डेबी लंबाई

प्लाज्मा (भौतिकी) और इलेक्ट्रोलाइट्स में, डेबी की लंबाई$\lambda _{\rm {D}}$(Debye त्रिज्या या Debye-Hückel स्क्रीनिंग लंबाई), एक समाधान (रसायन विज्ञान) में चार्ज वाहक के शुद्ध इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रभाव का एक उपाय है और इसका इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रभाव कितनी दूर तक बना रहता है। प्रत्येक डिबाई लंबाई के साथ आवेश तेजी से विद्युत-क्षेत्र स्क्रीनिंग कर रहे हैं और विद्युत क्षमता परिमाण में 1/E_(गणितीय_निरंतर) घट जाती है। डेबी क्षेत्र एक आयतन है जिसकी त्रिज्या डेबी लंबाई है। प्लाज्मा भौतिकी, इलेक्ट्रोलाइट्स और कोलाइड्स (डीएलवीओ सिद्धांत) में डेबी की लंबाई एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है। इसी डेबी स्क्रीनिंग वेव वेक्टर $k_{\rm {D}}=1/\lambda _{\rm {D}}$ घनत्व के कणों के लिए $n$, शुल्क $q$ एक तापमान पर $T$ द्वारा दिया गया है $k_{\rm {D}}^{2}=4\pi nq^{2}/(k_{\rm {B}}T)$ गॉसियन इकाइयों में। एमकेएस इकाइयों में भाव नीचे दिए जाएंगे। बहुत कम तापमान पर समान मात्रा ($T\to 0$) को थॉमस-फर्मी स्क्रीनिंग | थॉमस-फर्मी लंबाई और थॉमस-फर्मी वेव वेक्टर के रूप में जाना जाता है। वे कमरे के तापमान पर धातुओं में इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार का वर्णन करने में रुचि रखते हैं।

डेबी लंबाई का नाम डच-अमेरिकी भौतिक विज्ञानी और रसायनज्ञ पीटर डेबी (1884-1966) के नाम पर रखा गया है, जो रसायन विज्ञान में नोबेल पुरस्कार विजेता हैं।

भौतिक उत्पत्ति

डिबाई की लंबाई स्वाभाविक रूप से मोबाइल चार्ज की बड़ी प्रणालियों के थर्मोडायनामिक विवरण में उत्पन्न होती है। की व्यवस्था में $N$ विभिन्न प्रकार के शुल्क, $j$-वें प्रजाति चार्ज वहन करती है $q_{j}$ और एकाग्रता है $n_{j}(\mathbf {r} )$ स्थिति पर $\mathbf {r}$. तथाकथित आदिम मॉडल के अनुसार, इन आवेशों को एक सतत माध्यम में वितरित किया जाता है, जिसकी विशेषता केवल इसकी सापेक्ष स्थैतिक पारगम्यता होती है, $\varepsilon _{r}$. इस माध्यम के भीतर आवेशों का यह वितरण एक विद्युत क्षमता को जन्म देता है $\Phi (\mathbf {r} )$ पोइसन के समीकरण को संतुष्ट करता है:

$$\varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} ),$$

कहाँ $\varepsilon \equiv \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}$, $\varepsilon _{0}$ विद्युत स्थिरांक है, और $\rho _{\rm {ext}}$ माध्यम का चार्ज घनत्व बाहरी (तार्किक रूप से, स्थानिक रूप से नहीं) है।

मोबाइल शुल्क न केवल स्थापित करने में योगदान करते हैं $\Phi (\mathbf {r} )$ लेकिन संबंधित कूलम्ब के कानून के जवाब में भी आगे बढ़ें, $-q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )$. अगर हम आगे मानते हैं कि प्रणाली पूर्ण तापमान पर गर्मी स्नान के साथ थर्मोडायनामिक संतुलन में है $T$, फिर असतत आवेशों की सांद्रता, $n_{j}(\mathbf {r} )$, थर्मोडायनामिक (पहनावा) औसत और संबंधित विद्युत क्षमता को थर्मोडायनामिक माध्य क्षेत्र सिद्धांत माना जा सकता है। इन धारणाओं के साथ, की एकाग्रता $j$-थ चार्ज प्रजाति का वर्णन बोल्ट्जमान वितरण द्वारा किया गया है,

$$n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right),$$

कहाँ $k_{\rm {B}}$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है और कहाँ है $n_{j}^{0}$ मतलब है प्रजातियों के आरोपों की एकाग्रता $j$.

