अबीजीय फलन

गणित में, एक अबीजीय फलन एक विश्लेषिक फलन होता है जो बीजगणितीय फलन के विपरीत बहुपद समीकरण को स्वीकृत नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, एक अबीजीय फलन बीजगणित को "उत्कृष्ट" करता है क्योंकि इसे बीजगणितीय रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

अबीजीय फलनों के उदाहरणों में घातीय फलन, लघुगणक और त्रिकोणमितीय फलन शामिल हैं।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक वास्तविक या सम्मिश्र चर z का एक विश्लेषणात्मक कार्य f (z) अबीजीय है यदि यह उस चर से बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है। यह कई चर के कार्यों के लिए बढ़ाया जा सकता है।

इतिहास

ट्रान्सेंडैंटल फलन साइन और कोज्या पुरातनता में भौतिक माप से त्रिकोणमितीय तालिकाएँ थीं, जैसा कि ग्रीस (हिप्पार्कस) और भारत (जाओ और कोटि-जय) में प्रमाणित है। टॉलेमी की तारों की तालिका का वर्णन करते हुए, sines की तालिका के बराबर, ओलाफ पेडरसन ने लिखा:

The mathematical notion of continuity as an explicit concept is unknown to Ptolemy. That he, in fact, treats these functions as continuous appears from his unspoken presumption that it is possible to determine a value of the dependent variable corresponding to any value of the independent variable by the simple process of linear interpolation.

इन परिपत्र फलनों की एक क्रांतिकारी समझ 17 वीं शताब्दी में हुई और लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1748 में अपने परिचय में अनंत के विश्लेषण में इसका पता लगाया गया। ये प्राचीन अबीजीय फलन आयताकार हाइपरबोला xy = 1 के चतुष्कोण (गणित) के माध्यम से 1647 में ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट द्वारा निरंतर फलनों के रूप में जाने जाते हैं, आर्किमिडीज़ द्वारा पैराबोला के चतुर्भुज का उत्पादन करने के दो सहस्राब्दियों के बाद।

हाइपरबोला के अंतर्गत क्षेत्र को सीमा के निरंतर अनुपात के लिए स्थिर क्षेत्र की प्रवर्धन संपत्ति के रूप में दिखाया गया था। अतिशयोक्तिपूर्ण लघुगणक फलन का वर्णन 1748 तक सीमित सेवा का था, जब लियोनहार्ड यूलर ने इसे उन फलनों से संबंधित किया था जहां एक निरंतर एक चर घातांक के लिए उठाया जाता है, जैसे कि घातीय फलन जहां निरंतर आधार (घातांक) e (गणितीय स्थिरांक) है। इन अबीजीय फलनों को शुरू करने और एक व्युत्क्रम फलन का अर्थ करने वाली आपत्ति संपत्ति को ध्यान में रखते हुए, प्राकृतिक लघुगणक के बीजगणितीय जोड़तोड़ के लिए कुछ सुविधा प्रदान की गई थी, भले ही यह बीजगणितीय फलन न हो।

घातीय फलन लिखा है $\exp(x)=e^{x}$. यूलर ने इसकी पहचान अनंत श्रृंखला से की ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$, कहाँ कश्मीर! k के भाज्य को दर्शाता है।

इस श्रृंखला के सम और विषम पद cosh(x) और sinh(x) को दर्शाने वाले योग प्रदान करते हैं, ताकि $e^{x}=\cosh x+\sinh x$. इन अनुवांशिक अतिपरवलयिक फलनों को (-1) शुरू करके परिपत्र फलनों sine और cosine में परिवर्तित किया जा सकता है।^k श्रृंखला में, जिसके परिणामस्वरूप वैकल्पिक श्रृंखला होती है। यूलर के बाद, गणितज्ञ जटिल संख्या अंकगणित में अक्सर यूलर के सूत्र के माध्यम से cosine और cosine को लघुगणक और प्रतिपादक फलनों के उत्थान से संबंधित करने के लिए देखते हैं।

उदाहरण

निम्नलिखित फलन अबीजीय हैं:

$$f_{1}(x)=x^{\pi }$$

$$f_{2}(x)=c^{x}$$

$$f_{3}(x)=x^{x}$$

$$f_{4}(x)=x^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{x}}$$

$$f_{5}(x)=\log _{c}x$$

$$f_{6}(x)=\sin {x}$$

दूसरे फलन के लिए $f_{2}(x)$, अगर हम सेट करते हैं$c$के बराबर$e$, चरघातांकी फलन, तो हमें वह मिलता है $e^{x}$ एक अबीजीय फलन है। इसी तरह, अगर हम सेट करते हैं$c$के बराबर$e$में $f_{5}(x)$, तो हमें वह मिलता है $f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x$ (अर्थात, प्राकृतिक लघुगणक) एक अबीजीय फलन है।

