स्टाइनस्प्रिंग फैलाव प्रमेय

गणित में, स्टाइनस्प्रिंग का फैलाव प्रमेय, जिसे स्टाइनस्प्रिंग का गुणनखंडन प्रमेय भी कहा जाता है, जिसका नाम डब्ल्यू फॉरेस्ट स्टाइनस्प्रिंग के नाम पर रखा गया है, यह ऑपरेटर सिद्धांत का एक परिणाम है जो C*-बीजगणित पर किसी भी पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें से प्रत्येक में दो पूरी तरह से सकारात्मक नक्शे होते हैं। एक विशेष रूप:

1. A * - कुछ सहायक हिल्बर्ट अंतरिक्ष K पर A का प्रतिनिधित्व और उसके बाद
2. T ↦ V*TV फॉर्म का एक ऑपरेटर मैप।

इसके अलावा, स्टाइनस्प्रिंग की प्रमेय एक संरचना प्रमेय है जो सी*-बीजगणित से हिल्बर्ट स्पेस पर बंधे ऑपरेटरों के बीजगणित में है। पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों को *-निरूपणों के सरल संशोधनों के रूप में दिखाया जाता है, या कभी-कभी *-बीजगणित|*-समरूपता कहा जाता है।

सूत्रीकरण

इकाई बीजगणित C*-बीजगणित के मामले में, परिणाम इस प्रकार है:

प्रमेय। चलो ए एक इकाई सी*-बीजगणित हो, एच एक हिल्बर्ट स्पेस हो, और बी(एच) एच पर बंधे हुए ऑपरेटर हों। हर पूरी तरह से सकारात्मक के लिए

$\Phi :A\to B(H),$ : एक हिल्बर्ट स्पेस K और एक यूनिटल *-होमोमोर्फिज्म मौजूद है

$\pi :A\to B(K)$

ऐसा है कि

$\Phi (a)=V^{\ast }\pi (a)V,$

कहाँ $V:H\to K$ एक परिबद्ध संकारक है। इसके अलावा, हमारे पास है

$\|\Phi (1)\|=\|V\|^{2}.$

अनौपचारिक रूप से, कोई कह सकता है कि हर पूरी तरह से सकारात्मक नक्शा $\Phi$ प्रपत्र के मानचित्र तक संपत्ति को उठाना हो सकता है $V^{*}(\cdot )V$.

प्रमेय का विलोम तुच्छ रूप से सत्य है। इसलिए स्टिंसप्रिंग का परिणाम पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों को वर्गीकृत करता है।

प्रमाण का रेखाचित्र

अब हम संक्षेप में प्रमाण की रूपरेखा तैयार करते हैं। होने देना $K=A\otimes H$. के लिए $a\otimes h,\ b\otimes g\in K$, परिभाषित करना

$\langle a\otimes h,b\otimes g\rangle _{K}:=\langle \Phi (b^{*}a)h,g\rangle _{H}=\langle h,\Phi (a^{*}b)g\rangle _{H}$

और अर्ध-रैखिकता से सभी K तक विस्तारित होता है। यह एक हर्मिटियन ऑपरेटर sesquilinear रूप है क्योंकि $\Phi$ * ऑपरेशन के अनुकूल है। की पूर्ण सकारात्मकता $\Phi$ तब यह दिखाने के लिए प्रयोग किया जाता है कि यह अनुक्रमिक रूप वास्तव में सकारात्मक अर्ध निश्चित है। चूँकि सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स हर्मिटियन सेस्क्विलिनियर रूप कॉची-श्वार्ज़ असमानता को संतुष्ट करते हैं, उपसमुच्चय

$K'=\{x\in K\mid \langle x,x\rangle _{K}=0\}\subset K$

एक उपक्षेत्र है। भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित)#Quotient_of_a_Banach_space_by_a_subspace पर विचार करके हम पतन (गणित) को हटा सकते हैं $K/K'$. इस भागफल स्थान का समापन (बीजगणित) तब एक हिल्बर्ट स्थान है, जिसे इसके द्वारा भी निरूपित किया जाता है $K$. अगला परिभाषित करें $\pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g$ और $Vh=1_{A}\otimes h$. कोई इसकी जांच कर सकता है $\pi$ और $V$ वांछित गुण हैं।

