प्रायिकता संभावना (कम्यूटिंग प्रोबेबिलिटी)

गणित में और अधिक सटीक रूप से समूह सिद्धांत में, एक परिमित समूह की कम्यूटिंग प्रायिकता (जिसे कम्यूटेटिविटी या कम्यूटेटिविटी डिग्री भी कहा जाता है) संभावना है कि दो बेतरतीब ढंग से चुने गए तत्व क्रमचयी गुणधर्म हैं। इसका उपयोग यह मापने के लिए किया जा सकता है कि परिमित समूह एबेलियन समूह के कितने करीब है। इसे उपयुक्त संभाव्यता माप से लैस अनंत समूह (गणित) के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है,और अन्य बीजगणितीय संरचना जैसे रिंग (गणित) के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है।

परिभाषा

होने देना $G$ एक परिमित समूह हो। हम परिभाषित करते हैं $p(G)$ के तत्वों के जोड़े की औसत संख्या के रूप में $G$ कौन सा आवागमन:

$p(G):={\frac {1}{\#G^{2}}}\#\!\left\{(x,y)\in G^{2}\mid xy=yx\right\}$

कहाँ $\#X$ एक परिमित सेट की प्रमुखता को दर्शाता है $X$.

यदि कोई असतत समान वितरण पर विचार करता है $G^{2}$, $p(G)$ संभावना है कि दो बेतरतीब ढंग से चुने गए तत्व $G$ आना-जाना। इस कर $p(G)$ की आने वाली संभावना कहलाती है $G$.

परिणाम

• परिमित समूह $G$ एबेलियन है अगर और केवल अगर $p(G)=1$.
• किसी के पास

$p(G)={\frac {k(G)}{\#G}}$

कहाँ $k(G)$ के संयुग्मी वर्गों की संख्या है $G$.

• अगर $G$ तब एबेलियन नहीं है $p(G)\leq 5/8$ (इस परिणाम को कभी-कभी 5/8 प्रमेय कहा जाता है) और यह ऊपरी सीमा तीक्ष्ण है: असीम रूप से कई परिमित समूह हैं $G$ ऐसा है कि $p(G)=5/8$, सबसे छोटा डायहेड्रल समूह है।
• कोई समान निचली सीमा नहीं है $p(G)$. वास्तव में, प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$ एक परिमित समूह मौजूद है $G$ ऐसा है कि $p(G)=1/n$.
• अगर $G$ एबेलियन नहीं बल्कि सरल समूह है, फिर $p(G)\leq 1/12$ (यह ऊपरी सीमा किसके द्वारा प्राप्त की जाती है ${\mathfrak {A}}_{5}$, डिग्री 5 का वैकल्पिक समूह)।
• परिमित समूहों की आने-जाने की संभावनाओं का सेट रिवर्स-वेल-ऑर्डर है, और इसके ऑर्डर प्रकार के रिवर्स को या तो जाना जाता है $\omega ^{\omega }$ या $\omega ^{\omega ^{2}}$.

सामान्यीकरण

• परिमित संभाव्यता को अन्य बीजगणितीय संरचनाओं जैसे कि परिमित वलय के लिए परिभाषित किया जा सकता है।
• कम्यूटिंग प्रायिकता को अनंत कॉम्पैक्ट समूहों के लिए परिभाषित किया जा सकता है; संभाव्यता माप तब, पुनर्सामान्यीकरण के बाद, हार उपाय है।