परिमित चरित्र

Not to be confused with Character of a finite group.

गणित में, समुच्चयों का परिवार ${\mathcal {F}}$ सेट (गणित) प्रत्येक के लिए परिमित चरित्र का है $A$, $A$ से संबंधित ${\mathcal {F}}$ अगर और केवल अगर हर परिमित सबसेट सेट करता है $A$ से संबंधित ${\mathcal {F}}$. वह है,

1. प्रत्येक के लिए $A\in {\mathcal {F}}$, का प्रत्येक परिमित समुच्चय $A$ से संबंधित ${\mathcal {F}}$.
2. यदि किसी दिए गए सेट का हर परिमित उपसमुच्चय $A$ से संबंधित ${\mathcal {F}}$, तब $A$ से संबंधित ${\mathcal {F}}$.

गुण

एक परिवार ${\mathcal {F}}$ परिमित चरित्र के समुच्चय निम्नलिखित गुणों का आनंद लेते हैं:

1. प्रत्येक के लिए $A\in {\mathcal {F}}$, प्रत्येक (परिमित या अनंत) उपसमुच्चय $A$ से संबंधित ${\mathcal {F}}$.
2. परिमित चरित्र के प्रत्येक गैर-खाली परिवार में समावेशन (सेट सिद्धांत) (तुके की लेम्मा) के संबंध में एक अधिकतम तत्व होता है: में ${\mathcal {F}}$, आंशिक रूप से शामिल किए जाने का आदेश दिया, हर कुल आदेश के संघ (सेट सिद्धांत) # तत्वों की जंजीरों ${\mathcal {F}}$ का भी है ${\mathcal {F}}$, इसलिए, Zorn_Lemma|Zorn's lemma द्वारा, ${\mathcal {F}}$ कम से कम एक अधिकतम तत्व शामिल है।

उदाहरण

होने देना $V$ एक सदिश स्थान बनें, और दें ${\mathcal {F}}$ के रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय का परिवार हो $V$. तब ${\mathcal {F}}$ परिमित चरित्र का एक परिवार है (क्योंकि एक सबसेट $X\subseteq V$ रैखिक रूप से निर्भर है अगर और केवल अगर $X$ एक परिमित उपसमुच्चय है जो रैखिक रूप से निर्भर है)। इसलिए, प्रत्येक वेक्टर अंतरिक्ष में, रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्वों का एक अधिकतम परिवार मौजूद होता है। जैसा कि अधिकतम परिवार एक सदिश आधार है, प्रत्येक सदिश स्थान का एक (संभवतः अनंत) सदिश आधार होता है।

यह भी देखें

• वंशानुगत रूप से परिमित सेट

संदर्भ

• Jech, Thomas J. (2008) [1973]. The Axiom of Choice. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46624-8.
• Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010) [1996]. Set Theory and the Continuum Problem. Dover Publications. ISBN 978-0-486-47484-7.

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