अधिकतम सिद्धांत

This article describes the maximum principle in the theory of partial differential equations. For the maximum principle in optimal control theory, see Pontryagin's maximum principle. For the theorem in complex analysis, see Maximum modulus principle.

आंशिक अंतर समीकरणों और ज्यामितीय विश्लेषण के गणितीय क्षेत्रों में, अधिकतम सिद्धांत अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण और परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण अंतर समीकरणों के अध्ययन में मौलिक महत्व के परिणामों और तकनीकों का एक संग्रह है।

सरलतम स्थिति में, दो चरों के एक फलन पर विचार करें u(x,y) ऐसा है कि

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$

कमजोर अधिकतम सिद्धांत, इस सेटिंग में, किसी भी खुले प्रीकॉम्पैक्ट सबसेट के लिए कहता है M के डोमेन का u, अधिकतम u के बंद होने पर M की सीमा पर प्राप्त होता है M. मजबूत अधिकतम सिद्धांत कहता है कि, जब तक u एक स्थिर कार्य है, अधिकतम भी कहीं भी हासिल नहीं किया जा सकता है M अपने आप।

इस तरह के बयान दिए गए अंतर समीकरण के समाधान की एक आकर्षक गुणात्मक तस्वीर देते हैं। ऐसी गुणात्मक तस्वीर को कई प्रकार के अंतर समीकरणों तक बढ़ाया जा सकता है। कई स्थितियों में, अंतर समीकरणों के समाधान के बारे में सटीक मात्रात्मक निष्कर्ष निकालने के लिए ऐसे अधिकतम सिद्धांतों का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि उनके ढाल के आकार पर नियंत्रण। कोई एकल या सबसे सामान्य अधिकतम सिद्धांत नहीं है जो सभी स्थितियों पर एक साथ लागू होता है।

उत्तल अनुकूलन के क्षेत्र में, एक समान कथन है जो दावा करता है कि एक कॉम्पैक्ट सेट उत्तल सेट पर अधिकतम उत्तल फ़ंक्शन सीमा (टोपोलॉजी) पर प्राप्त होता है।

अंतर्ज्ञान

===मजबूत अधिकतम सिद्धांत === का आंशिक सूत्रीकरण यहां हम सबसे सरल मामले पर विचार करते हैं, हालांकि समान सोच को अधिक सामान्य परिदृश्यों तक बढ़ाया जा सकता है। होने देना M यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक खुला उपसमुच्चय बनें और दें u एक हो C² कार्य चालू है M ऐसा है कि

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=0$

जहां प्रत्येक के लिए i और j 1 और के बीच n, a_ij एक फंक्शन है M साथ a_ij = a_ji.

कुछ विकल्प ठीक करें x में M. रेखीय बीजगणित के वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार, मैट्रिक्स के सभी eigenvalues [a_ij(x)] वास्तविक हैं, और इसका एक अलौकिक आधार है ℝⁿ eigenvectors से मिलकर। द्वारा eigenvalues ​​​​निरूपित करें λ_i और संबंधित eigenvectors द्वारा v_i, के लिए i 1 से n. फिर अंतर समीकरण, बिंदु पर x, के रूप में दोहराया जा सकता है

$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left.{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\right|_{t=0}{\big (}u(x+tv_{i}){\big )}=0.$

अधिकतम सिद्धांत का सार सरल अवलोकन है कि यदि प्रत्येक eigenvalue धनात्मक है (जो अंतर समीकरण के दीर्घवृत्तीयता के एक निश्चित सूत्रीकरण के बराबर है) तो उपरोक्त समीकरण समाधान के दिशात्मक दूसरे डेरिवेटिव के एक निश्चित संतुलन को लागू करता है। विशेष रूप से, यदि दूसरा दिशात्मक डेरिवेटिव नकारात्मक है, तो दूसरा सकारात्मक होना चाहिए। एक काल्पनिक बिंदु पर जहां u को अधिकतम किया जाता है, सभी दिशात्मक द्वितीय डेरिवेटिव स्वचालित रूप से गैर-सकारात्मक होते हैं, और उपरोक्त समीकरण द्वारा दर्शाए गए संतुलन के लिए सभी दिशात्मक द्वितीय डेरिवेटिव को समान रूप से शून्य होने की आवश्यकता होती है।

