मानांकन (माप सिद्धांत)

माप सिद्धांत में, या कम से कम डोमेन सिद्धांत के माध्यम से इसके दृष्टिकोण में, एक वैल्यूएशन एक मानचित्र (गणित) है जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के खुले सेटों के वर्ग से कुछ गुणों के साथ सकारात्मक संख्या वास्तविक संख्याओं के सेट तक अनंत है। यह एक माप (गणित) से निकटता से संबंधित एक अवधारणा है, और इस तरह, यह माप सिद्धांत, संभाव्यता सिद्धांत और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में अनुप्रयोग पाता है।

डोमेन/माप सिद्धांत परिभाषा

होने देना $\scriptstyle (X,{\mathcal {T}})$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें: वैल्यूएशन कोई सेट समारोह है

$$v:{\mathcal {T}}\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{+\infty \}$$

निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करना

$${\begin{array}{lll}v(\varnothing )=0&&\scriptstyle {\text{Strictness property}}\\v(U)\leq v(V)&{\mbox{if}}~U\subseteq V\quad U,V\in {\mathcal {T}}&\scriptstyle {\text{Monotonicity property}}\\v(U\cup V)+v(U\cap V)=v(U)+v(V)&\forall U,V\in {\mathcal {T}}&\scriptstyle {\text{Modularity property}}\,\end{array}}$$

परिभाषा तुरंत एक मूल्यांकन और एक माप के बीच के संबंध को दिखाती है: दो गणितीय वस्तु के गुण अक्सर समान नहीं होते हैं तो बहुत समान होते हैं, केवल अंतर यह है कि माप का डोमेन दिए गए टोपोलॉजिकल स्पेस का बोरेल बीजगणित है, जबकि वैल्यूएशन का डोमेन ओपन सेट का वर्ग है। अधिक जानकारी और संदर्भ में पाया जा सकता है Alvarez-Manilla, Edalat & Saheb-Djahromi 2000 और Goubault-Larrecq 2005.

सतत मूल्यांकन

एक मूल्यांकन (जैसा कि डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में परिभाषित किया गया है) को निरंतर कहा जाता है यदि 'हर निर्देशित परिवार' के लिए $\scriptstyle \{U_{i}\}_{i\in I}$ खुले सेटों का (अर्थात खुले सेटों का एक अनुक्रमित परिवार जो इस अर्थ में भी निर्देशित है कि प्रत्येक जोड़े के सूचकांक के लिए $i$ और $j$ सूचकांक सेट से संबंधित $I$, एक इंडेक्स मौजूद है $k$ ऐसा है कि $\scriptstyle U_{i}\subseteq U_{k}$ और $\scriptstyle U_{j}\subseteq U_{k}$) निम्नलिखित समानता (गणित) रखती है:

$$v\left(\bigcup _{i\in I}U_{i}\right)=\sup _{i\in I}v(U_{i}).$$

यह संपत्ति उपायों की τ-additivity के अनुरूप है।

सरल मूल्यांकन

एक मूल्यांकन (जैसा कि डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में परिभाषित किया गया है) को सरल कहा जाता है यदि यह गैर-नकारात्मक संख्या के साथ एक परिमित सेट रैखिक संयोजन है। गणना के गैर-नकारात्मक गुणांक (माप सिद्धांत) #Dirac मूल्यांकन,

$$v(U)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\delta _{x_{i}}(U)\quad \forall U\in {\mathcal {T}}$$

कहाँ $a_{i}$ सभी सूचकांकों के लिए हमेशा शून्य से अधिक या कम से कम बराबर होता है $i$. उपरोक्त अर्थों में सरल मूल्यांकन स्पष्ट रूप से निरंतर हैं। साधारण मूल्यांकनों के एक निर्देशित परिवार का सर्वोच्च (अर्थात साधारण मूल्यांकनों का एक अनुक्रमित परिवार जो इस अर्थ में भी निर्देशित होता है कि प्रत्येक जोड़े के सूचकांक के लिए $i$ और $j$ इंडेक्स सेट से संबंधित $I$, एक इंडेक्स मौजूद है $k$ ऐसा है कि $\scriptstyle v_{i}(U)\leq v_{k}(U)\!$ और $\scriptstyle v_{j}(U)\leq v_{k}(U)\!$) अर्ध-सरल मूल्यांकन कहा जाता है

$${\bar {v}}(U)=\sup _{i\in I}v_{i}(U)\quad \forall U\in {\mathcal {T}}.\,$$

यह भी देखें

• किसी दिए गए मूल्यांकन के लिए विस्तार की समस्या (डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत के अर्थ में) में यह पता लगाना शामिल है कि किस प्रकार की स्थितियों के तहत इसे एक उचित टोपोलॉजिकल स्पेस पर माप के लिए बढ़ाया जा सकता है, जो एक ही स्थान हो सकता है या नहीं भी हो सकता है यह परिभाषित किया गया है: कागजात Alvarez-Manilla, Edalat & Saheb-Djahromi 2000 और Goubault-Larrecq 2005 संदर्भ खंड में इस उद्देश्य के लिए समर्पित हैं और कई ऐतिहासिक विवरण भी देते हैं।
• [[उत्तल सबसेट]]ों पर मूल्यांकन की अवधारणा और [[ कई गुना ]] पर मूल्यांकन, डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत के अर्थ में मूल्यांकन का एक सामान्यीकरण है। उत्तल सेटों पर एक मूल्यांकन को जटिल संख्या मानने की अनुमति है, और अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस गैर-रिक्त सेट का सेट है। दिए गए मैनिफोल्ड के सभी कॉम्पैक्ट सबमेनिफोल्ड के वर्ग (गणित) के एक उचित उपसमुच्चय पर परिभाषित उपाय।

उदाहरण

डायराक मूल्यांकन

होने देना $\scriptstyle (X,{\mathcal {T}})$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें, और दें$x$का एक बिंदु हो$X$: वो नक्शा

$$\delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}~x\notin U\\1&{\mbox{if}}~x\in U\end{cases}}\quad {\text{ for all }}U\in {\mathcal {T}}$$

डोमेन थ्योरी/माप थ्योरी में एक वैल्यूएशन है, जिसे पॉल डिराक वैल्यूएशन कहा जाता है। यह अवधारणा वितरण (गणित) से अपनी उत्पत्ति रखती है क्योंकि यह डिराक वितरण के मूल्यांकन सिद्धांत के लिए एक स्पष्ट परिवर्तन है: जैसा कि ऊपर देखा गया है, डायराक मूल्यांकन ईंटें हैं #सरल मूल्यांकन से बना है।

यह भी देखें

• Valuation (geometry)

उद्धृत कार्य

• Alvarez-Manilla, Maurizio; Edalat, Abbas; Saheb-Djahromi, Nasser (2000), "An extension result for continuous valuations", Journal of the London Mathematical Society, 61 (2): 629–640, CiteSeerX 10.1.1.23.9676, doi:10.1112/S0024610700008681.
• Goubault-Larrecq, Jean (2005), "Extensions of valuations", Mathematical Structures in Computer Science, 15 (2): 271–297, doi:10.1017/S096012950400461X

बाहरी संबंध

• Alesker, Semyon, "various preprints on valuation s", arXiv preprint server, primary site at Cornell University. Several papers dealing with valuations on convex sets, valuations on manifolds and related topics.
• The nLab page on valuations