अबीजीय फलन

गणित में, एक पारलौकिक फलन एक विश्लेषणात्मक फलन होता है जो एक बीजगणितीय फलन के विपरीत एक बहुपद समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, एक पारलौकिक कार्य बीजगणित से आगे निकल जाता है क्योंकि इसे बीजगणितीय रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

पारलौकिक कार्यों के उदाहरणों में घातीय कार्य, लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्य शामिल हैं।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक वास्तविक या जटिल चर z का एक विश्लेषणात्मक कार्य f(z) पारलौकिक है यदि यह उस चर से बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है। इसे कई चरों के कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है।

इतिहास

ट्रान्सेंडैंटल फलन साइन और कोज्या पुरातनता में भौतिक माप से त्रिकोणमितीय तालिकाएँ थीं, जैसा कि ग्रीस (हिप्पार्कस) और भारत (जाओ और कोटि-जय) में प्रमाणित है। टॉलेमी की तारों की तालिका का वर्णन करते हुए, sines की तालिका के बराबर, ओलाफ पेडरसन ने लिखा:

The mathematical notion of continuity as an explicit concept is unknown to Ptolemy. That he, in fact, treats these functions as continuous appears from his unspoken presumption that it is possible to determine a value of the dependent variable corresponding to any value of the independent variable by the simple process of linear interpolation.

इन परिपत्र कार्यों की एक क्रांतिकारी समझ 17 वीं शताब्दी में हुई और लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1748 में अपने परिचय में अनंत के विश्लेषण में इसका पता लगाया गया। ये प्राचीन पारलौकिक कार्य आयताकार हाइपरबोला xy = 1 के चतुष्कोण (गणित) के माध्यम से 1647 में ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट द्वारा निरंतर कार्यों के रूप में जाने जाते हैं, आर्किमिडीज़ द्वारा पैराबोला के चतुर्भुज का उत्पादन करने के दो सहस्राब्दियों के बाद।

हाइपरबोला के अंतर्गत क्षेत्र को सीमा के निरंतर अनुपात के लिए स्थिर क्षेत्र की प्रवर्धन संपत्ति के रूप में दिखाया गया था। अतिशयोक्तिपूर्ण लघुगणक फलन का वर्णन 1748 तक सीमित सेवा का था, जब लियोनहार्ड यूलर ने इसे उन कार्यों से संबंधित किया था जहां एक निरंतर एक चर घातांक के लिए उठाया जाता है, जैसे कि घातीय फलन जहां निरंतर आधार (घातांक) e (गणितीय स्थिरांक) है। इन पारलौकिक कार्यों को शुरू करने और एक व्युत्क्रम कार्य का अर्थ करने वाली आपत्ति संपत्ति को ध्यान में रखते हुए, प्राकृतिक लघुगणक के बीजगणितीय जोड़तोड़ के लिए कुछ सुविधा प्रदान की गई थी, भले ही यह बीजगणितीय कार्य न हो।

घातीय कार्य लिखा है $\exp(x)=e^{x}$. यूलर ने इसकी पहचान अनंत श्रृंखला से की ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$, कहाँ कश्मीर! k के भाज्य को दर्शाता है।

इस श्रृंखला के सम और विषम पद cosh(x) और sinh(x) को दर्शाने वाले योग प्रदान करते हैं, ताकि $e^{x}=\cosh x+\sinh x$. इन अनुवांशिक अतिपरवलयिक कार्यों को (-1) शुरू करके परिपत्र कार्यों sine और cosine में परिवर्तित किया जा सकता है।^k श्रृंखला में, जिसके परिणामस्वरूप वैकल्पिक श्रृंखला होती है। यूलर के बाद, गणितज्ञ जटिल संख्या अंकगणित में अक्सर यूलर के सूत्र के माध्यम से cosine और cosine को लघुगणक और प्रतिपादक कार्यों के उत्थान से संबंधित करने के लिए देखते हैं।