इस प्राथमिक तर्क को मजबूत अधिकतम सिद्धांत के एक अतिसूक्ष्म सूत्रीकरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए तर्क दिया जा सकता है, जो कुछ अतिरिक्त मान्यताओं (जैसे कि निरंतरता) के तहत बताता है। a), वह u का बिंदु होने पर स्थिर होना चाहिए M कहाँ u अधिकतम है।

ध्यान दें कि उपरोक्त तर्क अप्रभावित है यदि कोई अधिक सामान्य आंशिक अंतर समीकरण पर विचार करता है

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0,$

चूंकि जोड़ा गया शब्द किसी भी काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर स्वचालित रूप से शून्य होता है। यदि कोई अधिक सामान्य स्थिति पर विचार करता है तो तर्क भी अप्रभावित रहता है

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0,$

जिसमें सख्त असमानता होने पर एक स्पष्ट विरोधाभास होने की अतिरिक्त घटनाओं को भी नोट किया जा सकता है (> इसके बजाय ≥) इस स्थिति में काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर। शास्त्रीय कमजोर अधिकतम सिद्धांत के औपचारिक प्रमाण में यह घटना महत्वपूर्ण है।

मजबूत अधिकतम सिद्धांत की गैर-प्रयोज्यता

हालाँकि, उपरोक्त तर्क अब लागू नहीं होता है यदि कोई शर्त पर विचार करता है

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\leq 0,$

अब से संतुलन की स्थिति, जैसा कि एक काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर मूल्यांकन किया गया है u, केवल यह कहता है कि स्पष्ट रूप से गैर-सकारात्मक मात्राओं का भारित औसत गैर-सकारात्मक है। यह तुच्छ रूप से सत्य है, और इसलिए कोई इससे कोई तुच्छ निष्कर्ष नहीं निकाल सकता है। यह किसी भी संख्या में ठोस उदाहरणों से परिलक्षित होता है, जैसे तथ्य यह है कि

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}\leq 0,$

और किसी भी खुले क्षेत्र पर जिसमें मूल फलन हो −x²−y² निश्चित रूप से अधिकतम है।

== रैखिक अंडाकार पीडीई == के लिए शास्त्रीय कमजोर अधिकतम सिद्धांत

आवश्यक विचार

होने देना M यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय को दर्शाता है। यदि एक सुचारू कार्य $u:M\to \mathbb {R}$ एक बिंदु पर अधिकतम होता है p, तो एक स्वचालित रूप से होता है:

• $(du)(p)=0$
• $(\nabla ^{2}u)(p)\leq 0,$ एक मैट्रिक्स असमानता के रूप में।

एक आंशिक अवकल समीकरण को एक फलन के विभिन्न अवकलजों के बीच एक बीजगणितीय संबंध के आरोपण के रूप में देख सकते हैं। तो यदि u एक आंशिक अवकल समीकरण का हल है, तो यह संभव है कि उपरोक्त शर्तों के पहले और दूसरे डेरिवेटिव पर u इस बीजगणितीय संबंध का विरोध करता है। यह अधिकतम सिद्धांत का सार है। स्पष्ट रूप से, इस विचार की प्रयोज्यता प्रश्न में आंशिक अंतर समीकरण पर दृढ़ता से निर्भर करती है।