नोटिस जो $V$ H का K में प्राकृतिक रूपांतरण बीजगणितीय एम्बेडिंग है। कोई भी इसे सत्यापित कर सकता है $V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h$ रखती है। विशेष रूप से $V^{\ast }V=\Phi (1)$ ऐसा रखता है $V$ एक आइसोमेट्री है अगर और केवल अगर $\Phi (1)=1$. इस मामले में एच को हिल्बर्ट स्पेस अर्थ में, के और में एम्बेड किया जा सकता है $V^{\ast }$, K पर कार्य करते हुए, H पर प्रक्षेपण बन जाता है। प्रतीकात्मक रूप से, हम लिख सकते हैं

$\Phi (a)=P_{H}\;\pi (a){\Big |}_{H}.$

तनुकरण सिद्धांत की भाषा में यही कहना है $\Phi (a)$ का संपीडन है $\pi (a)$. इसलिए यह स्टाइनस्प्रिंग के प्रमेय का एक परिणाम है कि प्रत्येक इकाई पूरी तरह से सकारात्मक नक्शा कुछ ** - समरूपता का संपीड़न है।

न्यूनतमता

ट्रिपल (π, V, K) को Φ का 'स्टाइनस्प्रिंग प्रतिनिधित्व' कहा जाता है। एक स्वाभाविक प्रश्न अब यह है कि क्या कोई किसी अर्थ में दिए गए स्टिनस्प्रिंग प्रतिनिधित्व को कम कर सकता है।

चलो के₁ की बंद रैखिक अवधि हो π(ए) वीएच। *-निरूपण की संपत्ति द्वारा सामान्य रूप से, के₁ की एक अपरिवर्तनीय उपसमष्टि है π(ए) सभी के लिए ए। साथ ही, के₁ वीएच शामिल है। परिभाषित करना

$\pi _{1}(a)=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}.$

हम सीधे गणना कर सकते हैं

$${\begin{aligned}\pi _{1}(a)\pi _{1}(b)&=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (a)\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (ab){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi _{1}(ab)\end{aligned}}$$

और अगर k और ℓ K में स्थित हैं₁

$${\begin{aligned}\langle \pi _{1}(a^{*})k,\ell \rangle &=\langle \pi (a^{*})k,\ell \rangle \\&=\langle \pi (a)^{*}k,\ell \rangle \\&=\langle k,\pi (a)\ell \rangle \\&=\langle k,\pi _{1}(a)\ell \rangle \\&=\langle \pi _{1}(a)^{*}k,\ell \rangle .\end{aligned}}$$

इसलिए (π₁, वी, के₁) भी Φ का एक स्टिंसप्रिंग प्रतिनिधित्व है और इसमें अतिरिक्त संपत्ति है जो K₁ की बंद रैखिक अवधि है π(ए) वी एच। इस तरह के एक प्रतिनिधित्व को 'न्यूनतम स्टाइनस्प्रिंग प्रतिनिधित्व' कहा जाता है।

अनोखापन

होने देना (π₁, में₁, क₁) और (π₂, में₂, क₂) किसी दिए गए Φ के दो स्टाइनस्प्रिंग निरूपण हैं। आंशिक समावयवता W : K को परिभाषित कीजिए₁ → के₂ द्वारा

$\;W\pi _{1}(a)V_{1}h=\pi _{2}(a)V_{2}h.$

वह अंदर है₁एच ⊂ के₁, यह परस्पर संबंध देता है

$\;W\pi _{1}=\pi _{2}W.$

विशेष रूप से, यदि दोनों स्टिन्सप्रिंग प्रतिनिधित्व न्यूनतम हैं, तो डब्ल्यू एकात्मक ऑपरेटर है। इस प्रकार एकात्मक परिवर्तन के लिए न्यूनतम स्टाइनस्प्रिंग अभ्यावेदन अद्वितीय हैं।

कुछ परिणाम

हम कुछ परिणामों का उल्लेख करते हैं जिन्हें स्टाइनस्प्रिंग प्रमेय के परिणामों के रूप में देखा जा सकता है। ऐतिहासिक रूप से, नीचे दिए गए कुछ परिणाम स्टाइनस्प्रिंग के प्रमेय से पहले के हैं।