उदाहरण

निम्नलिखित कार्य पारलौकिक हैं:

$$f_{1}(x)=x^{\pi }$$

$$f_{2}(x)=c^{x}$$

$$f_{3}(x)=x^{x}$$

$$f_{4}(x)=x^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{x}}$$

$$f_{5}(x)=\log _{c}x$$

$$f_{6}(x)=\sin {x}$$

दूसरे फलन के लिए $f_{2}(x)$, अगर हम सेट करते हैं$c$के बराबर$e$, चरघातांकी फलन, तो हमें वह मिलता है $e^{x}$ एक पारलौकिक कार्य है। इसी तरह, अगर हम सेट करते हैं$c$के बराबर$e$में $f_{5}(x)$, तो हमें वह मिलता है $f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x$ (अर्थात, प्राकृतिक लघुगणक) एक पारलौकिक कार्य है।

बीजगणितीय और पारलौकिक कार्य

Further information: Elementary function (differential algebra)

सबसे परिचित पारलौकिक कार्य लघुगणक, घातीय कार्य (किसी भी गैर-तुच्छ आधार के साथ), त्रिकोणमितीय कार्य और अतिपरवलयिक कार्य और इन सभी के व्युत्क्रम कार्य हैं। कम परिचित गणितीय विश्लेषण के विशेष कार्य हैं, जैसे कि गामा समारोह, दीर्घवृत्तीय फलन और जीटा समारोह, जो सभी ट्रान्सेंडैंटल हैं। सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय फलन और बेसेल समारोह फलन सामान्य रूप से पारलौकिक हैं, लेकिन कुछ विशेष पैरामीटर मानों के लिए बीजगणितीय हैं।

एक कार्य जो पारलौकिक नहीं है वह बीजगणितीय है। बीजगणितीय कार्यों के सरल उदाहरण तर्कसंगत कार्य और वर्गमूल कार्य हैं, लेकिन सामान्य तौर पर, बीजगणितीय कार्यों को प्राथमिक कार्यों के परिमित सूत्रों के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है। कई बीजगणितीय कार्यों का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग पारलौकिक है। उदाहरण के लिए, अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के प्रयास में लघुगणक फलन गुणक व्युत्क्रम से उत्पन्न हुआ।

डिफरेंशियल बीजगणित जांच करता है कि कैसे एकीकरण अक्सर ऐसे कार्यों का निर्माण करता है जो बीजीय रूप से कुछ वर्ग से स्वतंत्र होते हैं, जैसे कि जब कोई चर के रूप में त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ बहुपद लेता है।

भावातीत रूप से पारलौकिक कार्य

गणितीय भौतिकी के विशेष कार्यों सहित अधिकांश परिचित ट्रान्सेंडैंटल फलन , बीजगणितीय अंतर समीकरणों के समाधान हैं। जो नहीं हैं, जैसे कि गामा फलन और ज़ेटा फलन , उन्हें ट्रान्सेंडैंटली ट्रान्सेंडैंटल या हाइपरट्रांसेंडेंटल फ़ंक्शन फलन कहा जाता है।

असाधारण सेट

यदि $f$ एक बीजगणितीय कार्य है और $\alpha$ तब एक बीजगणितीय संख्या है $f(\alpha )$ एक बीजगणितीय संख्या भी है। इसका विलोम सत्य नहीं है: संपूर्ण कार्य हैं $f$ ऐसा है कि $f(\alpha )$ किसी भी बीजगणितीय के लिए एक बीजगणितीय संख्या है $\alpha .$ किसी दिए गए ट्रान्सेंडैंटल फलन के लिए बीजगणितीय परिणाम देने वाले बीजगणितीय संख्याओं के सेट को उस फलन का असाधारण सेट कहा जाता है। औपचारिक रूप से इसे परिभाषित किया गया है:

$${\mathcal {E}}(f)=\left\{\alpha \in {\overline {\mathbf {Q} }}\,:\,f(\alpha )\in {\overline {\mathbf {Q} }}\right\}.$$

कई उदाहरणों में असाधारण सेट काफी छोटा होता है। उदाहरण के लिए, ${\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},$ यह 1882 में फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन द्वारा सिद्ध किया गया था। विशेष रूप से exp(1) = e पारलौकिक है। इसके अलावा, चूंकि exp(iπ) = −1 बीजगणितीय है हम जानते हैं कि iπ बीजीय नहीं हो सकता। तब से i बीजगणितीय है इसका तात्पर्य है कि π एक पारलौकिक संख्या है।

