बनच मापक

For Banach-space-valued measures, see vector measure.

माप सिद्धांत के गणित अनुशासन में, एक बैनाच माप एक निश्चित प्रकार का परिमित माप है जो पसंद के स्वयंसिद्ध के प्रति संवेदनशील समस्याओं में ज्यामितीय क्षेत्र को औपचारिक रूप देने के लिए उपयोग किया जाता है।

परंपरागत रूप से, क्षेत्र की सहज ज्ञान युक्त धारणाओं को एक शास्त्रीय, गिने-चुने योगात्मक उपाय के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है। यह बिना किसी परिभाषित क्षेत्र के गैर-मापने योग्य सेट छोड़ने का दुर्भाग्यपूर्ण प्रभाव है; एक परिणाम यह है कि कुछ ज्यामितीय परिवर्तन क्षेत्र को अपरिवर्तित नहीं छोड़ते हैं, बनच-तर्स्की विरोधाभास का पदार्थ। इस समस्या को खत्म करने के लिए एक बैनच उपाय एक प्रकार का सामान्यीकृत उपाय है।

एक सेट पर एक बनच माप Ω एक परिमित उपाय है, सिग्मा-एडिटिव_सेट_फंक्शन माप μ ≠ 0, के हर सबसेट के लिए परिभाषित किया गया है ℘(Ω), और जिसका मान परिमित उपसमुच्चय पर 0 है।

ए बनच माप पर Ω जो मान लेता है {0, 1} कहा जाता हैUlam measure पर Ω.

जैसा कि विटाली सेट | विटाली का विरोधाभास दिखाता है, बैनाच के उपायों को योगात्मक रूप से जोड़ने के लिए मजबूत नहीं किया जा सकता है।

स्टीफन बानाच ने दिखाया कि यूक्लिडियन विमान के लिए एक बैनाच माप को परिभाषित करना संभव है, जो सामान्य लेबेसेग उपाय के अनुरूप है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक Lebesgue-मापने योग्य सबसेट $\mathbb {R} ^{2}$ बनच-मापने योग्य भी है, जिसका अर्थ है कि दोनों उपाय समान हैं। इस उपाय का अस्तित्व दो आयामों में एक बनच-तर्स्की विरोधाभास की असंभवता को साबित करता है: यह संभव नहीं है कि परिमित लेबेस्गु माप के द्वि-आयामी सेट को सूक्ष्म रूप से कई सेटों में विघटित किया जा सके, जिन्हें एक अलग माप के साथ एक सेट में फिर से जोड़ा जा सकता है, क्योंकि यह बनच उपाय के गुणों का उल्लंघन करेगा जो लेबेस्ग माप को बढ़ाता है।

बाहरी संबंध

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