मल्टीसिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर

गणित में, बहुआयामी इंटीग्रेटर आंशिक अंतर समीकरणों के निश्चित वर्ग के समाधान के लिए संख्यात्मक विश्लेषण है, जिसे बहुआयामी कहा जाता है। मल्टीसिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर्स ज्यामितीय इंटीग्रेटर्स हैं, जिसका अर्थ है कि वे समस्याओं की ज्यामिति को संरक्षित करते हैं; विशेष रूप से, संख्यात्मक विधि आंशिक अंतर समीकरण के समान कुछ अर्थों में ऊर्जा और संवेग को संरक्षित करती है। मल्टीसिम्प्लेक्टिक इंटीग्रेटर्स के उदाहरणों में यूलर बॉक्स स्कीम और प्रीसमैन बॉक्स स्कीम शामिल हैं।

बहुआयामी समीकरण

एक आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) को बहुआयामी समीकरण कहा जाता है यदि इसे रूप में लिखा जा सकता है

$Kz_{t}+Lz_{x}=\nabla S(z),$

कहाँ $z(t,x)$ अज्ञात है, $K$ और $L$ हैं (निरंतर) तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित मैट्रिक्स और $\nabla S$ की प्रवणता दर्शाता है $S$. यह का स्वाभाविक सामान्यीकरण है $Jz_{t}=\nabla H(z)$, हैमिल्टनियन यांत्रिकी का रूप। बहुआयामी पीडीई के उदाहरणों में नॉनलाइनियर क्लेन-गॉर्डन समीकरण शामिल हैं $u_{tt}-u_{xx}=V'(u)$, या अधिक सामान्यतः अरैखिक तरंग समीकरण $u_{tt}=\partial _{x}\sigma '(u_{x})-f'(u)$, और केडीवी समीकरण $u_{t}+uu_{x}+u_{xxx}=0$. 2-रूपों को परिभाषित करें $\omega$ और $\kappa$ द्वारा

$\omega (u,v)=\langle Ku,v\rangle \quad {\text{and}}\quad \kappa (u,v)=\langle Lu,v\rangle$

कहाँ $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle$ डॉट उत्पाद को दर्शाता है। विभेदक समीकरण इस अर्थ में सहानुभूति को संरक्षित करता है कि

$\partial _{t}\omega +\partial _{x}\kappa =0.$

पीडीई के डॉट उत्पाद को साथ लेना $u_{t}$ ऊर्जा के लिए स्थानीय संरक्षण कानून (भौतिकी) उत्पन्न करता है:

$\partial _{t}E(u)+\partial _{x}F(u)=0\quad {\text{where}}\quad E(u)=S(u)-{\tfrac {1}{2}}\kappa (u_{x},u),\,F(u)={\tfrac {1}{2}}\kappa (u_{t},u).$

संवेग के लिए स्थानीय संरक्षण नियम इसी प्रकार व्युत्पन्न किया गया है:

$\partial _{t}I(u)+\partial _{x}G(u)=0\quad {\text{where}}\quad I(u)={\tfrac {1}{2}}\omega (u_{x},u),\,G(u)=S(u)-{\tfrac {1}{2}}\omega (u_{t},u).$

यूलर बॉक्स स्कीम

मल्टीसिम्प्लेक्टिक इंटीग्रेटर मल्टीसिम्प्लेक्टिक पीडीई को हल करने के लिए संख्यात्मक विधि है जिसका संख्यात्मक समाधान सहानुभूति के असतत रूप को संरक्षित करता है। उदाहरण यूलर बॉक्स स्कीम है, जो प्रत्येक स्वतंत्र चर के लिए सहानुभूतिपूर्ण यूलर विधि लागू करके प्राप्त की जाती है। यूलर बॉक्स स्कीम तिरछा सममित आव्यूहों के विभाजन का उपयोग करती है $K$ और $L$ फार्म का:

${\begin{aligned}K&=K_{+}+K_{-}\quad {\text{with}}\quad K_{-}=-K_{+}^{T},\\L&=L_{+}+L_{-}\quad {\text{with}}\quad L_{-}=-L_{+}^{T}.\end{aligned}}$

उदाहरण के लिए, कोई ले सकता है $K_{+}$ और $L_{+}$ का ऊपरी त्रिकोणीय भाग होना $K$ और $L$, क्रमश। अब नियमित ग्रिड का परिचय दें और जाने दें $u_{n,i}$ के सन्निकटन को निरूपित करें $u(n\Delta {t},i\Delta {x})$ कहाँ $\Delta {t}$ और $\Delta {x}$ समय और स्थान-दिशा में ग्रिड रिक्ति हैं। फिर यूलर बॉक्स स्कीम है

$K_{+}\partial _{t}^{+}u_{n,i}+K_{-}\partial _{t}^{-}u_{n,i}+L_{+}\partial _{x}^{+}u_{n,i}+L_{-}\partial _{x}^{-}u_{n,i}=\nabla {S}(u_{n,i})$