सामान्य तौर पर, किसी फलन के असाधारण सेट को ढूंढना एक कठिन समस्या है, लेकिन अगर इसकी गणना की जा सकती है तो यह अक्सर पारलौकिक संख्या सिद्धांत में परिणाम दे सकता है। यहाँ कुछ अन्य ज्ञात असाधारण सेट हैं:

• क्लेन का जे-इनवेरिएंट
  $${\mathcal {E}}(j)=\left\{\alpha \in \mathbf {H} \,:\,[\mathbf {Q} (\alpha ):\mathbf {Q} ]=2\right\},$$
  जहां H ऊपरी आधा विमान है, और [Q(α): Q] बीजगणितीय संख्या क्षेत्र Q(α) के क्षेत्र विस्तार की डिग्री है। यह परिणाम थियोडोर श्नाइडर के कारण है।
• आधार 2 में घातीय फलन:
  $${\mathcal {E}}(2^{x})=\mathbf {Q} ,$$
  यह परिणाम गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय का परिणाम है, जिसमें कहा गया है कि अगर $\alpha \neq 0,1$ बीजगणितीय है, और $\beta$ तब बीजगणितीय और अपरिमेय है $\alpha ^{\beta }$ पारलौकिक है। इस प्रकार फलन 2^x को c से बदला जा सकता है^x किसी भी बीजगणितीय c के लिए जो 0 या 1 के बराबर नहीं है। दरअसल, हमारे पास:
  $${\mathcal {E}}(x^{x})={\mathcal {E}}\left(x^{\frac {1}{x}}\right)=\mathbf {Q} \setminus \{0\}.$$
• पारलौकिक संख्या सिद्धांत में शैनुअल के अनुमान का एक परिणाम यह होगा ${\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset$.
• खाली असाधारण सेट वाला एक फलन जिसे शानुएल के अनुमान को मानने की आवश्यकता नहीं है $f(x)=\exp(1+\pi x)$.

किसी दिए गए फलन के लिए असाधारण सेट की गणना करना आसान नहीं है, यह ज्ञात है कि बीजगणितीय संख्याओं के किसी भी उपसमुच्चय को ए कहते हैं, एक पारलौकिक कार्य है जिसका असाधारण सेट ए है। उपसमुच्चय को उचित होने की आवश्यकता नहीं है, जिसका अर्थ है कि A बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय हो सकता है। इसका सीधा अर्थ है कि पारलौकिक कार्य मौजूद हैं जो पारलौकिक संख्याएँ तभी उत्पन्न करते हैं जब पारलौकिक संख्याएँ दी जाती हैं। एलेक्स विल्की ने यह भी साबित कर दिया कि ऐसे पारलौकिक कार्य मौजूद हैं जिनके लिए उनके पारगमन के बारे में प्रथम-क्रम-तर्क प्रमाण एक अनुकरणीय विश्लेषणात्मक कार्य प्रदान करके मौजूद नहीं हैं।

विमीय विश्लेषण

आयामी विश्लेषण में, पारलौकिक कार्य उल्लेखनीय हैं क्योंकि वे तभी समझ में आते हैं जब उनका तर्क आयामहीन होता है (संभवतः बीजगणितीय कमी के बाद)। इस वजह से, पारलौकिक कार्य आयामी त्रुटियों का एक आसानी से पता लगाने का स्त्रोत हो सकता है। उदाहरण के लिए, log(5 मीटर) एक बेतुका एक्सप्रेशन है, इसके विपरीत log(5 metres / 3 metres) या log(3) मीटर। log (5) + log (मीटर) प्राप्त करने के लिए कोई लघुगणक पहचान लागू करने का प्रयास कर सकते हैं, जो समस्या को प्रमुखता से दिखा सकता है, : एक गैर-बीजगणितीय ऑपरेशन को एक आयाम पर लागू करने से अर्थहीन परिणाम पैदा होते हैं।

यह भी देखें

• जटिल कार्य
• समारोह (गणित)
• सामान्यीकृत कार्य
• विशेष कार्यों और नामों की सूची
• कार्यों के प्रकारों की सूची
• तर्कसंगत कार्य
• विशेष कार्य

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बाहरी कड़ियाँ

• Definition of "Transcendental function" in the Encyclopedia of Math