जीएनएस निर्माण

गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण | गेलफैंड-नैमार्क-सेगल (जीएनएस) निर्माण इस प्रकार है। स्टाइनस्प्रिंग के प्रमेय में एच को 1-आयामी, यानी जटिल संख्या होने दें। तो Φ अब ए पर एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक है। अगर हम मानते हैं कि Φ एक राज्य (कार्यात्मक विश्लेषण) है, अर्थात, Φ का मानदंड 1 है, तो आइसोमेट्री $V:H\to K$ इसके द्वारा निर्धारित किया जाता है

$V1=\xi$

कुछ के लिए $\xi \in K$ यूनिट-मानदंड वेक्टर का। इसलिए

$${\begin{aligned}\Phi (a)=V^{*}\pi (a)V&=\langle V^{*}\pi (a)V1,1\rangle _{H}\\&=\langle \pi (a)V1,V1\rangle _{K}\\&=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle _{K}\end{aligned}}$$

और हमने राज्यों के GNS प्रतिनिधित्व को पुनः प्राप्त किया है। यह देखने का एक तरीका है कि पूरी तरह से सकारात्मक नक्शे, केवल सकारात्मक के बजाय, सकारात्मक कार्यात्मक के सच्चे सामान्यीकरण हैं।

सी * - बीजगणित पर एक रैखिक सकारात्मक कार्यात्मक ऐसे अन्य कार्यात्मक (संदर्भ कार्यात्मक कहा जाता है) के संबंध में बिल्कुल निरंतर है यदि यह किसी भी सकारात्मक तत्व पर 0 है जिस पर संदर्भ सकारात्मक कार्यात्मक शून्य है। यह रैडॉन-निकोडिम प्रमेय के एक गैर-अनुक्रमिक सामान्यीकरण की ओर जाता है। मानक ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के संबंध में मैट्रिक्स बीजगणित पर राज्यों का सामान्य घनत्व ऑपरेटर कुछ भी नहीं है, लेकिन रैडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न है जब संदर्भ कार्यात्मक को ट्रेस करने के लिए चुना जाता है। व्याचेस्लाव बेलावकिन ने दूसरे (संदर्भ) मानचित्र के संबंध में एक पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र की पूर्ण निरपेक्ष निरंतरता की धारणा पेश की और पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों के लिए गैर-अनुवर्ती रेडॉन-निकोडिम प्रमेय के एक ऑपरेटर संस्करण को साबित किया। मैट्रिक्स बीजगणित पर ट्रेसियल पूरी तरह से सकारात्मक संदर्भ मानचित्र के अनुरूप इस प्रमेय का एक विशेष मामला चोई ऑपरेटर को मानक ट्रेस के संबंध में एक सीपी मानचित्र के रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न के रूप में ले जाता है (चोई के प्रमेय देखें)।

चोई की प्रमेय

चोई द्वारा यह दिखाया गया था कि यदि $\Phi :B(G)\to B(H)$ पूरी तरह से सकारात्मक है, जहां G और H क्रमशः आयाम n और m के परिमित-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान की श्रेणी हैं, फिर Φ रूप लेता है:

$\Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.$

इसे पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों पर चोई का प्रमेय कहा जाता है। चोई ने रेखीय बीजगणित तकनीकों का उपयोग करके इसे सिद्ध किया, लेकिन उनके परिणाम को स्टाइनस्प्रिंग के प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में भी देखा जा सकता है: मान लीजिए (π, V, K) Φ का न्यूनतम स्टाइनस्प्रिंग प्रतिनिधित्व हो। न्यूनता से, K का आयाम इससे कम है $C^{n\times n}\otimes C^{m}$. तो सामान्यता के नुकसान के बिना, K की पहचान की जा सकती है

$K=\bigoplus _{i=1}^{nm}C_{i}^{n}.$

प्रत्येक $C_{i}^{n}$ एन-डायमेंशनल हिल्बर्ट स्पेस की एक प्रति है। से $\pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g$, हम देखते हैं कि K की उपरोक्त पहचान को व्यवस्थित किया जा सकता है $\;P_{i}\pi (a)P_{i}=a$, जहां पी_iK से प्रक्षेपण है $C_{i}^{n}$. होने देना $V_{i}=P_{i}V$. अपने पास

$\Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}(V^{*}P_{i})(P_{i}\pi (a)P_{i})(P_{i}V)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}$

