बर्नसाइड रिंग

गणित में, एक परिमित समूह का बर्नसाइड रिंग एक बीजगणितीय निर्माण है जो विभिन्न तरीकों को कूटबद्ध करता है समूह परिमित सेटों पर समूह क्रिया (गणित) कर सकता है। उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में विलियम बर्नसाइड द्वारा विचार पेश किए गए थे। सोलोमन (1967) के कारण बीजगणितीय वलय (गणित) एक और हालिया विकास है।

औपचारिक परिभाषा

एक परिमित समूह जी को देखते हुए, इसके बर्नसाइड रिंग Ω(जी) के जनरेटर परिमित समूह क्रिया (गणित) | जी-सेट के समरूपता वर्गों के औपचारिक योग हैं। रिंग (गणित) के लिए, जी-सेट के असंयुक्त मिलन और उनके कार्टेशियन उत्पाद द्वारा गुणन द्वारा योग दिया जाता है।

बर्नसाइड रिंग एक मुक्त 'जेड'-मॉड्यूल (गणित) है, जिसके जनरेटर जी के समूह क्रिया (गणित) के (समरूपता वर्ग) हैं।

यदि G परिमित समुच्चय X पर कार्य करता है, तो कोई लिख सकता है ${\textstyle X=\bigcup _{i}X_{i}}$ (विच्छिन्न संघ), जहां प्रत्येक X_i एक एकल जी-ऑर्बिट है। किसी भी अवयव x को चुनना_i एक्स में_i एक समरूपता G/G बनाता है_i → एक्स_i, जहां जी_ix पर G का स्टेबलाइज़र (आइसोट्रॉपी) उपसमूह है_i. प्रतिनिधि वाई की एक अलग पसंद_i एक्स में_i G को संयुग्मित उपसमूह देता है_i स्टेबलाइजर के रूप में। इससे पता चलता है कि 'जेड' मॉड्यूल के रूप में Ω(जी) के जनरेटर जी के उपसमूहों के संयुग्मन वर्गों पर एच के रूप में जी/एच की कक्षाएँ हैं।

दूसरे शब्दों में, Ω(G) का एक विशिष्ट तत्व है

$$\sum _{i=1}^{N}a_{i}[G/G_{i}],$$

जहाँ एक_i जेड और जी में₁, जी₂, ..., जी_N जी के उपसमूहों के संयुग्मन वर्गों के प्रतिनिधि हैं।

मार्क्स

जितना चरित्र सिद्धांत समूह अभ्यावेदन के साथ काम करना सरल करता है, अंक क्रमचय अभ्यावेदन और बर्नसाइड रिंग के साथ काम करना आसान बनाता है।

यदि G X पर कार्य करता है, और H ≤ G (H G का एक उपसमूह है), तो H का चिह्न ऑन एक्स एक्स के तत्वों की संख्या है जो एच के प्रत्येक तत्व द्वारा तय किए गए हैं: $m_{X}(H)=\left|X^{H}\right|$, कहाँ

$X^{H}=\{x\in X\mid h\cdot x=x,\forall h\in H\}.$

यदि H और K संयुग्मी उपसमूह हैं, तो m_X(एच) = एम_X(के) किसी भी परिमित जी-सेट एक्स के लिए; वास्तव में, अगर के = जीएचजी^-1 फिर X^{के</सुप> = जी · एक्सएच</सुप>.}

यह देखना भी आसान है कि प्रत्येक H ≤ G के लिए, मानचित्र Ω(G) → 'Z' : X ↦ m_X(एच) एक समरूपता है। इसका मतलब यह है कि जी के अंक जानने के लिए, उन्हें Ω(जी) के जनरेटर पर मूल्यांकन करने के लिए पर्याप्त है, अर्थात। कक्षा जी/एच।

उपसमूहों की प्रत्येक जोड़ी के लिए एच, के ≤ जी परिभाषित करें

$m(K,H)=\left|[G/K]^{H}\right|=\#\left\{gK\in G/K\mid HgK=gK\right\}.$

ये एम है_X(एच) एक्स = जी / के लिए। स्थिति HgK = gK, g के तुल्य है⁻¹Hg ≤ K, इसलिए यदि H, K के एक उपसमूह से संयुग्मी नहीं है तो m(K, H) = 0।

सभी संभावित अंकों को रिकॉर्ड करने के लिए, एक तालिका, बर्नसाइड की 'मार्क्स की तालिका' इस प्रकार है: मान लीजिए जी₁ (= तुच्छ उपसमूह), जी₂, ..., जी_N = जी, जी के उपसमूहों के एन संयुग्मी वर्गों के प्रतिनिधि हैं, इस तरह से आदेश दिया गया है कि जब भी जी_i जी के एक उपसमूह के लिए संयुग्मी है_j, फिर मैं ≤ जे। अब N × N तालिका (स्क्वायर मैट्रिक्स) को परिभाषित करें जिसकी (i, j)वीं प्रविष्टि m(G_i, जी_j). यह मैट्रिक्स निचला त्रिकोणीय है, और विकर्ण पर तत्व गैर-शून्य हैं इसलिए यह उलटा है।

यह इस प्रकार है कि यदि एक्स एक जी-सेट है, और 'यू' अंकों की इसकी पंक्ति वेक्टर है, तो यू_i = म_X(जी_i), तो X, a के असंयुक्त संघ के रूप में विघटित हो जाता है_i प्रकार जी की कक्षा की प्रतियां_i, जहां सदिश a संतुष्ट करता है,

aM = यू,

जहां 'M' अंकों की तालिका का मैट्रिक्स है। इस प्रमेय का कारण है (Burnside 1897).