उदाहरण के लिए, अगर u अवकल समीकरण को हल करता है

$\Delta u=|du|^{2}+2,$

तो यह होना स्पष्ट रूप से असंभव है $\Delta u\leq 0$ और $du=0$ डोमेन के किसी भी बिंदु पर। तो, उपरोक्त अवलोकन के बाद, यह असंभव है u अधिकतम मान लेने के लिए। अगर, इसके बजाय u अवकल समीकरण हल किया $\Delta u=|du|^{2}$ तब किसी के पास ऐसा विरोधाभास नहीं होगा, और अब तक दिए गए विश्लेषण में कुछ भी दिलचस्प नहीं है। अगर u अवकल समीकरण हल किया $\Delta u=|du|^{2}-2,$ तो वही विश्लेषण यह दिखाएगा u न्यूनतम मान नहीं ले सकता।

ऐसे विश्लेषण की संभावना आंशिक अवकल समीकरणों तक ही सीमित नहीं है। उदाहरण के लिए, अगर $u:M\to \mathbb {R}$ ऐसा कार्य है

$\Delta u-|du|^{4}=\int _{M}e^{u(x)}\,dx,$

जो एक प्रकार का गैर-स्थानीय अंतर समीकरण है, तो ऊपर के समान विश्लेषण से, दाईं ओर की स्वचालित सख्त सकारात्मकता दिखाती है, कि u अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता।

इस तरह के विश्लेषण की प्रयोज्यता को विभिन्न तरीकों से बढ़ाने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, अगर u एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है, तो एक बिंदु के अस्तित्व के बाद से उपरोक्त प्रकार का विरोधाभास सीधे नहीं होता है p कहाँ $\Delta u(p)\leq 0$ आवश्यकता के विपरीत नहीं है $\Delta u=0$ हर जगह। हालांकि, कोई मनमाना वास्तविक संख्या के लिए विचार कर सकता है s, कार्यक्रम u_s द्वारा परिभाषित

$u_{s}(x)=u(x)+se^{x_{1}}.$

यह देखना सीधा है

$\Delta u_{s}=se^{x_{1}}.$

उपरोक्त विश्लेषण से, यदि $s>0$ तब u_s अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता। कोई सीमा पर विचार करना चाह सकता है {{mvar|s}इसे समाप्त करने के लिए } से 0 u भी अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता है। हालांकि, मैक्सिमा के बिना कार्यों के अनुक्रम की बिंदुवार सीमा के लिए मैक्सिमा होना संभव है। बहरहाल, अगर M की सीमा ऐसी है M इसकी सीमा के साथ कॉम्पैक्ट है, फिर मान लीजिए u लगातार सीमा तक बढ़ाया जा सकता है, यह तुरंत अनुसरण करता है कि दोनों u और u_s पर अधिकतम मान प्राप्त करें $M\cup \partial M.$ चूंकि हमने दिखाया है u_s, एक समारोह के रूप में M, अधिकतम नहीं है, यह इस प्रकार है कि अधिकतम बिंदु u_s, किसी के लिए s चालू है $\partial M.$ की अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस द्वारा $\partial M,$ यह इस प्रकार है कि अधिकतम u पर प्राप्त होता है $\partial M.$ हार्मोनिक कार्यों के लिए यह कमजोर अधिकतम सिद्धांत है। यह अपने आप में इस संभावना से इंकार नहीं करता है कि अधिकतम u पर भी कहीं प्राप्त होता है M. यह मजबूत अधिकतम सिद्धांत की सामग्री है, जिसके लिए और विश्लेषण की आवश्यकता है।

विशिष्ट कार्य का उपयोग $e^{x_{1}}$ ऊपर बहुत जरूरी था। जो कुछ मायने रखता था वह एक ऐसा कार्य होना था जो लगातार सीमा तक फैला हो और जिसका लाप्लासियन सख्ती से सकारात्मक हो। तो हम इस्तेमाल कर सकते थे, उदाहरण के लिए,

