परमाणु (माप सिद्धांत)

गणित में, अधिक यथार्थ रूप से माप सिद्धांत में, एक परमाणु एक मापनीय समुच्चय होता है जिसका धनात्मक माप होता है और इसमें छोटे धनात्मक माप का कोई समुच्चय नहीं होता है। एक माप जिसमें कोई परमाणु नहीं होता है, उसे गैर-परमाणु या परमाणु रहित कहा जाता है।

परिभाषा

एक मापनीय समष्टि $(X,\Sigma )$ और उस समष्टि पर माप (गणित) $\mu$ को देखते हुए, $\Sigma$ में समुच्चय $A\subset X$ को एक परमाणु कहा जाता है यदि

$$\mu (A)>0$$

और किसी भी मापनीय उपसमुच्चय $B\subset A$ के लिए

$$\mu (B)<\mu (A)$$

के साथ समुच्चय $B$ का माप शून्य है।

यदि $A$ एक परमाणु है , तो $A$ के $\mu$- तुल्यता वर्ग $[A]$ के सभी उपसमुच्चय परमाणु हैं, और $[A]$ को एक परमाणु वर्ग कहा जाता है। यदि $\mu$ एक $\sigma$- परिमित माप है, तो असंख्य परमाणु वर्ग हैं।

उदाहरण

• समुच्चय X = {1, 2, ..., 9, 10} पर विचार करें और सिग्मा-बीजगणित $\Sigma$ को X का घात समुच्चय मान लें। एक समुच्चय की माप $\mu$ को उसके गणनांक, अर्थात समुच्चय में अवयवों की संख्या के रूप में परिभाषित करें। फिर, प्रत्येक एकल (गणित) {i}, i = 1, 2, ..., 9, 10 के लिए एक परमाणु है।
• वास्तविक रेखा पर लेबेस्ग माप पर विचार करें। इस माप में कोई परमाणु नहीं है।

परमाणु के माप

मापनीय समष्टि $(X,\Sigma )$ पर $\sigma$- परिमित माप $\mu$ को परमाणु या विशुद्ध रूप से परमाणु कहा जाता है यदि धनात्मक माप के प्रत्येक मापनीय समुच्चय में एक परमाणु होता है। यह कहने के समतुल्य है कि शून्य समुच्चय तक परमाणुओं द्वारा गठित $X$ का गणनीय समुच्चय का विभाजन है। $\sigma$-परिमितता की धारणा आवश्यक है। अन्यथा समष्टि $(\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )$ पर विचार करें जहां $\nu$ गणना माप को दर्शाता है। यह समष्टि परमाणु है, जिसमें सभी परमाणु एकल (गणित) हैं, फिर भी समष्टि को कई अलग-अलग परमाणुओं, ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ और एक शून्य समुच्चय $N$ असंयुक्त संयोजनों में विभाजित करने में सक्षम नहीं है, चूँकि एकल का गणनीय संयोजन एक गणनीय समुच्चय है, और वास्तविक संख्याओं की अगणनीयता से पता चलता है कि पूरक ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ अगणनीय होना होगा, इसलिए इसका $\nu$-माप अनंत होगा, इसके विपरीत यह एक शून्य समुच्चय है। $\sigma$-परिमित समष्टि के परिणाम की वैधता परिमित माप रिक्त समष्टि के प्रमाण से अनुसरण करती है, यह देखते हुए कि गणनीय संयोजनों का गणनीय संयोजन फिर से एक गणनीय संयोजन है, और यह कि शून्य समुच्चयों के गणनीय संयोजन शून्य हैं।

असतत माप

$\sigma$- परिमित परमाणु माप $\mu$ को असतत कहा जाता है यदि किसी परमाणु वर्ग के परमाणुओं का प्रतिच्छेदन रिक्त नहीं है। यह कहने के समतुल्य है कि $\mu$ गणनात्मक रूप से कई डिरैक मापों का भारित योग है, अर्थात $X$ में अंकों का अनुक्रम $x_{1},x_{2},...$ है, और धनात्मक वास्तविक संख्याओं (भार) का अनुक्रम $c_{1},c_{2},...$ ऐसा है कि ${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$ , जिसका अर्थ है कि प्रत्येक $A\in \Sigma$ के लिए ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ । हम $k$-वें परमाणु वर्ग में प्रत्येक बिंदु $x_{k}$ को परमाणुओं का एक सामान्य बिंदु चुन सकते हैं।

