऑर्डिनल्स α की गणना करता है जैसे कि φ_α(0) = ए। सी₀ Feferman-Schütte क्रमसूचक है, अर्थात यह सबसे छोटा α है जैसे कि φ_α(0) = ए।

जी के लिए₀, मौलिक अनुक्रम को चुना जा सकता है $\Gamma _{0}[0]=0$ और $\Gamma _{0}[n+1]=\varphi _{\Gamma _{0}[n]}(0)\,.$ जी के लिए_β+1, होने देना $\Gamma _{\beta +1}[0]=\Gamma _{\beta }+1$ और $\Gamma _{\beta +1}[n+1]=\varphi _{\Gamma _{\beta +1}[n]}(0)\,.$ जी के लिए_β कहाँ $\beta <\Gamma _{\beta }$ सीमा है, चलो $\Gamma _{\beta }[n]=\Gamma _{\beta [n]}\,.$

सामान्यीकरण

अंत में कई चर

तर्कों की परिमित संख्या (अंतिम वेब्लेन फ़ंक्शन) के वेब्लेन फ़ंक्शन का निर्माण करने के लिए, बाइनरी फ़ंक्शन दें $\varphi (\alpha ,\gamma )$ होना $\varphi _{\alpha }(\gamma )$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।

होने देना $z$ खाली स्ट्रिंग या या से अधिक अल्पविराम से अलग किए गए शून्य से युक्त स्ट्रिंग हो $0,0,...,0$ और $s$ खाली स्ट्रिंग या या से अधिक कॉमा-सेपरेटेड ऑर्डिनल्स से युक्त स्ट्रिंग हो $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ साथ $\alpha _{1}>0$. बाइनरी फ़ंक्शन $\varphi (\beta ,\gamma )$ रूप में लिखा जा सकता है $\varphi (s,\beta ,z,\gamma )$ जहां दोनों $s$ और $z$ खाली तार हैं। अंतिम वेब्लेन कार्यों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

• $\varphi (\gamma )=\omega ^{\gamma }$
• $\varphi (z,s,\gamma )=\varphi (s,\gamma )$
• यदि $\beta >0$, तब $\varphi (s,\beta ,z,\gamma )$ दर्शाता है $(1+\gamma )$कार्यों का सामान्य निश्चित बिंदु $\xi \mapsto \varphi (s,\delta ,\xi ,z)$ प्रत्येक के लिए $\delta <\beta$

उदाहरण के लिए, $\varphi (1,0,\gamma )$ है $(1+\gamma )$- कार्यों का निश्चित बिंदु $\xi \mapsto \varphi (\xi ,0)$, अर्थात् $\Gamma _{\gamma }$; तब $\varphi (1,1,\gamma )$ उस फ़ंक्शन के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है, अर्थात $\xi \mapsto \Gamma _{\xi }$ समारोह; और $\varphi (2,0,\gamma )$ सभी के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है $\xi \mapsto \varphi (1,\xi ,0)$. सामान्यीकृत वेब्लेन फ़ंक्शंस का प्रत्येक उदाहरण अंतिम नॉनज़रो वेरिएबल में निरंतर है (यानी, यदि वेरिएबल को अलग-अलग बनाया जाता है और बाद के सभी वेरिएबल्स को लगातार शून्य के बराबर रखा जाता है)।

क्रमसूचक $\varphi (1,0,0,0)$ कभी-कभी एकरमैन ऑर्डिनल के रूप में जाना जाता है। की सीमा $\varphi (1,0,...,0)$ जहां शून्य की संख्या ω से अधिक होती है, उसे कभी-कभी छोटे वेब्लेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है छोटा वेब्लेन ऑर्डिनल।

प्रत्येक गैर-शून्य क्रमसूचक $\alpha$ छोटे वेब्लेन ऑर्डिनल (एसवीओ) से कम विशिष्ट वेब्लेन फ़ंक्शन के लिए सामान्य रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है:

$\alpha =\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k})$ कहाँ

• $k$ सकारात्मक पूर्णांक है
• $\varphi (s_{1})\geq \varphi (s_{2})\geq \cdots \geq \varphi (s_{k})$
• $s_{m}$ स्ट्रिंग है जिसमें या से अधिक कॉमा-सेपरेटेड ऑर्डिनल्स होते हैं $\alpha _{m,1},\alpha _{m,2},...,\alpha _{m,n_{m}}$ कहाँ $\alpha _{m,1}>0$ और प्रत्येक $\alpha _{m,i}<\varphi (s_{m})$

=== अंतिम वेब्लेन फ़ंक्शन === की सीमा क्रम के लिए मौलिक अनुक्रम

सीमा अध्यादेशों के लिए $\alpha <SVO$, परिमित वेब्लेन फ़ंक्शन के लिए सामान्य रूप में लिखा गया है:

• $(\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k}))[n]=\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k})[n]$,
• $\varphi (\gamma )[n]=\left\{{\begin{array}{lcr}n\quad {\text{if}}\quad \gamma =1\\\varphi (\gamma -1)\cdot n\quad {\text{if}}\quad \gamma \quad {\text{is a successor ordinal}}\\\varphi (\gamma [n])\quad {\text{if}}\quad \gamma \quad {\text{is a limit ordinal}}\\\end{array}}\right.$,
• $\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[0]=0$ और $\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n+1]=\varphi (s,\beta -1,\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n],z)$ यदि $\gamma =0$ और $\beta$ उत्तराधिकारी क्रमसूचक है,
• $\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[0]=\varphi (s,\beta ,z,\gamma -1)+1$ और $\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n+1]=\varphi (s,\beta -1,\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n],z)$ यदि $\gamma$ और $\beta$ उत्तराधिकारी अध्यादेश हैं,
• $\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n]=\varphi (s,\beta ,z,\gamma [n])$ यदि $\gamma$ सीमा क्रमसूचक है,
• $\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n]=\varphi (s,\beta [n],z,\gamma )$ यदि $\gamma =0$ और $\beta$ सीमा क्रमसूचक है,
• $\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n]=\varphi (s,\beta [n],\varphi (s,\beta ,z,\gamma -1)+1,z)$ यदि $\gamma$ उत्तराधिकारी क्रमसूचक है और $\beta$ सीमा क्रमसूचक है।

ट्रांसफिनिटली कई वेरिएबल्स

अधिक आम तौर पर, वेब्लेन ने दिखाया कि φ को ऑर्डिनल्स α के ट्रांसफ़िनेट अनुक्रम के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है_β, बशर्ते कि उनमें से परिमित संख्या को छोड़कर सभी शून्य हों। ध्यान दें कि यदि ऑर्डिनल्स का ऐसा क्रम उन बेशुमार नियमित कार्डिनल κ से कम में से चुना जाता है, तो अनुक्रम को κ से कम एकल ऑर्डिनल के रूप में एन्कोड किया जा सकता है।^k (क्रमिक घातांक)। अतः कोई k से फलन φ को परिभाषित कर रहा है^κ में κ.

परिभाषा इस प्रकार दी जा सकती है: मान लीजिए α क्रमसूचकों का पार परिमित अनुक्रम है (अर्थात् परिमित समर्थन वाला क्रमसूचक फलन) जो शून्य पर समाप्त होता है (अर्थात्, ऐसा कि α₀=0), और माना α[γ@0] उसी फ़ंक्शन को इंगित करता है जहां अंतिम 0 को γ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। फिर γ↦φ(α[γ@0]) को फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है जो सभी फ़ंक्शन के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करता है ξ↦φ(β) जहां β उन सभी अनुक्रमों पर है जो α के सबसे छोटे-अनुक्रमित गैर-शून्य मान को घटाकर और कुछ छोटे-अनुक्रमित मान को अनिश्चित ξ (यानी, β) के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। =<यू>α</यू>[ζ@ι₀, ξ@ι] का अर्थ है कि सबसे छोटी अनुक्रमणिका ι के लिए₀ ऐसा है कि α_ι0 अशून्य है बाद वाले को कुछ मान ζ<α से बदल दिया गया है उप>मैं₀ और वह कुछ छोटे सूचकांक ι<ι के लिए उप>0</उप>, मान α_ι= 0 को ξ से बदल दिया गया है)।

उदाहरण के लिए, यदि α=(1@ω) ω और 0 पर मान 1 के साथ ट्रांसफिनिट अनुक्रम को दर्शाता है, तो φ(1@ω) सभी कार्यों का सबसे छोटा निश्चित बिंदु है ξ↦ φ(ξ,0,...,0) बहुत सारे अंतिम शून्य के साथ (यह φ(1,0,...,0) की सीमा भी है जिसमें बहुत सारे शून्य हैं, छोटा वेब्लेन क्रमसूचक)।

सबसे छोटा क्रमिक α ऐसा है कि α φ से अधिक है जो α में समर्थन के साथ किसी भी फ़ंक्शन पर लागू होता है (यानी, जिसे नीचे से कई चरों के वेब्लेन फ़ंक्शन का उपयोग करके नहीं पहुँचा जा सकता है) को कभी-कभी बड़े वेबलेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है। बड़ा Veblen क्रमसूचक, या महान Veblen संख्या।

मूल्य

फलन कई प्रमुख मान लेता है:

• $\varphi (\omega ,0)$, सूक्ष्मता से कई फलन प्रतीकों के साथ पुनरावर्ती पथ क्रमों के क्रम प्रकारों पर सीमित होते है।
• फेफ़रमैन-शुट्टे क्रमसूचक $\Gamma _{0}$ के समान $\varphi (1,0,0)$है।
• लघु वेब्लेन क्रमसूचक $\varphi {\begin{pmatrix}1\\\omega \end{pmatrix}}$ के समान होता है।

संदर्भ

• Hilbert Levitz, Transfinite Ordinals and Their Notations: For The Uninitiated, expository article (8 pages, in PostScript)
• Pohlers, Wolfram (1989), Proof theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1407, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-46825-7, ISBN 978-3-540-51842-6, MR 1026933
• Schütte, Kurt (1977), Proof theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 225, Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. xii+299, ISBN 978-3-540-07911-8, MR 0505313
• Takeuti, Gaisi (1987), Proof theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 81 (Second ed.), Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-87943-1, MR 0882549
• Smorynski, C. (1982), "The varieties of arboreal experience", Math. Intelligencer, 4 (4): 182–189, doi:10.1007/BF03023553 contains an informal description of the Veblen hierarchy.
• Veblen, Oswald (1908), "Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals", Transactions of the American Mathematical Society, 9 (3): 280–292, doi:10.2307/1988605, JSTOR 1988605
• Miller, Larry W. (1976), "Normal Functions and Constructive Ordinal Notations", The Journal of Symbolic Logic, 41 (2): 439–459, doi:10.2307/2272243, JSTOR 2272243