दोहरी शंकु और ध्रुवीय शंकु

एक समुच्चय C और इसका द्विशंकु C^*.

एक समुच्चय C और इसका ध्रुवीय शंकु C^{हे</सुप>. दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु मूल बिंदु के संबंध में एक दूसरे के सममित हैं।}

दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु उत्तल विश्लेषण, गणित की एक शाखा में बारीकी से संबंधित अवधारणाएं हैं।

दोहरी शंकु

एक वेक्टर अंतरिक्ष में

दोहरी शंकु सी{{sup|*}वास्तविक संख्याओं पर एक रैखिक स्थान X में उपसमुच्चय C का }, उदा. यूक्लिडियन अंतरिक्ष 'आर'ⁿ, दोहरी जगह X के साथ^* समुच्चय है

$C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},$

कहाँ $\langle y,x\rangle$ X और X के बीच की दोहरी प्रणाली है^*, अर्थात। $\langle y,x\rangle =y(x)$.

सी^* हमेशा एक उत्तल शंकु होता है, भले ही C न तो उत्तल सेट हो और न ही एक रैखिक शंकु।

एक सामयिक सदिश स्थान में

यदि X वास्तविक या जटिल संख्याओं पर एक सामयिक सदिश स्थान है, तो एक उपसमुच्चय C ⊆ X का 'दोहरी शंकु' X पर निरंतर रैखिक क्रियाओं का निम्नलिखित सेट है:

$C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{ for all }}x\in C\right\}$,

जो समुच्चय -C का ध्रुवीय समुच्चय है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि सी क्या है, $C^{\prime }$ उत्तल शंकु होगा। अगर सी ⊆ {0} तो $C^{\prime }=X^{\prime }$.

एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष में (आंतरिक दोहरी शंकु)

वैकल्पिक रूप से, कई लेखक वास्तविक हिल्बर्ट अंतरिक्ष के संदर्भ में दोहरे शंकु को परिभाषित करते हैं (जैसे कि आरⁿ यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद से सुसज्जित) जिसे कभी-कभी आंतरिक दोहरा शंकु कहा जाता है।

$C_{\text{internal}}^{*}:=\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.$

सी के लिए इस बाद की परिभाषा का उपयोग करना^*, हमारे पास यह है कि जब C एक शंकु है, तो निम्नलिखित गुण होते हैं:

• एक शून्येतर सदिश y, C में है^* यदि और केवल यदि निम्न दोनों शर्तें लागू हों:

1. y एक hyperplane के मूल में सामान्य सतह है जो हाइपरप्लेन सी का समर्थन करता है।
2. y और C उस हाइपरप्लेन का समर्थन करना के एक ही तरफ स्थित हैं।

• सी^* बंद सेट और उत्तल है।
• $C_{1}\subseteq C_{2}$ तात्पर्य $C_{2}^{*}\subseteq C_{1}^{*}$.
• यदि C का अभ्यंतर खाली नहीं है, तो C^* पॉइंटेड है, यानी C* में पूरी तरह से कोई लाइन नहीं है।
• यदि C एक शंकु है और C का बंद होना नुकीला है, तो C^* में गैर-खाली इंटीरियर है।
• सी^** C युक्त सबसे छोटे उत्तल शंकु का बंद होना है (हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय का एक परिणाम)

स्व-दोहरी शंकु

सदिश स्थान X में एक शंकु C को स्व-दोहरी कहा जाता है यदि X को एक आंतरिक उत्पाद ⟨⋅,⋅⟩ से सुसज्जित किया जा सकता है जैसे कि इस आंतरिक उत्पाद के सापेक्ष आंतरिक दोहरा शंकु C के बराबर है। वे लेखक जो दोहरे शंकु को एक वास्तविक हिल्बर्ट अंतरिक्ष में आंतरिक दोहरे शंकु के रूप में परिभाषित करते हैं, आमतौर पर कहते हैं कि एक शंकु स्वयं-दोहरी है यदि यह इसके आंतरिक दोहरे के बराबर है। यह उपरोक्त परिभाषा से थोड़ा अलग है, जो आंतरिक उत्पाद में बदलाव की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त परिभाषा R में एक शंकु बनाती हैⁿ दीर्घवृत्ताभ आधार स्व-दोहरी के साथ, क्योंकि आधार को गोलाकार बनाने के लिए आंतरिक उत्पाद को बदला जा सकता है, और 'R' में गोलाकार आधार वाला एक शंकुⁿ इसके आंतरिक दोहरे के बराबर है।

'आर' का गैर-नकारात्मक orthantⁿ और सभी सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स का स्थान स्व-द्वैत है, जैसा कि दीर्घवृत्तीय आधार वाले शंकु हैं (अक्सर गोलाकार शंकु, लोरेंत्ज़ शंकु, या कभी-कभी आइसक्रीम शंकु कहा जाता है)। अतः सभी शंकु 'R' में हैं।³ जिसका आधार एक नियमित बहुभुज का उत्तल पतवार है जिसमें विषम संख्या में कोने हैं। आर में शंकु एक कम नियमित उदाहरण है³ जिसका आधार घर है: एक वर्ग का उत्तल हल और वर्ग के बाहर एक बिंदु वर्ग के एक पक्ष के साथ एक समबाहु त्रिभुज (उपयुक्त ऊंचाई का) बनाता है।

ध्रुवीय शंकु

बंद उत्तल शंकु C का ध्रुव बंद उत्तल शंकु C है^ओ, और इसके विपरीत।

X में समुच्चय C के लिए, C का 'ध्रुवीय शंकु' समुच्चय है

$C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.$

यह देखा जा सकता है कि ध्रुवीय शंकु दोहरे शंकु के ऋणात्मक के बराबर है, अर्थात C^{ओ</सुप> = -सी*.}

एक्स में एक बंद उत्तल शंकु सी के लिए, ध्रुवीय शंकु सी के लिए ध्रुवीय सेट के बराबर है।

यह भी देखें

• द्विध्रुवी प्रमेय
• ध्रुवीय सेट

ग्रन्थसूची

• Boltyanski, V. G.; Martini, H.; Soltan, P. (1997). Excursions into combinatorial geometry. New York: Springer. ISBN 3-540-61341-2.
• Goh, C. J.; Yang, X.Q. (2002). Duality in optimization and variational inequalities. London; New York: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27479-6.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Ramm, A.G. (2000). Shivakumar, P.N.; Strauss, A.V. (eds.). Operator theory and its applications. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1990-9.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.