पोइसन समीकरण में तात्क्षणिक सांद्रता और क्षमता की पहचान बोल्ट्जमैन वितरण में उनके माध्य-क्षेत्र समकक्षों के साथ पॉसॉन-बोल्ट्जमान समीकरण प्राप्त करता है:

$$\varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} ).$$

इस अरेखीय समीकरण के समाधान कुछ सरल प्रणालियों के लिए जाने जाते हैं। उच्च तापमान (कमजोर युग्मन) सीमा में अधिक सामान्य प्रणालियों के समाधान प्राप्त किए जा सकते हैं, $q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{\rm {B}}T$, टेलर विस्तार द्वारा घातांक:

$$\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}.$$

इस सन्निकटन से लीनियराइज़्ड पोइसन-बोल्ट्ज़मैन समीकरण प्राप्त होता है

$$\varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )$$

जिसे डेबी-हुकेल समीकरण के रूप में भी जाना जाता है: दायीं ओर का दूसरा शब्द उन प्रणालियों के लिए गायब हो जाता है जो विद्युत रूप से तटस्थ हैं। कोष्ठक में शब्द द्वारा विभाजित $\varepsilon$, एक व्युत्क्रम लंबाई वर्ग और द्वारा की इकाइयाँ हैं आयामी विश्लेषण विशेषता लंबाई पैमाने की परिभाषा की ओर जाता है

$$\lambda _{\rm {D}}=\left({\frac {\varepsilon \,k_{\rm {B}}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}$$

जिसे आमतौर पर डेबी-हुकेल लंबाई के रूप में जाना जाता है। डेबी-हुकेल समीकरण में एकमात्र विशेषता लंबाई पैमाने के रूप में, $\lambda _{D}$ संभावित और आवेशित प्रजातियों की सांद्रता में भिन्नता के लिए पैमाना निर्धारित करता है। सभी आवेशित प्रजातियाँ डेबी-हुकेल लंबाई में उसी तरह से योगदान करती हैं, भले ही उनके आरोपों के संकेत कुछ भी हों। विद्युत रूप से तटस्थ प्रणाली के लिए, पॉसों समीकरण बन जाता है

$$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\lambda _{\rm {D}}^{-2}\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\varepsilon }}$$

डेबी स्क्रीनिंग को स्पष्ट करने के लिए, बाहरी बिंदु आवेश द्वारा उत्पन्न क्षमता $\rho _{\rm {ext}}=Q\delta (\mathbf {r} )$ है

$$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}e^{-r/\lambda _{\rm {D}}}$$

डिबाई लंबाई की दूरी पर नंगे कूलम्ब क्षमता को माध्यम द्वारा घातीय रूप से जांचा जाता है: इसे डेबी स्क्रीनिंग या परिरक्षण (इलेक्ट्रिक-फील्ड स्क्रीनिंग) कहा जाता है।

डेबी-हुकेल की लंबाई बजरम की लंबाई के संदर्भ में व्यक्त की जा सकती है $\lambda _{\rm {B}}$ जैसा

$$\lambda _{\rm {D}}=\left(4\pi \,\lambda _{\rm {B}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,z_{j}^{2}\right)^{-1/2},$$

कहाँ $z_{j}=q_{j}/e$ पूर्णांक आवेश संख्या है जो पर आवेश से संबंधित है $j$-वाँ आयनिक प्राथमिक शुल्क के लिए प्रजातियां $e$.

एक प्लाज्मा में

एक कमजोर संपार्श्विक प्लाज्मा के लिए, इस तरह के प्लाज्मा के दानेदार चरित्र को ध्यान में रखते हुए डेबी परिरक्षण को बहुत सहज तरीके से पेश किया जा सकता है। आइए हम इसके एक इलेक्ट्रॉन के बारे में एक गोले की कल्पना करें, और कूलम्ब प्रतिकर्षण के साथ और बिना इस गोले को पार करने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या की तुलना करें। प्रतिकर्षण के साथ, यह संख्या छोटी होती है। इसलिए, गॉस प्रमेय के अनुसार, पहले इलेक्ट्रॉन का आभासी आवेश प्रतिकर्षण की अनुपस्थिति की तुलना में छोटा होता है। गोलाकार त्रिज्या जितनी बड़ी होगी, विक्षेपित इलेक्ट्रॉनों की संख्या उतनी ही अधिक होगी, और आभासी आवेश जितना छोटा होगा: यह डेबी परिरक्षण है। चूंकि कणों के वैश्विक विक्षेपण में कई अन्य लोगों का योगदान शामिल है, इसलिए लैंगमुइर जांच (डेबी म्यान ) के बगल में काम पर ढाल के साथ भिन्नता पर इलेक्ट्रॉनों का घनत्व नहीं बदलता है। विपरीत चिह्नों वाले आवेशों के आकर्षक कूलम्बियन विक्षेपण के कारण, आयन परिरक्षण में समान योगदान देते हैं।