$u_{s}(x)=u(x)+s|x|^{2}$

उसी प्रभाव से।

== रैखिक अण्डाकार पीडीई == के लिए शास्त्रीय मजबूत अधिकतम सिद्धांत

सबूत का सारांश

होने देना M यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक खुला उपसमुच्चय हो। होने देना $u:M\to \mathbb {R}$ एक द्वि-विभेदक फलन हो जो अपना अधिकतम मान प्राप्त कर ले C. लगता है कि

$a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0.$

मान लीजिए कि कोई खोज सकता है (या अस्तित्व को साबित कर सकता है):

• एक कॉम्पैक्ट सबसेट Ω का M, गैर-खाली इंटीरियर के साथ, जैसे कि u(x) < C सभी के लिए x के इंटीरियर में Ω, और ऐसा है कि मौजूद है x₀ की सीमा पर Ω साथ u(x₀) = C.
• एक सतत कार्य $h:\Omega \to \mathbb {R}$ जो के इंटीरियर पर दो बार अलग-अलग है Ω और साथ

$a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}\geq 0,$

और ऐसा है कि एक है u + h ≤ C की सीमा पर Ω साथ h(x₀) = 0

तब L(u + h − C) ≥ 0 पर Ω साथ u + h − C ≤ 0 की सीमा पर Ω; कमजोर अधिकतम सिद्धांत के अनुसार, किसी के पास है u + h − C ≤ 0 पर Ω. यह कहने के लिए पुनर्गठित किया जा सकता है

$-{\frac {u(x)-u(x_{0})}{|x-x_{0}|}}\geq {\frac {h(x)-h(x_{0})}{|x-x_{0}|}}$

सभी के लिए x में Ω. अगर कोई चुनाव कर सकता है h ताकि दाहिने हाथ की ओर स्पष्ट रूप से सकारात्मक प्रकृति हो, तो यह इस तथ्य के लिए एक विरोधाभास प्रदान करेगा कि x₀ का अधिकतम बिंदु है u पर M, ताकि इसकी ग्रेडिएंट गायब हो जाए।

प्रमाण

उपरोक्त कार्यक्रम किया जा सकता है। चुनना Ω गोलाकार वलय होना; एक इसके केंद्र का चयन करता है x_c बंद सेट के करीब एक बिंदु होना u⁻¹(C) बंद सेट की तुलना में ∂M, और बाहरी त्रिज्या R को इस केंद्र से तक की दूरी के रूप में चुना गया है u⁻¹(C); होने देना x₀ इस बाद वाले सेट पर एक बिंदु बनें जो दूरी का एहसास करता है। भीतरी त्रिज्या ρ मनमाना है। परिभाषित करना

$h(x)=\varepsilon {\Big (}e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}-e^{-\alpha R^{2}}{\Big )}.$

अब की सीमा Ω में दो गोले होते हैं; बाहरी क्षेत्र पर, एक है h = 0; चयन के कारण R, किसी के पास u ≤ C इस क्षेत्र पर, और इसी तरह u + h − C ≤ 0 आवश्यकता के साथ सीमा के इस भाग पर रखता है h(x₀) = 0. आंतरिक क्षेत्र पर, एक के पास है u < C. की निरंतरता के कारण u और आंतरिक क्षेत्र की कॉम्पैक्टनेस, कोई भी चुन सकता है δ > 0 ऐसा है कि u + δ < C. तब से h इस आंतरिक क्षेत्र पर स्थिर है, कोई भी चयन कर सकता है ε > 0 ऐसा है कि u + h ≤ C भीतरी क्षेत्र पर, और इसलिए की पूरी सीमा पर Ω.

सीधी गणना बताती है

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}=\varepsilon \alpha e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}\left(4\alpha \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x){\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}{\big (}x^{j}-x_{\text{c}}^{j}{\big )}-2\sum _{i=1}^{n}a_{ii}-2\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}\right).$

ऐसी कई स्थितियाँ हैं जिनके तहत दाहिनी ओर के गैर-नकारात्मक होने की गारंटी दी जा सकती है; नीचे प्रमेय का कथन देखें।

अंत में, ध्यान दें कि की दिशात्मक व्युत्पत्ति h पर x₀ वलय की आवक-इंगित रेडियल रेखा के साथ सख्ती से सकारात्मक है। जैसा कि उपरोक्त सारांश में बताया गया है, यह सुनिश्चित करेगा कि इसका एक दिशात्मक व्युत्पन्न u पर x₀ अशून्य है, इसके विपरीत है x₀ का अधिकतम बिंदु होना u खुले सेट पर M.

