समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप

एक साथ समीकरण मॉडल एक प्रकार का सांख्यिकीय मॉडल है जिसमें आश्रित और स्वतंत्र चर केवल स्वतंत्र चर के बजाय अन्य आश्रित चर के कार्य होते हैं। इसका मतलब है कि कुछ व्याख्यात्मक चर आश्रित चर के साथ अंतर्जात (अर्थमिति) हैं, जो अर्थशास्त्र में आमतौर पर कुछ अंतर्निहित आर्थिक संतुलन का परिणाम है। विशिष्ट आपूर्ति और मांग मॉडल को लें: जबकि आम तौर पर कोई आपूर्ति की गई मात्रा का निर्धारण करेगा और बाजार द्वारा निर्धारित मूल्य का एक कार्य होने की मांग करेगा, यह रिवर्स के लिए भी संभव है, जहां निर्माता उस मात्रा का निरीक्षण करते हैं जो उपभोक्ता मांग करते हैं और फिर कीमत निर्धारित करें। एक साथ रुचि के सांख्यिकीय मापदंडों के बिंदु अनुमान के लिए चुनौतियां खड़ी होती हैं, क्योंकि गॉस-मार्कोव प्रमेय| और जबकि एक साथ सभी युगपत समीकरणों का अनुमान लगाना स्वाभाविक होगा, यह अक्सर रैखिक समीकरणों की सबसे सरल प्रणाली के लिए भी एक कम्प्यूटेशनल जटिलता गैर-रैखिक अनुकूलन समस्या की ओर ले जाता है। इस स्थिति ने 1940 और 1950 के दशक में काउल्स आयोग के नेतृत्व में विकास को प्रेरित किया, विभिन्न तकनीकों का जो मॉडल सेरीटिम में प्रत्येक समीकरण का अनुमान लगाता है, सबसे विशेष रूप से सीमित जानकारी अधिकतम संभावना और दो-चरण कम से कम वर्ग।

संरचनात्मक और घटा हुआ रूप

मान लीजिए कि फॉर्म के एम रिग्रेशन समीकरण हैं

$y_{it}=y_{-i,t}'\gamma _{i}+x_{it}'\;\!\beta _{i}+u_{it},\quad i=1,\ldots ,m,$

जहां मैं समीकरण संख्या है, और t = 1, ..., T अवलोकन सूचकांक है। इन समीकरणों में x_itकश्मीर है_iएक्सोजेनस वेरिएबल्स का 1 वेक्टर, y_itआश्रित चर है, y_−i,tतब है_iअन्य सभी अंतर्जात चर के ×1 वेक्टर जो i में प्रवेश करते हैं^th दाईं ओर समीकरण, और u_itत्रुटि शर्तें हैं। "−i" अंकन दर्शाता है कि सदिश y_−i,ty को छोड़कर कोई भी y शामिल हो सकता है_it(चूंकि यह पहले से ही बाईं ओर मौजूद है)। प्रतिगमन गुणांक β_iऔर जी_iआयाम k हैं_i×1 और एन_i×1 संगत। i के संगत T प्रेक्षणों को लंबवत रूप से स्टैक करना^वें समीकरण, हम प्रत्येक समीकरण को सदिश रूप में लिख सकते हैं

$y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i},\quad i=1,\ldots ,m,$

कहां क्यों_iऔर आप_iटी × 1 वैक्टर हैं, एक्स_iटी × के है_iबहिर्जात रजिस्टरों का मैट्रिक्स, और वाई_−iएक टी × एन है_ii के दाईं ओर अंतर्जात रजिस्टरों का मैट्रिक्स^वें समीकरण। अंत में, हम सभी अंतर्जात चरों को बाईं ओर स्थानांतरित कर सकते हैं और m समीकरणों को सदिश रूप में संयुक्त रूप से लिख सकते हैं