यह सहज ज्ञान युक्त तस्वीर डिबाई शील्डिंग की एक प्रभावी गणना की ओर ले जाती है (देखें खंड II.A.2 ). इस गणना में बोल्ट्जमैन वितरण की धारणा आवश्यक नहीं है: यह किसी भी कण वितरण समारोह के लिए काम करता है। गणना निरंतर मीडिया के रूप में कमजोर रूप से टकराने वाले प्लास्मा के अनुमान से भी बचती है। एक एन-बॉडी गणना से पता चलता है कि एक कण के नंगे कूलम्ब त्वरण को अन्य सभी कणों द्वारा मध्यस्थता वाले योगदान द्वारा संशोधित किया जाता है, डेबी शील्डिंग का एक हस्ताक्षर (धारा 8 देखें) ). यादृच्छिक कण स्थितियों से शुरू होने पर, परिरक्षण के लिए विशिष्ट समय-पैमाना एक तापीय कण के लिए एक डिबाई लंबाई को पार करने का समय होता है, अर्थात प्लाज्मा आवृत्ति का व्युत्क्रम। इसलिए एक कमजोर संपार्श्विक प्लाज्मा में, टकराव एक सहकारी स्व-संगठन प्रक्रिया लाकर एक आवश्यक भूमिका निभाते हैं: डेबी परिरक्षण। कूलम्ब स्कैटरिंग (कूलॉम्ब टक्कर) की गणना में परिमित प्रसार गुणांक प्राप्त करने के लिए यह परिरक्षण महत्वपूर्ण है।

एक गैर समतापीय प्लाज़्मा में, इलेक्ट्रॉनों और भारी प्रजातियों के लिए तापमान भिन्न हो सकते हैं, जबकि पृष्ठभूमि माध्यम को निर्वात के रूप में माना जा सकता है। ($\varepsilon _{r}=1$), और डेबी की लंबाई है

$$\lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}/q_{e}^{2}}{n_{e}/T_{e}+\sum _{j}z_{j}^{2}n_{j}/T_{i}}}}$$

कहाँ

• ल_D डेबी लंबाई है,
• ε₀ मुक्त स्थान की पारगम्यता है,
• क_B बोल्ट्जमैन स्थिरांक है,
• क्यू_e प्राथमिक शुल्क है,
• टी_eऔर टी_iक्रमशः इलेक्ट्रॉनों और आयनों के तापमान हैं,
• एन_eइलेक्ट्रॉनों का घनत्व है,
• एन_jधनात्मक आयनिक आवेश z के साथ परमाणु प्रजाति j का घनत्व है_jq_eयहां तक ​​कि क्वासिन्यूट्रल कोल्ड प्लाज़्मा में, जहां आयन का योगदान वस्तुतः कम आयन तापमान के कारण बड़ा लगता है, आयन शब्द वास्तव में अक्सर गिरा दिया जाता है, जिससे

$$\lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T_{e}}{n_{e}q_{e}^{2}}}}$$

हालांकि यह केवल तभी मान्य होता है जब प्रक्रिया की समय-सीमा की तुलना में आयनों की गतिशीलता नगण्य हो।

विशिष्ट मूल्य

अंतरिक्ष प्लास्मा में जहां इलेक्ट्रॉन घनत्व अपेक्षाकृत कम है, डेबी की लंबाई मैक्रोस्कोपिक मूल्यों तक पहुंच सकती है, जैसे मैग्नेटोस्फीयर, सौर हवा, इंटरस्टेलर माध्यम और इंटरगैलेक्टिक माध्यम। यहां नीचे दी गई तालिका देखें:

Plasma	Density ne(m−3)	Electron temperature T(K)	Magnetic field B(T)	Debye length λD(m)
Solar core	1032	107	—	10−11
Tokamak	1020	108	10	10−4
Gas discharge	1016	104	—	10−4
Ionosphere	1012	103	10−5	10−3
Magnetosphere	107	107	10−8	102
Solar wind	106	105	10−9	10
Interstellar medium	105	104	10−10	10
Intergalactic medium	1	106	—	105