प्रमेय का कथन

हॉफ (1927) के मूल कथन के बाद मोरे और स्मोलर की पुस्तकों में प्रमेय का कथन निम्नलिखित है:

Let M be an open subset of Euclidean space ℝⁿ. For each i and j between 1 and n, let a_ij and b_i be continuous functions on M with a_ij = a_ji. Suppose that for all x in M, the symmetric matrix [a_ij] is positive-definite. If u is a nonconstant C² function on M such that

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0$

on M, then u does not attain a maximum value on M.

निरंतरता की धारणा का बिंदु यह है कि निरंतर कार्य कॉम्पैक्ट सेटों पर बंधे होते हैं, यहां प्रासंगिक कॉम्पैक्ट सेट प्रमाण में दिखाई देने वाला गोलाकार वलय है। इसके अलावा, उसी सिद्धांत से, एक संख्या है λ ऐसा कि सभी के लिए x वलय में, मैट्रिक्स [a_ij(x)] के सभी eigenvalues ​​​​से अधिक या उसके बराबर हैं λ. एक फिर लेता है α, जैसा कि प्रमाण में दिख रहा है, इन सीमाओं के सापेक्ष बड़ा होना। इवांस की पुस्तक का सूत्रीकरण थोड़ा कमजोर है, जिसमें एक धनात्मक संख्या मानी जाती है λ जो कि eigenvalues ​​की निचली सीमा है [a_ij] सभी के लिए x में M.

सबूत के काम करने के लिए ये निरंतरता धारणाएं स्पष्ट रूप से सबसे सामान्य संभव नहीं हैं। उदाहरण के लिए, गिल्बर्ग और ट्रुडिंगर के प्रमेय का बयान, उसी प्रमाण के बाद निम्नलिखित है:

Let M be an open subset of Euclidean space ℝⁿ. For each i and j between 1 and n, let a_ij and b_i be functions on M with a_ij = a_ji. Suppose that for all x in M, the symmetric matrix [a_ij] is positive-definite, and let λ(x) denote its smallest eigenvalue. Suppose that $\textstyle {\frac {a_{ii}}{\lambda }}$ and $\textstyle {\frac {|b_{i}|}{\lambda }}$ are bounded functions on M for each i between 1 and n. If u is a nonconstant C² function on M such that

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0$

on M, then u does not attain a maximum value on M.

जैसा कि पहले से ही एक आयामी मामले में देखा गया है, इन कथनों को सामान्य द्वितीय-क्रम रैखिक अण्डाकार समीकरण तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, साधारण अंतर समीकरण y″ + 2y = 0 साइनसोइडल समाधान है, जिसमें निश्चित रूप से आंतरिक मैक्सिमा है। यह उच्च-आयामी मामले तक फैला हुआ है, जहां अक्सर ईजेनफंक्शन समीकरणों के समाधान होते हैं Δu + cu = 0 जिसमें इंटीरियर मैक्सिमा है। सी का चिह्न प्रासंगिक है, जैसा कि एक आयामी मामले में भी देखा गया है; उदाहरण के लिए समाधान y″ - 2y = 0 चरघातांकी होते हैं, और ऐसे फलनों की उच्चिष्ठता की प्रकृति ज्यावक्रीय फलनों से काफी भिन्न होती है।

यह भी देखें

• अधिकतम मापांक सिद्धांत
• हॉफ अधिकतम सिद्धांत

संदर्भ

शोध लेख

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पाठ्यपुस्तकें

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