$Y\Gamma =X\mathrm {B} +U.\,$

इस प्रतिनिधित्व को संरचनात्मक रूप के रूप में जाना जाता है। इस समीकरण में Y = [y₁ y₂ ... y_m] आश्रित चरों का T×m मैट्रिक्स है। प्रत्येक मेट्रिसेस वाई_−iवास्तव में एक एन है_iइस Y का स्तंभित सबमैट्रिक्स। m×m मैट्रिक्स Γ, जो निर्भर चर के बीच संबंध का वर्णन करता है, की एक जटिल संरचना है। इसमें एक विकर्ण पर है, और प्रत्येक स्तंभ i के अन्य सभी तत्व या तो सदिश −γ के घटक हैं_iया शून्य, इस पर निर्भर करता है कि Y के किन स्तंभों को मैट्रिक्स Y में शामिल किया गया था_−i. T×k मैट्रिक्स X में सभी समीकरणों से सभी बहिर्जात प्रतिगमन शामिल हैं, लेकिन दोहराव के बिना (यानी, मैट्रिक्स X पूर्ण रैंक का होना चाहिए)। इस प्रकार, प्रत्येक एक्स_iके है_iX का स्तंभित सबमैट्रिक्स। मैट्रिक्स Β का आकार k×m है, और इसके प्रत्येक कॉलम में वैक्टर β के घटक होते हैं_iऔर शून्य, इस पर निर्भर करता है कि X के कौन से प्रतिगामी शामिल थे या X से बाहर किए गए थे_i. आखिरकार, U = [u₁ u₂ ... u_m] त्रुटि शर्तों का एक T×m मैट्रिक्स है।

द्वारा संरचनात्मक समीकरण को पश्चगुणित करना Γ⁻¹, सिस्टम को कम रूप में लिखा जा सकता है

$Y=X\mathrm {B} \Gamma ^{-1}+U\Gamma ^{-1}=X\Pi +V.\,$

यह पहले से ही एक साधारण सामान्य रैखिक मॉडल है, और इसका अनुमान लगाया जा सकता है, उदाहरण के लिए साधारण कम से कम वर्गों द्वारा। दुर्भाग्य से, अनुमानित मैट्रिक्स को विघटित करने का कार्य $\scriptstyle {\hat {\Pi }}$ व्यक्तिगत कारकों में Β और Γ⁻¹ काफी जटिल है, और इसलिए घटा हुआ रूप भविष्यवाणी के लिए अधिक उपयुक्त है, लेकिन अनुमान के लिए नहीं।

अनुमान

सबसे पहले, बहिर्जात रजिस्टरों के मैट्रिक्स X की रैंक k के बराबर होनी चाहिए, दोनों परिमित नमूनों में और सीमा के रूप में T → ∞ (इस बाद की आवश्यकता का अर्थ है कि अभिव्यक्ति की सीमा में $\scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X$ एक गैर-डीजेनरेट k × k मैट्रिक्स में परिवर्तित होना चाहिए)। मैट्रिक्स Γ को गैर-पतित भी माना जाता है।

दूसरे, त्रुटि शर्तों को क्रमिक रूप से स्वतंत्र और समान रूप से वितरित माना जाता है। यानी अगर टी^{मैट्रिक्स यू की पंक्ति को यू द्वारा निरूपित किया जाता है_(t), फिर वैक्टर का क्रम {यू_(t)} iid होना चाहिए, शून्य माध्य और कुछ सहप्रसरण मैट्रिक्स Σ (जो अज्ञात है) के साथ। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है E[U] = 0, और E[U′U] = T Σ.}

अंत में, पहचान के लिए मान्यताओं की आवश्यकता होती है।

पहचान

पहचान की शर्तों के लिए आवश्यक है कि रैखिक समीकरणों की प्रणाली अज्ञात मापदंडों के लिए हल करने योग्य हो।

अधिक विशेष रूप से, आदेश की स्थिति, पहचान के लिए एक आवश्यक शर्त, वह है जो प्रत्येक समीकरण के लिए है k_i + n_i ≤ k, जिसे "बहिष्कृत बहिर्जात चरों की संख्या शामिल अंतर्जात चरों की संख्या के बराबर या अधिक है" के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

रैंक की स्थिति, एक मजबूत स्थिति जो आवश्यक और पर्याप्त है, वह रैंक (रैखिक बीजगणित) है Π_i0 बराबर है n_i, कहाँ Π_i0 एक है (k − k_i)×n_i मैट्रिक्स से प्राप्त किया जाता है Π उन स्तंभों को पार करके जो बहिष्कृत अंतर्जात चर के अनुरूप हैं, और वे पंक्तियाँ जो शामिल बहिर्जात चर के अनुरूप हैं।