उदाहरण

क्रम 6 के चक्रीय समूह के लिए अंकों की तालिका:

Z6	1	Z2	Z3	Z6
Z6 / 1	6	.	.	.
Z6 / Z2	3	3	.	.
Z6 / Z3	2	0	2	.
Z6 / Z6	1	1	1	1

सममित समूह S के लिए अंकों की तालिका₃:

S3	1	Z2	Z3	S3
S3 / 1	6	.	.	.
S3 / Z2	3	1	.	.
S3 / Z3	2	0	2	.
S3 / S3	1	1	1	1

दो तालिकाओं में बिंदु सभी शून्य हैं, केवल इस तथ्य पर जोर देते हैं कि तालिकाएँ निम्न-त्रिकोणीय हैं।

(कुछ लेखक तालिका के स्थानान्तरण का उपयोग करते हैं, लेकिन इस तरह बर्नसाइड ने इसे मूल रूप से परिभाषित किया।)

तथ्य यह है कि अंतिम पंक्ति सभी 1s है क्योंकि [G/G] एक एकल बिंदु है। विकर्ण पद m(H, H) = | हैं एन_G(एच)/एच | पहले कॉलम में संख्या प्रतिनिधित्व की डिग्री दिखाती है।

इन सारणियों से Ω(G) की वलय संरचना का अनुमान लगाया जा सकता है: वलय के जनरेटर ('Z'-मॉड्यूल के रूप में) सारणी की पंक्तियाँ हैं, और दो जनित्रों के गुणनफल को गुणनफल द्वारा चिन्हित किया गया है। चिह्न (इसलिए पंक्ति सदिशों का घटक-वार गुणन), जिसे तब सभी पंक्तियों के रैखिक संयोजन के रूप में विघटित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एस के साथ₃,

$[G/\mathbf {Z} _{2}]\cdot [G/\mathbf {Z} _{3}]=[G/1],$

as (3, 1, 0, 0)। (2, 0, 2, 0) = (6, 0, 0, 0)।

क्रमपरिवर्तन प्रतिनिधित्व

किसी परिमित समुच्चय से संबद्ध X एक सदिश समष्टि V = V है_X, जो आधार के रूप में X के तत्वों के साथ सदिश स्थान है (किसी निर्दिष्ट क्षेत्र का उपयोग करके)। एक्स पर परिमित समूह जी की एक क्रिया वी पर एक रैखिक क्रिया को प्रेरित करती है, जिसे क्रमचय समूह प्रतिनिधित्व कहा जाता है। G के सभी परिमित-आयामी अभ्यावेदन के सेट में एक वलय की संरचना होती है, निरूपण वलय, जिसे R(G) निरूपित किया जाता है।

किसी दिए गए जी-सेट एक्स के लिए, संबंधित प्रतिनिधित्व का चरित्र सिद्धांत है

$\chi (g)=m_{X}(\langle g\rangle )$

कहाँ $\langle g\rangle$ द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूह है $g$.

परिणामी नक्शा

$\beta :\Omega (G)\longrightarrow R(G)$

संबंधित प्रतिनिधित्व के लिए जी-सेट लेना सामान्य रूप से न तो इंजेक्शन है और न ही विशेषण।

सबसे सरल उदाहरण दिखा रहा है कि β सामान्य इंजेक्शन में नहीं है जी = एस के लिए है₃(ऊपर तालिका देखें), और द्वारा दिया गया है

$\beta (2[S_{3}/\mathbf {Z} _{2}]+[S_{3}/\mathbf {Z} _{3}])=\beta ([S_{3}]+2[S_{3}/S_{3}]).$

एक्सटेंशन

कॉम्पैक्ट समूहों के लिए बर्नसाइड रिंग में वर्णित है (tom Dieck 1987).

सहगल अनुमान बर्नसाइड रिंग को होमोटॉपी से संबंधित करता है।

यह भी देखें

• बर्नसाइड श्रेणी

संदर्भ

• Burnside, William (1897), Theory of groups of finite order, Cambridge University Press
• tom Dieck, Tammo (1987), Transformation groups, de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 8, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-009745-0, MR 0889050, OCLC 217014538
• Dress, Andreas (1969), "A characterization of solvable groups", Math. Z., 110 (3): 213–217, doi:10.1007/BF01110213
• Kerber, Adalbert (1999), Applied finite group actions, Algorithms and Combinatorics, vol. 19 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65941-9, MR 1716962, OCLC 247593131
• Solomon, L. (1967), "The Burnside algebra of a finite group", J. Comb. Theory, 1: 603–615