अविघटनीय सातत्य

This article is not about the indecomposability attributed to the real line by constructive mathematics. See Indecomposability (constructive mathematics).

नेस्टेड चौराहों की एक श्रृंखला की सीमा के रूप में बकेट हैंडल के निर्माण के पहले चार चरण

बिंदु-सेट टोपोलॉजी में, एक अविघटनीय सातत्य एक सातत्य (टोपोलॉजी) है जो अविघटनीय है, अर्थात जिसे इसके दो सबसेट#परिभाषाओं उपमहाद्वीप के मिलन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। 1910 में, L. E. J. Brouwer एक अविघटनीय सातत्य का वर्णन करने वाले पहले व्यक्ति थे।

टोपोलॉजिस्ट द्वारा अविघटनीय निरंतरता का उपयोग प्रति उदाहरण के स्रोत के रूप में किया गया है। वे गतिशील प्रणालियों में भी होते हैं।

परिभाषाएँ

एक निरंतरता $C$ एक गैर-खाली कॉम्पैक्ट जगह जुड़ा हुआ स्थान मीट्रिक स्थान है। आर्क (टोपोलॉजी), n-sphere|n-sphere, और हिल्बर्ट क्यूब Connected_space#Path_connectedness|path-connected continua के उदाहरण हैं; टोपोलॉजिस्ट का साइन कर्व और शेप_थ्योरी_(गणित)#वारसॉ_सर्कल नॉन-पाथ-कनेक्टेड कॉन्टिनुआ के उदाहरण हैं। एक उपमहाद्वीप $C'$ एक निरंतरता का $C$ एक बंद सेट है, का जुड़ा सबसेट $C$. एक स्थान अविकृत है यदि यह एक बिंदु के बराबर नहीं है। एक निरंतरता $C$ विघटित हो सकता है यदि दो गैर-अपघटित उपमहाद्वीप मौजूद हों $A$ और $B$ का $C$ ऐसा है कि $A\neq C$ और $B\neq C$ लेकिन $A\cup B=C$. एक सातत्य जो अपघटनीय नहीं है वह एक अविघटनीय सातत्य है। एक निरंतरता $C$ जिसमें प्रत्येक उपमहाद्वीप अविघटनीय है, वंशानुगत रूप से अविघटनीय कहा जाता है। एक अविघटनीय सातत्य का एक संघटक $C$ एक अधिकतम सेट है जिसमें कोई भी दो बिंदु किसी उचित उपमहाद्वीप के भीतर स्थित होते हैं $C$. एक निरंतरता $C$ के बीच अपरिवर्तनीय है $c$ और $c'$अगर $c,c'\in C$ और किसी भी उचित उपमहाद्वीप में दोनों बिंदु नहीं होते हैं। एक अविघटनीय सातत्य अपने किन्हीं दो बिन्दुओं के बीच अलघुकरणीय होता है।

इतिहास

वाडा की झीलों का पांचवां चरण

1910 में L. E. J. Brouwer ने एक अविघटनीय सातत्य का वर्णन किया जिसने आर्थर मोरिट्ज़ शोएनफ्लाइज़ द्वारा किए गए एक अनुमान को खारिज कर दिया कि, यदि $X_{1}$ और $X_{2}$ खुले हैं, जुड़े हुए हैं, अलग सेट हैं $\mathbb {R} ^{2}$ ऐसा है कि $\partial X_{1}=\partial X_{2}$, तब $\partial X_{1}=\partial X_{2}$ दो बंद, जुड़े उचित उपसमुच्चय का मिलन होना चाहिए। ज़िग्मंट जानिस्ज़ेव्स्की ने बाल्टी हैंडल के एक संस्करण सहित इस तरह के और अधिक अपघटनीय महाद्वीप का वर्णन किया। जैनिसजेवेस्की ने, तथापि, इन निरंतरताओं की इर्रेड्यूबिलिटी पर ध्यान केंद्रित किया। 1917 में कुनिज़ो योनीयामा ने वाडा की झीलों (ताकेओ वाडा के नाम पर) का वर्णन किया, जिनकी आम सीमा अविघटनीय है। 1920 के दशक में अविघटनीय कॉन्टिनुआ का अध्ययन वॉरसॉ स्कूल (गणित) द्वारा Fundamenta Mathematicae में उनके स्वयं के लिए किया जाने लगा, न कि पैथोलॉजिकल काउंटरएक्सैम्पल के रूप में। अविघटनीयता की परिभाषा देने वाले पहले व्यक्ति स्टीफ़न मज़ुर्कीविक्ज़ थे। 1922 में ब्रॉनिस्लाव नास्टर ने छद्म-आर्क का वर्णन किया, पहला उदाहरण एक आनुवंशिक रूप से अविघटनीय सातत्य का पाया गया।