और चोई का परिणाम सिद्ध होता है।

चोई का परिणाम मैट्रिक्स बीजगणित पर ट्रेसियल पूरी तरह से सकारात्मक संदर्भ मानचित्र के अनुरूप पूरी तरह से सकारात्मक (सीपी) मानचित्रों के लिए गैर-अनुसूचित रेडॉन-निकोडीम प्रमेय का एक विशेष मामला है। मजबूत संचालिका रूप में यह सामान्य प्रमेय 1985 में बेलावकिन द्वारा सिद्ध किया गया था जिसने सकारात्मक घनत्व संचालिका के अस्तित्व को एक सीपी मानचित्र का प्रतिनिधित्व करते हुए दिखाया था जो एक संदर्भ सीपी मानचित्र के संबंध में पूरी तरह से निरंतर है। स्टाइनस्प्रिंग प्रतिनिधित्व के संदर्भ में इस घनत्व ऑपरेटर की विशिष्टता केवल इस प्रतिनिधित्व की न्यूनतमता से होती है। इस प्रकार, चोई का ऑपरेटर मानक ट्रेस के संबंध में एक परिमित-आयामी सीपी मानचित्र का रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न है।

ध्यान दें कि, चोई के प्रमेय को सिद्ध करने में, साथ ही स्टाइनस्प्रिंग के सूत्रीकरण से बेलावकिन के प्रमेय में, तर्क क्रॉस ऑपरेटरों वी को नहीं देता है_iस्पष्ट रूप से, जब तक कि कोई रिक्त स्थान की विभिन्न पहचान स्पष्ट नहीं करता। दूसरी ओर, चोई के मूल प्रमाण में उन ऑपरेटरों की सीधी गणना शामिल है।

नैमार्क का फैलाव प्रमेय

नाइमार्क के प्रमेय का कहना है कि प्रत्येक बी (एच) -मूल्यवान, कमजोर रूप से गणनीय-योगात्मक उपाय कुछ कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस एक्स पर उठाया जा सकता है ताकि माप वर्णक्रमीय माप बन जाए। इस तथ्य को जोड़कर यह सिद्ध किया जा सकता है कि C(X) क्रमविनिमेय C*-बीजगणित और Stinespring's theorem है।

Sz.-नागी का फैलाव प्रमेय

इस परिणाम में कहा गया है कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रत्येक संकुचन (संचालक सिद्धांत) में न्यूनतम संपत्ति के साथ एकात्मक फैलाव होता है।

आवेदन

क्वांटम सूचना सिद्धांत में, क्वांटम चैनल, या क्वांटम ऑपरेशन को C*-एलजेब्रा के बीच पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है। ऐसे सभी नक्शों का वर्गीकरण होने के नाते, स्टाइनस्प्रिंग का प्रमेय उस संदर्भ में महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, प्रमेय के अद्वितीय भाग का उपयोग क्वांटम चैनलों के कुछ वर्गों को वर्गीकृत करने के लिए किया गया है।

विभिन्न चैनलों की तुलना और उनकी पारस्परिक निष्ठा और जानकारी की गणना के लिए बेलवकिन द्वारा शुरू किए गए उनके राडोन-निकोडिम डेरिवेटिव्स द्वारा चैनलों का एक और प्रतिनिधित्व उपयोगी है। परिमित-आयामी मामले में, पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों के लिए बेलावकिन के रेडॉन-निकोडीम प्रमेय के ट्रेसियल संस्करण के रूप में चोई का प्रमेय भी प्रासंगिक है। संचालक $\{V_{i}\}$ अभिव्यक्ति से

$\Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.$

Φ के क्रूस संचालक कहलाते हैं। इजहार

$\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}(\cdot )V_{i}$

कभी-कभी Φ का संचालक योग निरूपण कहा जाता है।

संदर्भ

• M.-D. Choi, Completely Positive Linear Maps on Complex Matrices, Linear Algebra and its Applications, 10, 285–290 (1975).
• V. P. Belavkin, P. Staszewski, Radon–Nikodym Theorem for Completely Positive Maps, Reports on Mathematical Physics, v. 24, No 1, 49–55 (1986).
• V. Paulsen, Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press, 2003.
• W. F. Stinespring, Positive Functions on C*-algebras, Proceedings of the American Mathematical Society, 6, 211–216 (1955).