एक इलेक्ट्रोलाइट समाधान में

इलेक्ट्रोलाइट या कोलाइड्स में, डिबाई लंबाई एक मोनोवैलेंट इलेक्ट्रोलाइट के लिए आमतौर पर प्रतीक κ के साथ निरूपित किया जाता है^-1

$$\kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T}{2e^{2}I}}}$$

कहाँ

• I संख्या/m में इलेक्ट्रोलाइट की आयनिक शक्ति है³ इकाइयां,
• इ₀ वैक्यूम परमिटिटिविटी है,
• ε_r सापेक्ष स्थैतिक पारगम्यता है,
• क_B बोल्ट्जमैन स्थिरांक है,
• टी केल्विन में पूर्ण तापमान है,
• $e$ प्राथमिक शुल्क है,

या, एक सममित मोनोवालेंट इलेक्ट्रोलाइट के लिए,

$$\kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}RT}{2\times 10^{3}F^{2}C_{0}}}}$$

कहाँ

• R गैस नियतांक है,
• एफ फैराडे स्थिरांक है,
• सी₀ दाढ़ एकाग्रता इकाइयों (एम या मोल / एल) में इलेक्ट्रोलाइट एकाग्रता है।

वैकल्पिक रूप से,

$$\kappa ^{-1}={\frac {1}{\sqrt {8\pi \lambda _{\rm {B}}N_{\rm {A}}\times 10^{-24}I}}}$$

कहाँ $\lambda _{\rm {B}}$ एनएम में माध्यम की बजरम लंबाई है, और कारक $10^{-24}$ इकाई आयतन को क्यूबिक डीएम से क्यूबिक एनएम में बदलने से प्राप्त होता है।

पीएच = 7, λ पर कमरे के तापमान पर विआयनीकृत पानी के लिए_B ≈ 1μm।

कमरे के तापमान पर (20 °C or 70 °F), कोई पानी में संबंध पर विचार कर सकता है:

$$\kappa ^{-1}(\mathrm {nm} )={\frac {0.304}{\sqrt {I(\mathrm {M} )}}}$$

कहाँ

• κ⁻¹ नैनोमीटर (एनएम) में व्यक्त किया जाता है
• मैं मोलर सांद्रता (M या mol/L) में व्यक्त की गई आयनिक शक्ति है

चालकता का उपयोग करके तरल पदार्थों में डिबाई लंबाई के अनुमानित मूल्य का अनुमान लगाने की एक विधि है, जो आईएसओ मानक में वर्णित है,और किताब।

अर्धचालकों में

ठोस अवस्था उपकरणों के मॉडलिंग में डेबी की लंबाई तेजी से महत्वपूर्ण हो गई है क्योंकि लिथोग्राफिक प्रौद्योगिकियों में सुधार ने छोटे ज्यामिति को सक्षम किया है। अर्धचालकों की डिबाई लंबाई दी गई है:

$$L_{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon k_{\rm {B}}T}{q^{2}N_{\rm {dop}}}}}$$

कहाँ

• ε परावैद्युतांक है,
• क_B बोल्ट्जमैन स्थिरांक है,
• टी केल्विन में पूर्ण तापमान है,
• क्यू प्राथमिक प्रभार है, और
• एन_dop डोपेंट (या तो दाता या स्वीकारकर्ता) का शुद्ध घनत्व है।

जब डोपिंग प्रोफाइल डेबी लंबाई से अधिक हो जाता है, तो अधिकांश वाहक अब डोपेंट के वितरण के अनुसार व्यवहार नहीं करते हैं। इसके बजाय, डोपिंग ग्रेडिएंट्स के प्रोफाइल का एक उपाय एक प्रभावी प्रोफाइल प्रदान करता है जो बहुमत वाहक घनत्व के प्रोफाइल से बेहतर मेल खाता है।

ठोस पदार्थों के संदर्भ में, डेबी लंबाई के बजाय थॉमस-फर्मी स्क्रीनिंग लंबाई की आवश्यकता हो सकती है।

यह भी देखें

• जेरम की लंबाई
• डेबी-फाल्केनहेगन प्रभाव
• प्लाज्मा दोलन
• परिरक्षण प्रभाव
• इलेक्ट्रिक-फील्ड स्क्रीनिंग

अग्रिम पठन

• Goldston & Rutherford (1997). Introduction to Plasma Physics. Philadelphia: Institute of Physics Publishing.
• Lyklema (1993). Fundamentals of Interface and Colloid Science. NY: Academic Press.