परमाणु (माप सिद्धांत)

गणित में, अधिक सटीक रूप से माप सिद्धांत में, एक परमाणु एक मापने योग्य सेट होता है जिसका सकारात्मक माप होता है और इसमें छोटे सकारात्मक माप का कोई सेट नहीं होता है। एक उपाय जिसमें कोई परमाणु नहीं होता है, उसे गैर-परमाणु या परमाणु रहित कहा जाता है।

परिभाषा

एक मापने योग्य स्थान दिया गया $(X,\Sigma )$ और एक उपाय (गणित) $\mu$ उस स्थान पर, एक सेट $A\subset X$ में $\Sigma$ परमाणु कहा जाता है यदि

$$\mu (A)>0$$

और किसी भी मापने योग्य सबसेट के लिए $B\subset A$ साथ

$$\mu (B)<\mu (A)$$

सेट $B$ माप शून्य है।

अगर $A$ एक परमाणु है, सभी उपसमुच्चय $\mu$- तुल्यता वर्ग $[A]$ का $A$ परमाणु हैं, और $[A]$ परमाणु वर्ग कहा जाता है। अगर $\mu$ एक है $\sigma$- परिमित माप, असंख्य परमाणु वर्ग हैं।

उदाहरण

• समुच्चय X = {1, 2, ..., 9, 10} पर विचार करें और मान लें कि सिग्मा-बीजगणित $\Sigma$ X का सत्ता स्थापित हो। माप को परिभाषित करें $\mu$ एक सेट की प्रमुखता, यानी सेट में तत्वों की संख्या। फिर, प्रत्येक सिंगलटन (गणित) {i}, i = 1, 2, ..., 9, 10 के लिए एक परमाणु है।
• वास्तविक रेखा पर लेबेस्ग उपाय पर विचार करें। इस उपाय में कोई परमाणु नहीं है।

परमाणु के उपाय

ए $\sigma$- परिमित माप $\mu$ मापने योग्य स्थान पर $(X,\Sigma )$ परमाणु या विशुद्ध रूप से परमाणु कहा जाता है यदि सकारात्मक माप के प्रत्येक मापने योग्य सेट में एक परमाणु होता है। यह कहने के बराबर है कि एक गणनीय सेट का विभाजन है $X$ एक अशक्त सेट तक परमाणुओं द्वारा गठित। की धारणा $\sigma$-सीमा जरूरी है। अन्यथा स्थान पर विचार करें $(\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )$ कहाँ $\nu$ गिनती के उपाय को दर्शाता है। यह स्थान परमाणु है, जिसमें सभी परमाणु सिंगलटन (गणित) हैं, फिर भी अंतरिक्ष को कई अलग-अलग परमाणुओं के अलग-अलग संघों में विभाजित करने में सक्षम नहीं है, ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ और एक शून्य सेट $N$ चूँकि सिंगलटन का गणनीय संघ एक गणनीय सेट है, और वास्तविक संख्याओं की बेशुमारता से पता चलता है कि पूरक ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ बेशुमार होना होगा, इसलिए इसकी $\nu$-माप अनंत होगा, यह एक अशक्त सेट होने के विपरीत है। के लिए परिणाम की वैधता $\sigma$-परिमित स्थान परिमित माप रिक्त स्थान के प्रमाण से अनुसरण करते हैं, यह देखते हुए कि गणनीय संघों का गणनीय संघ फिर से एक गणनीय संघ है, और यह कि अशक्त सेटों के गणनीय संघ शून्य हैं।

असतत उपाय

ए $\sigma$- परिमित परमाणु माप $\mu$ असतत कहा जाता है यदि किसी परमाणु वर्ग के परमाणुओं का प्रतिच्छेदन खाली नहीं है। यह समतुल्य है यह कहने के लिए $\mu$ गिने-चुने कई डायराक उपायों का भारित योग है, यानी एक क्रम है $x_{1},x_{2},...$ अंकों में $X$, और एक क्रम $c_{1},c_{2},...$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं (वजन) का ऐसा है कि ${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$, जिसका अर्थ है कि ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ हरएक के लिए $A\in \Sigma$. हम प्रत्येक बिंदु को चुन सकते हैं $x_{k}$ परमाणुओं का एक सामान्य बिंदु होना में $k$-वाँ परमाणु वर्ग।

एक असतत उपाय परमाणु है लेकिन उलटा निहितार्थ विफल रहता है: लो $X=[0,1]$, $\Sigma$ $\sigma$गणनीय और सह-गणनीय उपसमूहों का बीजगणित, $\mu =0$ गणनीय उपसमुच्चय में और $\mu =1$ सह-गणनीय उपसमुच्चय में। फिर एक एकल परमाणु वर्ग होता है, जो सह-गणनीय उपसमुच्चय द्वारा गठित होता है। पैमाना $\mu$ परमाणु है लेकिन अद्वितीय परमाणु वर्ग में परमाणुओं का प्रतिच्छेदन खाली है और $\mu$ Dirac उपायों के योग के रूप में नहीं रखा जा सकता है।