पहचान प्राप्त करने के लिए क्रॉस-इक्वेशन प्रतिबंधों का उपयोग

एक साथ समीकरण मॉडल में, पैरामीटर पहचान समस्या को प्राप्त करने का सबसे आम तरीका भीतर-समीकरण पैरामीटर प्रतिबंधों को लागू करना है। फिर भी, क्रॉस इक्वेशन प्रतिबंधों का उपयोग करके पहचान भी संभव है।

पहचान के लिए क्रॉस समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग कैसे किया जा सकता है, यह समझाने के लिए, वूल्ड्रिज से निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें

${\begin{aligned}y_{1}&=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{12}z_{2}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}\\y_{2}&=\gamma _{21}y_{1}+\delta _{21}z_{1}+\delta _{22}z_{2}+u_{2}\end{aligned}}$

जहाँ z, u के साथ असंबद्ध हैं और y अंतर्जात चर चर हैं। आगे के प्रतिबंधों के बिना, पहले समीकरण की पहचान नहीं की जा सकती क्योंकि कोई बहिष्कृत चर नहीं है। दूसरे समीकरण की पहचान सिर्फ अगर की जाती है δ₁₃≠0, जिसे शेष चर्चा के लिए सत्य माना जाता है।

अब हम का क्रॉस समीकरण प्रतिबंध लगाते हैं δ₁₂=δ₂₂. चूंकि दूसरे समीकरण की पहचान की गई है, हम इलाज कर सकते हैं δ₁₂ जैसा कि पहचान के उद्देश्य से जाना जाता है। तो, पहला समीकरण बन जाता है:

$y_{1}-\delta _{12}z_{2}=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}$

तब हम उपयोग कर सकते हैं (z₁, z₂, z₃) उपरोक्त समीकरण में गुणांकों का अनुमान लगाने के लिए सहायक चर के रूप में क्योंकि एक अंतर्जात चर हैं (y₂) और एक अपवर्जित बहिर्जात चर (z₂) दाहिने हाथ की ओर। इसलिए, भीतर-समीकरण प्रतिबंधों के स्थान पर क्रॉस समीकरण प्रतिबंध पहचान प्राप्त कर सकते हैं।

अनुमान

दो-चरण न्यूनतम वर्ग (2SLS)

एक साथ समीकरण मॉडल के लिए सबसे सरल और सबसे आम अनुमान विधि तथाकथित दो-चरण कम से कम वर्ग विधि है, द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित किया गया Theil (1953) और Basmann (1957). यह एक समीकरण-दर-समीकरण तकनीक है, जहां प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर के अंतर्जात प्रतिगामी को अन्य सभी समीकरणों से प्रतिगामी X के साथ यंत्रीकृत किया जा रहा है। विधि को "दो-चरण" कहा जाता है क्योंकि यह दो चरणों में अनुमान लगाती है:: चरण 1: प्रतिगमन वाई_−iX पर और अनुमानित मान प्राप्त करें $\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}$;

चरण 2: अनुमान सी_i, बी_iy के सामान्य न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन द्वारा_iपर $\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}$ और एक्स_i.

अगर मैं^वें मॉडल में समीकरण के रूप में लिखा गया है

$y_{i}={\begin{pmatrix}Y_{-i}&X_{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma _{i}\\\beta _{i}\end{pmatrix}}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i},$

जहां जेड_iएक टी × (एन_i + के_i) i में अंतर्जात और बहिर्जात दोनों प्रतिगमन का मैट्रिक्स^{वें </सुप> समीकरण, और δ_iएक है (एन_i + के_i)-प्रतिगमन गुणांक के आयामी वेक्टर, फिर δ के 2SLS अनुमानक_iद्वारा दिया जाएगा: ${\hat {\delta }}_{i}={\big (}{\hat {Z}}'_{i}{\hat {Z}}_{i}{\big )}^{-1}{\hat {Z}}'_{i}y_{i}={\big (}Z'_{i}PZ_{i}{\big )}^{-1}Z'_{i}Py_{i},$ कहाँ P = X (X ′X)−1X ′ बहिर्जात रजिस्टरों X द्वारा फैलाए गए रैखिक स्थान पर प्रोजेक्शन मैट्रिक्स है।}