बाल्टी संभाल उदाहरण

अविच्छिन्न महाद्वीप अक्सर नेस्टेड चौराहों के अनुक्रम की सीमा के रूप में निर्मित होते हैं, या (अधिक सामान्यतः) निरंतरता के अनुक्रम की व्युत्क्रम सीमा के रूप में। बकेटहैंडल, या ब्रौवर-जेनिसजेवेस्की-नास्टर सातत्य, को अक्सर एक अविघटनीय सातत्य का सबसे सरल उदाहरण माना जाता है, और इसे इस प्रकार निर्मित किया जा सकता है (ऊपरी दाएं देखें)। वैकल्पिक रूप से, कैंटर टर्नरी सेट लें ${\mathcal {C}}$ अंतराल पर अनुमानित $[0,1]$ की $x$-अक्ष विमान में. होने देना ${\mathcal {C}}_{0}$ के ऊपर अर्धवृत्त का परिवार हो $x$केंद्र के साथ अक्ष $(1/2,0)$ और समापन बिंदुओं के साथ ${\mathcal {C}}$ (जो इस बिंदु के बारे में सममित है)। होने देना ${\mathcal {C}}_{1}$ के नीचे अर्धवृत्त का परिवार हो $x$अंतराल के मध्य बिंदु के साथ अक्ष $[2/3,1]$ और समापन बिंदुओं के साथ ${\mathcal {C}}\cap [2/3,1]$. होने देना ${\mathcal {C}}_{i}$ के नीचे अर्धवृत्त का परिवार हो $x$अंतराल के मध्य बिंदु के साथ अक्ष $[2/3^{i},3/3^{i}]$ और समापन बिंदुओं के साथ ${\mathcal {C}}\cap [2/3^{i},3/3^{i}]$. फिर ऐसे सभी का मिलन ${\mathcal {C}}_{i}$ बाल्टी का हैंडल है। बकेट हैंडल बोरेल ट्रांसवर्सल को स्वीकार नहीं करता है, अर्थात ऐसा कोई बोरेल सेट नहीं है जिसमें प्रत्येक कंपोजेंट से ठीक एक बिंदु हो।

गुण

एक मायने में, 'अधिकांश' निरंतर अविघटनीय हैं। होने देना $M$ एक के-सेल_(गणित) बनें$n$-मीट्रिक के साथ सेल (गणित) $d$, $2^{M}$ के सभी गैर-खाली बंद उपसमुच्चय का सेट $M$, और $C(M)$ के सभी जुड़े हुए सदस्यों का हाइपरस्पेस $2^{M}$ हॉसडॉर्फ मीट्रिक से लैस $H_{d}$ द्वारा परिभाषित $H_{d}(A,B)=\max\{\sup\{d(a,B):a\in A\},\sup\{d(b,A):b\in B\}\}$. फिर nondegenerate indecomposable उपमहाद्वीप का सेट $M$ सघन रूप से स्थापित है $C(M)$.

डायनेमिक सिस्टम में

1932 में जॉर्ज बिरखॉफ़ ने अपने उल्लेखनीय बंद वक्र का वर्णन किया, एनुलस (गणित) का एक होमोमोर्फिज्म जिसमें एक अपरिवर्तनीय सातत्य शामिल था। मैरी चारपेंटियर ने दिखाया कि यह सातत्य अविघटनीय था, अविघटनीय महाद्वीप से गतिशील प्रणालियों की पहली कड़ी। एक निश्चित स्टीफन स्मेल घोड़े की नाल के नक्शे का अपरिवर्तनीय सेट बाल्टी हैंडल है। मार्सी बार्ज और अन्य ने गतिशील प्रणालियों में व्यापक रूप से अविघटनीय महाद्वीप का अध्ययन किया है।

यह भी देखें

• अपघटनीयता (रचनात्मक गणित)
• वाडा की झीलें, समतल के तीन खुले उपसमुच्चय जिनकी सीमा एक अविघटनीय सातत्य है
• सोलेनॉइड (गणित)
• सीरपिंस्की कालीन

बाहरी संबंध

• Solecki, S. (2002). "Descriptive set theory in topology". In Hušek, M.; van Mill, J. (eds.). Recent progress in general topology II. Elsevier. pp. 506–508. ISBN 978-0-444-50980-2.
• Casselman, Bill (2014), "About the cover" (PDF), Notices of the AMS, 61: 610, 676 explains Brouwer's picture of his indecomposable continuum that appears on the front cover of the journal.