यदि प्रत्येक परमाणु एक सिंगलटन के बराबर है, $\mu$ असतत है अगर यह परमाणु है। इस मामले में $x_{k}$ ऊपर परमाणु सिंगलटन हैं, इसलिए वे अद्वितीय हैं। बोरेल सेट के साथ प्रदान किए गए वियोज्य मीट्रिक स्थान में कोई परिमित माप इस शर्त को पूरा करता है।

गैर-परमाणु उपाय

वह माप जिसमें कोई परमाणु न हो कहलाता हैnon-atomic measure या एdiffuse measure. दूसरे शब्दों में, एक उपाय $\mu$ किसी मापने योग्य सेट के लिए गैर-परमाणु है $A$ साथ $\mu (A)>0$ एक औसत दर्जे का सबसेट मौजूद है $B$ का $A$ ऐसा है कि

$$\mu (A)>\mu (B)>0.$$

कम से कम एक सकारात्मक मूल्य के साथ एक गैर-परमाणु माप में एक सेट के साथ शुरू होने वाले अलग-अलग मूल्यों की अनंत संख्या होती है $A$ साथ $\mu (A)>0$ मापने योग्य सेटों के घटते क्रम का निर्माण किया जा सकता है

$$A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots$$

ऐसा है कि

$$\mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.$$

यह उन मापों के लिए सही नहीं हो सकता जिनमें परमाणु हों; ऊपर पहला उदाहरण देखें।

यह पता चला है कि गैर-परमाणु उपायों में वास्तव में मूल्यों का एक सातत्य (सिद्धांत) होता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि $\mu$ एक गैर-परमाणु उपाय है और $A$ के साथ एक मापने योग्य सेट है $\mu (A)>0,$ फिर किसी वास्तविक संख्या के लिए $b$ संतुष्टि देने वाला

$$\mu (A)\geq b\geq 0$$

एक औसत दर्जे का सबसेट मौजूद है $B$ का $A$ ऐसा है कि

$$\mu (B)=b.$$

यह सिद्धांत वैक्लाव सीरपिन्स्की के कारण है। यह निरंतर कार्यों के लिए मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय की याद दिलाता है।

गैर-परमाणु उपायों पर सिएरपिन्स्की के प्रमेय के प्रमाण का रेखाचित्र। थोड़ा मजबूत बयान, जो हालांकि सबूत को आसान बनाता है, वह है अगर $(X,\Sigma ,\mu )$ एक गैर-परमाणु माप स्थान है और $\mu (X)=c,$ एक समारोह मौजूद है $S:[0,c]\to \Sigma$ यह समावेशन के संबंध में मोनोटोन है, और इसका दायां-विपरीत है $\mu :\Sigma \to [0,c].$ यही है, मापने योग्य सेटों का एक-पैरामीटर परिवार मौजूद है $S(t)$ ऐसा कि सभी के लिए $0\leq t\leq t'\leq c$

$$S(t)\subseteq S(t'),$$

$$\mu \left(S(t)\right)=t.$$

सबूत आसानी से ज़ोर्न के लेम्मा से अनुसरण करता है जो सभी मोनोटोन आंशिक वर्गों के सेट पर लागू होता है $\mu$ :

$$\Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subseteq [0,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,{\text{ for all }}t\in D\;(\mu (S(t))=t)\},$$

रेखांकन को शामिल करने का आदेश दिया, $\mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').$ यह दिखाने के लिए मानक है कि प्रत्येक श्रृंखला में $\Gamma$ में एक ऊपरी सीमा है $\Gamma ,$ और इसका कोई भी अधिकतम तत्व $\Gamma$ डोमेन है $[0,c],$ दावा साबित करना।

यह भी देखें

• परमाणु (आदेश सिद्धांत) — आदेश सिद्धांत में एक समान अवधारणा
• डिराक डेल्टा समारोह
• प्राथमिक घटना, जिसे परमाणु घटना के रूप में भी जाना जाता है

संदर्भ

• Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. (1997). Real analysis. Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall. p. 108. ISBN 0-13-458886-X.
• Butnariu, Dan; Klement, E. P. (1993). Triangular norm-based measures and games with fuzzy coalitions. Dordrecht: Kluwer Academic. p. 87. ISBN 0-7923-2369-6.

बाहरी संबंध

• Atom at The Encyclopedia of Mathematics