अप्रत्यक्ष कम से कम वर्ग

अप्रत्यक्ष कम से कम वर्ग अर्थमिति में एक दृष्टिकोण है जहां एक साथ समीकरण मॉडल में गुणांक सामान्य कम से कम वर्गों का उपयोग करके कम फॉर्म मॉडल से अनुमान लगाया जाता है। इसके लिए, समीकरणों की संरचनात्मक प्रणाली को पहले कम रूप में परिवर्तित किया जाता है। एक बार गुणांकों का अनुमान लगाने के बाद मॉडल को संरचनात्मक रूप में वापस रखा जाता है।

सीमित जानकारी अधिकतम संभावना (LIML)

"सीमित जानकारी" अधिकतम संभावना विधि का सुझाव दिया गया था मेयर ए। गिरशिक|एम। 1947 में ए गिरशिक, और थियोडोर विल्बर एंडरसन|टी द्वारा औपचारिक रूप दिया गया। डब्ल्यू. एंडरसन और हरमन रुबिन|एच. 1949 में रुबिन। इसका उपयोग तब किया जाता है जब कोई एक समय में एक एकल संरचनात्मक समीकरण का अनुमान लगाने में रुचि रखता है (इसलिए सीमित जानकारी का नाम), अवलोकन के लिए कहें i:

$y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i}$

शेष अंतर्जात चर Y के लिए संरचनात्मक समीकरण_−i निर्दिष्ट नहीं हैं, और उन्हें उनके संक्षिप्त रूप में दिया गया है:

$Y_{-i}=X\Pi +U_{-i}$

इस संदर्भ में संकेतन साधारण वाद्य चर के मामले से अलग है। किसी के पास:

• $Y_{-i}$: अंतर्जात चर।
• $X_{-i}$: बहिर्जात चर (ओं)
• $X$: उपकरण (है) (अक्सर निरूपित $Z$)

एलआईएमएल के लिए स्पष्ट सूत्र है:

${\hat {\delta }}_{i}={\Big (}Z'_{i}(I-\lambda M)Z_{i}{\Big )}^{\!-1}Z'_{i}(I-\lambda M)y_{i},$

कहाँ M = I − X (X ′X)⁻¹X ′, और λ मैट्रिक्स की सबसे छोटी विशेषता जड़ है:

${\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}^{\!-1}$

जहां, इसी तरह, M_i = I − X_i (X_i′X_i)⁻¹X_i′.

दूसरे शब्दों में, λ सामान्यीकृत आइगेनवैल्यू समस्या का सबसे छोटा समाधान है#सामान्यीकृत आइगेनवैल्यू समस्या, देखें Theil (1971, p. 503):

${\Big |}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big |}=0$

के वर्ग के अनुमानक

एलआईएमएल के-श्रेणी के अनुमानकर्ताओं का एक विशेष मामला है:

${\hat {\delta }}={\Big (}Z'(I-\kappa M)Z{\Big )}^{\!-1}Z'(I-\kappa M)y,$

साथ:

• $\delta ={\begin{bmatrix}\beta _{i}&\gamma _{i}\end{bmatrix}}$
• $Z={\begin{bmatrix}X_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}$

कई अनुमानक इस वर्ग के हैं:

• κ=0: सामान्य न्यूनतम वर्ग
• κ=1: 2SLS। वास्तव में ध्यान दें कि इस मामले में, $I-\kappa M=I-M=P$ 2SLS का सामान्य प्रोजेक्शन मैट्रिक्स
• के = एल: एलआईएमएल
• κ=λ - α (एन-के): Fuller (1977) अनुमानक। यहाँ K उपकरणों की संख्या, n नमूना आकार, और α निर्दिष्ट करने के लिए एक सकारात्मक स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है। α = 1 का मान एक अनुमानक उत्पन्न करेगा जो लगभग निष्पक्ष है।

तीन-चरण न्यूनतम वर्ग (3SLS)

तीन-चरण न्यूनतम वर्ग अनुमानक किसके द्वारा पेश किया गया था Zellner & Theil (1962). इसे क्षणों के बहु-समीकरण सामान्यीकृत विधि के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है जहां वाद्य चर का सेट सभी समीकरणों के लिए सामान्य है। यदि सभी प्रतिगामी वास्तव में पूर्व निर्धारित हैं, तो 3SLS प्रतीत होता है कि असंबंधित प्रतिगमन (SUR) को कम कर देता है। इस प्रकार इसे SUR के साथ 2SLS | टू-स्टेज लीस्ट स्क्वेयर (2SLS) के संयोजन के रूप में भी देखा जा सकता है।