बीजगणितीय और अबीजीय फलन

Further information: Elementary function (differential algebra)

सबसे परिचित अबीजीय फलन लघुगणक, घातीय फलन (किसी भी गैर-तुच्छ आधार के साथ), त्रिकोणमितीय फलन और अतिपरवलयिक फलन और इन सभी के व्युत्क्रम फलन हैं। कम परिचित गणितीय विश्लेषण के विशेष फलन हैं, जैसे कि गामा समारोह, दीर्घवृत्तीय फलन और जीटा समारोह, जो सभी ट्रान्सेंडैंटल हैं। सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय फलन और बेसेल समारोह फलन सामान्य रूप से अबीजीय हैं, लेकिन कुछ विशेष पैरामीटर मानों के लिए बीजगणितीय हैं।

एक फलन जो अबीजीय नहीं है वह बीजगणितीय है। बीजगणितीय फलनों के सरल उदाहरण तर्कसंगत फलन और वर्गमूल फलन हैं, लेकिन सामान्य तौर पर, बीजगणितीय फलनों को प्राथमिक फलनों के परिमित सूत्रों के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है। कई बीजगणितीय फलनों का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग अबीजीय है। उदाहरण के लिए, अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के प्रयास में लघुगणक फलन गुणक व्युत्क्रम से उत्पन्न हुआ।

डिफरेंशियल बीजगणित जांच करता है कि कैसे एकीकरण अक्सर ऐसे फलनों का निर्माण करता है जो बीजीय रूप से कुछ वर्ग से स्वतंत्र होते हैं, जैसे कि जब कोई चर के रूप में त्रिकोणमितीय फलनों के साथ बहुपद लेता है।

भावातीत रूप से अबीजीय फलन

गणितीय भौतिकी के विशेष फलनों सहित अधिकांश परिचित ट्रान्सेंडैंटल फलन , बीजगणितीय अंतर समीकरणों के समाधान हैं। जो नहीं हैं, जैसे कि गामा फलन और ज़ेटा फलन , उन्हें ट्रान्सेंडैंटली ट्रान्सेंडैंटल या हाइपरट्रांसेंडेंटल फ़ंक्शन फलन कहा जाता है।

असाधारण सेट

यदि $f$ एक बीजगणितीय फलन है और $\alpha$ तब एक बीजगणितीय संख्या है $f(\alpha )$ एक बीजगणितीय संख्या भी है। इसका विलोम सत्य नहीं है: संपूर्ण फलन हैं $f$ ऐसा है कि $f(\alpha )$ किसी भी बीजगणितीय के लिए एक बीजगणितीय संख्या है $\alpha .$ किसी दिए गए ट्रान्सेंडैंटल फलन के लिए बीजगणितीय परिणाम देने वाले बीजगणितीय संख्याओं के सेट को उस फलन का असाधारण सेट कहा जाता है। औपचारिक रूप से इसे परिभाषित किया गया है:

$${\mathcal {E}}(f)=\left\{\alpha \in {\overline {\mathbf {Q} }}\,:\,f(\alpha )\in {\overline {\mathbf {Q} }}\right\}.$$

कई उदाहरणों में असाधारण सेट काफी छोटा होता है। उदाहरण के लिए, ${\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},$ यह 1882 में फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन द्वारा सिद्ध किया गया था। विशेष रूप से exp(1) = e अबीजीय है। इसके अलावा, चूंकि exp(iπ) = −1 बीजगणितीय है हम जानते हैं कि iπ बीजीय नहीं हो सकता। तब से i बीजगणितीय है इसका तात्पर्य है कि π एक अबीजीय संख्या है।

सामान्य तौर पर, किसी फलन के असाधारण सेट को ढूंढना एक कठिन समस्या है, लेकिन अगर इसकी गणना की जा सकती है तो यह अक्सर अबीजीय संख्या सिद्धांत में परिणाम दे सकता है। यहाँ कुछ अन्य ज्ञात असाधारण सेट हैं:

• क्लेन का जे-इनवेरिएंट
  $${\mathcal {E}}(j)=\left\{\alpha \in \mathbf {H} \,:\,[\mathbf {Q} (\alpha ):\mathbf {Q} ]=2\right\},$$
  जहां H ऊपरी आधा विमान है, और [Q(α): Q] बीजगणितीय संख्या क्षेत्र Q(α) के क्षेत्र विस्तार की डिग्री है। यह परिणाम थियोडोर श्नाइडर के कारण है।
• आधार 2 में घातीय फलन:
  $${\mathcal {E}}(2^{x})=\mathbf {Q} ,$$
  यह परिणाम गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय का परिणाम है, जिसमें कहा गया है कि अगर $\alpha \neq 0,1$ बीजगणितीय है, और $\beta$ तब बीजगणितीय और अपरिमेय है $\alpha ^{\beta }$ अबीजीय है। इस प्रकार फलन 2^x को c से बदला जा सकता है^x किसी भी बीजगणितीय c के लिए जो 0 या 1 के बराबर नहीं है। दरअसल, हमारे पास:
  $${\mathcal {E}}(x^{x})={\mathcal {E}}\left(x^{\frac {1}{x}}\right)=\mathbf {Q} \setminus \{0\}.$$
• अबीजीय संख्या सिद्धांत में शैनुअल के अनुमान का एक परिणाम यह होगा ${\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset$.
• खाली असाधारण सेट वाला एक फलन जिसे शानुएल के अनुमान को मानने की आवश्यकता नहीं है $f(x)=\exp(1+\pi x)$.

किसी दिए गए फलन के लिए असाधारण सेट की गणना करना आसान नहीं है, यह ज्ञात है कि बीजगणितीय संख्याओं के किसी भी उपसमुच्चय को ए कहते हैं, एक अबीजीय फलन है जिसका असाधारण सेट ए है। उपसमुच्चय को उचित होने की आवश्यकता नहीं है, जिसका अर्थ है कि A बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय हो सकता है। इसका सीधा अर्थ है कि अबीजीय फलन मौजूद हैं जो अबीजीय संख्याएँ तभी उत्पन्न करते हैं जब अबीजीय संख्याएँ दी जाती हैं। एलेक्स विल्की ने यह भी साबित कर दिया कि ऐसे अबीजीय फलन मौजूद हैं जिनके लिए उनके पारगमन के बारे में प्रथम-क्रम-तर्क प्रमाण एक अनुकरणीय विश्लेषणात्मक फलन प्रदान करके मौजूद नहीं हैं।

विमीय विश्लेषण

आयामी विश्लेषण में, अबीजीय फलन उल्लेखनीय हैं क्योंकि वे तभी समझ में आते हैं जब उनका तर्क आयामहीन होता है (संभवतः बीजगणितीय कमी के बाद)। इस वजह से, अबीजीय फलन आयामी त्रुटियों का एक आसानी से पता लगाने का स्त्रोत हो सकता है। उदाहरण के लिए, log(5 मीटर) एक बेतुका एक्सप्रेशन है, इसके विपरीत log(5 metres / 3 metres) या log(3) मीटर। log (5) + log (मीटर) प्राप्त करने के लिए कोई लघुगणक पहचान लागू करने का प्रयास कर सकते हैं, जो समस्या को प्रमुखता से दिखा सकता है, : एक गैर-बीजगणितीय ऑपरेशन को एक आयाम पर लागू करने से अर्थहीन परिणाम पैदा होते हैं।

यह भी देखें

• जटिल फलन
• समारोह (गणित)
• सामान्यीकृत फलन
• विशेष फलनों और नामों की सूची
• फलनों के प्रकारों की सूची
• तर्कसंगत फलन
• विशेष फलन

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• विश्लेषणात्मक फलन
• बीजगणितीय फलन
• लोगारित्म
• घातांक प्रफलन
• त्रिकोणमितीय समारोह
• बीजीय रूप से स्वतंत्र
• त्रिकोणमितीय टेबल
• उन लोगों के
• परबोला का चतुर्भुज
• उलटा काम करना
• गोलाकार समारोह
• द्विभाजन
• अनंत के विश्लेषण का परिचय
• ई (गणितीय स्थिरांक)
• चतुर्भुज (गणित)
• कारख़ाने का
• अतिशयोक्तिपूर्ण समारोह
• सामान्यीकृत हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन
• अण्डाकार समारोह
• अतिशयोक्तिपूर्ण फलन
• विभेदक बीजगणित
• गुणात्मक प्रतिलोम
• संपूर्ण समारोह
• एक क्षेत्र विस्तार की डिग्री
• आकार जांच
• फलनों के प्रकार की सूची

बाहरी कड़ियाँ

• Definition of "Transcendental function" in the Encyclopedia of Math