जहां परिमित अंतर ऑपरेटरों द्वारा परिभाषित किया गया है

${\begin{aligned}\partial _{t}^{+}u_{n,i}&={\frac {u_{n+1,i}-u_{n,i}}{\Delta {t}}},&\partial _{x}^{+}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i+1}-u_{n,i}}{\Delta {x}}},\\[1ex]\partial _{t}^{-}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i}-u_{n-1,i}}{\Delta {t}}},&\partial _{x}^{-}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i}-u_{n,i-1}}{\Delta {x}}}.\end{aligned}}$

यूलर बॉक्स योजना प्रथम-क्रम विधि है,जो असतत संरक्षण कानून को संतुष्ट करता है

$\partial _{t}^{+}\omega _{n,i}+\partial _{x}^{+}\kappa _{n,i}=0\quad {\text{where}}\quad \omega _{n,i}=\mathrm {d} u_{n,i-1}\wedge K_{+}\,\mathrm {d} u_{n,i}\quad {\text{and}}\quad \kappa _{n,i}=\mathrm {d} u_{n-1,i}\wedge L_{+}\,\mathrm {d} u_{n,i}.$

प्रीसमैन बॉक्स स्कीम

एक अन्य मल्टीसिम्प्लेक्टिक इंटीग्रेटर प्रीसमैन बॉक्स स्कीम है, जिसे प्रीसमैन द्वारा हाइपरबॉलिक पीडीई के संदर्भ में पेश किया गया था। इसे केन्द्रित कोशिका योजना के रूप में भी जाना जाता है। प्रीसमैन बॉक्स स्कीम को मिडपॉइंट विधि लागू करके प्राप्त किया जा सकता है, जो कि प्रत्येक स्वतंत्र चर के लिए सहानुभूतिपूर्ण इंटीग्रेटर है। यह योजना की ओर जाता है

$K\partial _{t}^{+}u_{n,i+1/2}+L\partial _{x}^{+}u_{n+1/2,i}=\nabla {S}(u_{n+1/2,i+1/2}),$

जहां परिमित अंतर ऑपरेटर $\partial _{t}^{+}$ और $\partial _{x}^{+}$ ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है और अर्ध-पूर्णांक पर मान द्वारा परिभाषित किया गया है

$u_{n,i+1/2}={\frac {u_{n,i}+u_{n,i+1}}{2}},\quad u_{n+1/2,i}={\frac {u_{n,i}+u_{n+1,i}}{2}},u_{n+1/2,i+1/2}={\frac {u_{n,i}+u_{n,i+1}+u_{n+1,i}+u_{n+1,i+1}}{4}}.$

प्रीसमैन बॉक्स स्कीम दूसरे क्रम का मल्टीसिमप्लेक्टिक इंटीग्रेटर है जो असतत संरक्षण कानून को संतुष्ट करता है

$\partial _{t}^{+}\omega _{n,i}+\partial _{x}^{+}\kappa _{n,i}=0\quad {\text{where}}\quad \omega _{n,i}=\mathrm {d} u_{n,i+1/2}\wedge K\,\mathrm {d} u_{n,i+1/2}\quad {\text{and}}\quad \kappa _{n,i}=\mathrm {d} u_{n+1/2,i}\wedge L\,\mathrm {d} u_{n+1/2,i}.$

संदर्भ

• Abbott, M.B.; Basco, D.R. (1989), Computational Fluid Dynamics, Longman Scientific.
• Bridges, Thomas J. (1997), "A geometric formulation of the conservation of wave action and its implications for signature and the classification of instabilities" (PDF), Proc. R. Soc. Lond. A, 453 (1962): 1365–1395, Bibcode:1997RSPSA.453.1365B, doi:10.1098/rspa.1997.0075, S2CID 122524451.
• Bridges, Thomas J.; Reich, Sebiastian (2001), "Multi-Symplectic Integrators: Numerical schemes for Hamiltonian PDEs that conserve symplecticity", Phys. Lett. A, 284 (4–5): 184–193, Bibcode:2001PhLA..284..184B, CiteSeerX 10.1.1.46.2783, doi:10.1016/S0375-9601(01)00294-8.
• Leimkuhler, Benedict; Reich, Sebastian (2004), Simulating Hamiltonian Dynamics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-77290-7.
• Islas, A.L.; Schober, C.M. (2004), "On the preservation of phase space structure under multisymplectic discretization", J. Comput. Phys., 197 (2): 585–609, Bibcode:2004JCoPh.197..585I, doi:10.1016/j.jcp.2003.12.010.
• Moore, Brian; Reich, Sebastian (2003), "Backward error analysis for multi-symplectic integration methods", Numer. Math., 95 (4): 625–652, CiteSeerX 10.1.1.163.8683, doi:10.1007/s00211-003-0458-9, S2CID 9669195.