सामाजिक विज्ञान में अनुप्रयोग

विभिन्न क्षेत्रों और विषयों में एक साथ समीकरण मॉडल विभिन्न अवलोकन संबंधी घटनाओं पर लागू होते हैं। इन समीकरणों को तब लागू किया जाता है जब घटनाओं को पारस्परिक रूप से कारण मान लिया जाता है। क्लासिक उदाहरण अर्थशास्त्र में आपूर्ति और मांग है। अन्य विषयों में उम्मीदवार के मूल्यांकन और पार्टी की पहचान जैसे उदाहरण हैं या राजनीति विज्ञान में जनमत और सामाजिक नीति; भूगोल में सड़क निवेश और यात्रा की मांग; और शैक्षिक प्राप्ति और समाजशास्त्र या जनसांख्यिकी में पितृत्व प्रवेश। एक साथ समीकरण मॉडल के लिए पारस्परिक कार्य-कारण के सिद्धांत की आवश्यकता होती है जिसमें विशेष विशेषताएं शामिल होती हैं यदि एक समीकरण के एकतरफा 'ब्लॉक' के विपरीत एक साथ प्रतिक्रिया के रूप में कारण प्रभाव का अनुमान लगाया जाता है जहां एक शोधकर्ता वाई पर एक्स के कारण प्रभाव में रुचि रखता है। एक्स पर वाई के कारण प्रभाव को स्थिर रखते हुए, या जब शोधकर्ता प्रत्येक कारण प्रभाव के होने में लगने वाले समय की सटीक मात्रा को जानता है, यानी कारण की लंबाई कम हो जाती है। लैग्ड प्रभावों के बजाय, एक साथ प्रतिक्रिया का अर्थ है एक दूसरे पर X और Y के एक साथ और स्थायी प्रभाव का अनुमान लगाना। इसके लिए एक सिद्धांत की आवश्यकता होती है कि कारणात्मक प्रभाव समय के साथ-साथ होते हैं, या इतने जटिल होते हैं कि वे एक साथ व्यवहार करते दिखाई देते हैं; एक सामान्य उदाहरण रूममेट्स की मनोदशा है। एक साथ प्रतिक्रिया मॉडल का अनुमान लगाने के लिए संतुलन का एक सिद्धांत भी आवश्यक है - कि X और Y अपेक्षाकृत स्थिर अवस्था में हैं या एक प्रणाली (समाज, बाजार, कक्षा) का हिस्सा हैं जो अपेक्षाकृत स्थिर स्थिति में है।

यह भी देखें

• सामान्य रैखिक मॉडल
• प्रतीत होता है असंबंधित प्रतिगमन
• घटा हुआ रूप
• पैरामीटर पहचान समस्या

अग्रिम पठन

• Asteriou, Dimitrios; Hall, Stephen G. (2011). Applied Econometrics (Second ed.). Basingstoke: Palgrave Macmillan. p. 395. ISBN 978-0-230-27182-1.
• Chow, Gregory C. (1983). Econometrics. New York: McGraw-Hill. pp. 117–121. ISBN 0-07-010847-1.
• Fomby, Thomas B.; Hill, R. Carter; Johnson, Stanley R. (1984). "Simultaneous Equations Models". Advanced Econometric Methods. New York: Springer. pp. 437–552. ISBN 0-387-90908-7.
• Maddala, G. S.; Lahiri, Kajal (2009). "Simultaneous Equations Models". Introduction to Econometrics (Fourth ed.). New York: Wiley. pp. 355–400. ISBN 978-0-470-01512-4.
• Ruud, Paul A. (2000). "Simultaneous Equations". An Introduction to Classical Econometric Theory. Oxford University Press. pp. 697–746. ISBN 0-19-511164-8.
• Sargan, Denis (1988). Lectures on Advanced Econometric Theory. Oxford: Basil Blackwell. pp. 68–89. ISBN 0-631-14956-2.
• Wooldridge, Jeffrey M. (2013). "Simultaneous Equations Models". Introductory Econometrics (Fifth ed.). South-Western. pp. 554–582. ISBN 978-1-111-53104-1.

बाहरी संबंध

• Lecture on the Identification Problem in 2SLS, and Estimation on YouTube by Mark Thoma