एक असतत माप परमाणु है परन्तु व्युत्क्रम निहितार्थ विफल रहता है: $X=[0,1]$, $\Sigma$ को गणनीय और सह-गणनीय उपसमुच्चय का $\sigma$-बीजगणित, गणनीय उपसमुच्चय में $\mu =0$ और सह-गणनीय उपसमुच्चय में $\mu =1$ लें। फिर एक एकल परमाणु वर्ग होता है, जो सह-गणनीय उपसमुच्चय द्वारा गठित होता है। माप $\mu$ परमाणु है परन्तु अद्वितीय परमाणु वर्ग में परमाणुओं का प्रतिच्छेदन रिक्त है और $\mu$ को डिरैक मापों के योग के रूप में नहीं रखा जा सकता है।

यदि प्रत्येक परमाणु एकल $\mu$ के समतुल्य है, असतत है यदि यह परमाणु है। इस स्थिति में उपरोक्त $x_{k}$ परमाणु एकल हैं, इसलिए वे अद्वितीय हैं। बोरेल समुच्चय के साथ प्रदान किए गए वियोज्य मापीय समष्टि में कोई परिमित माप इस प्रतिबन्ध को पूरा करता है।

गैर-परमाणु माप

एक माप जिसमें कोई परमाणु नहीं होता है, उसे गैर-परमाणु माप या विसरित माप कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक माप $\mu$ गैर-परमाणु है यदि किसी मापनीय समुच्चय $A$ के लिए $\mu (A)>0$ के साथ $A$ का मापनीय उपसमुच्चय $B$ स्थित है जैसे कि

$$\mu (A)>\mu (B)>0.$$

कम से कम धनात्मक मान के साथ एक गैर-परमाणु माप में एक समुच्चय के साथ शुरू होने वाले अलग-अलग मानों की अनंत संख्या होती है $A$ साथ $\mu (A)>0$ मापनीय समुच्चयों के घटते क्रम का निर्माण किया जा सकता है

$$A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots$$

ऐसा है कि

$$\mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.$$

यह उन मापों के लिए सही नहीं हो सकता जिनमें परमाणु हों; ऊपर पहला उदाहरण देखें।

यह पता चला है कि गैर-परमाणु मापों में वास्तव में मानों का एक सातत्य (सिद्धांत) होता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि $\mu$ एक गैर-परमाणु माप है और $A$ के साथ एक मापनीय समुच्चय है $\mu (A)>0,$ फिर किसी वास्तविक संख्या के लिए $b$ संतुष्टि देने वाला

$$\mu (A)\geq b\geq 0$$

एक औसत दर्जे का उपसमुच्चय स्थित है $B$ का $A$ ऐसा है कि

$$\mu (B)=b.$$

यह सिद्धांत वैक्लाव सीरपिन्स्की के कारण है। यह निरंतर कार्यों के लिए मध्यवर्ती मान प्रमेय की याद दिलाता है।

गैर-परमाणु मापों पर सिएरपिन्स्की के प्रमेय के प्रमाण का रेखाचित्र। थोड़ा मजबूत बयान, जो हालांकि सबूत को आसान बनाता है, वह है यदि $(X,\Sigma ,\mu )$ एक गैर-परमाणु माप समष्टि है और $\mu (X)=c,$ एक समारोह स्थित है $S:[0,c]\to \Sigma$ यह समावेशन के संबंध में मोनोटोन है, और इसका दायां-विपरीत है $\mu :\Sigma \to [0,c].$ यही है, मापनीय समुच्चयों का एक-पैरामीटर परिवार स्थित है $S(t)$ ऐसा कि सभी के लिए $0\leq t\leq t'\leq c$

$$S(t)\subseteq S(t'),$$

$$\mu \left(S(t)\right)=t.$$

सबूत आसानी से ज़ोर्न के लेम्मा से अनुसरण करता है जो सभी मोनोटोन आंशिक वर्गों के समुच्चय पर लागू होता है $\mu$ :

$$\Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subseteq [0,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,{\text{ for all }}t\in D\;(\mu (S(t))=t)\},$$

रेखांकन को शामिल करने का आदेश दिया, $\mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').$ यह दिखाने के लिए मानक है कि प्रत्येक श्रृंखला में $\Gamma$ में एक ऊपरी सीमा है $\Gamma ,$ और इसका कोई भी अधिकतम अवयव $\Gamma$ डोमेन है $[0,c],$ दावा साबित करना।

यह भी देखें

• परमाणु (आदेश सिद्धांत) — आदेश सिद्धांत में एक समान अवधारणा
• डिराक डेल्टा समारोह
• प्राथमिक घटना, जिसे परमाणु घटना के रूप में भी जाना जाता है

संदर्भ

• Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. (1997). Real analysis. Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall. p. 108. ISBN 0-13-458886-X.
• Butnariu, Dan; Klement, E. P. (1993). Triangular norm-based measures and games with fuzzy coalitions. Dordrecht: Kluwer Academic. p. 87. ISBN 0-7923-2369-6.

बाहरी संबंध

• Atom at The Encyclopedia of Mathematics