कवर (बीजगणित)
सार बीजगणित में, एक आवरण कुछ गणितीय संरचना मानचित्रण का एक अन्य उदाहरण पर एक उदाहरण है, जैसे कि एक समूह (गणित) (तुच्छ रूप से) एक उपसमूह को कवर करता है। इसे आवरण (टोपोलॉजी) की अवधारणा से भ्रमित नहीं होना चाहिए।
जब किसी वस्तु X को किसी अन्य वस्तु Y को ढकने के लिए कहा जाता है, तो आवरण कुछ विशेषण और समरूपता द्वारा दिया जाता है। संरचना-संरक्षण मानचित्र f : X → Y. संरचना-संरक्षण का सटीक अर्थ गणितीय संरचना के प्रकार पर निर्भर करता है जिसमें एक्स और वाई उदाहरण हैं। दिलचस्प होने के लिए, कवर आमतौर पर अतिरिक्त गुणों से संपन्न होता है, जो संदर्भ पर अत्यधिक निर्भर होते हैं।
उदाहरण
डी. बी. मैकएलिस्टर के कारण semigroup थ्योरी में एक उत्कृष्ट परिणाम बताता है कि प्रत्येक व्युत्क्रम सेमीग्रुप में एक व्युत्क्रम_सेमीग्रुप#ई-एकात्मक_इनवर्स_सेमीग्रुप्स|ई-एकात्मक आवरण होता है; विशेषण होने के अलावा, इस मामले में होमोमोर्फिज्म भी बेकार सेपरेटिविंग है, जिसका अर्थ है कि इसके कर्नेल (बीजगणित) में एक इडेमपोटेंट और नॉन-इम्पोटेंट कभी भी समान समकक्ष वर्ग से संबंधित नहीं होते हैं।; उलटे अर्धसमूहों के लिए वास्तव में कुछ मजबूत दिखाया गया है: प्रत्येक उलटा अर्धसमूह एक Inverse_semigroup#F-inverse_semigroups|F-inverse आवरण स्वीकार करता है।[1] मैकएलिस्टर का आवरण प्रमेय अर्धसमूहों के विशेष वर्गों के लिए सामान्यीकरण करता है: प्रत्येक रूढ़िवादी अर्धसमूह में एक एकात्मक आवरण होता है।[2] बीजगणित के अन्य क्षेत्रों के उदाहरणों में एक अनंत समूह का फ्रैटिनी कवर शामिल है[3] और एक झूठ समूह का सार्वभौमिक आवरण।
मॉड्यूल
अगर एफ कुछ अंगूठी आर पर मॉड्यूल का कुछ परिवार है, तो मॉड्यूल एम का एक एफ-कवर निम्नलिखित गुणों के साथ एक समरूपता एक्स → एम है:
- X परिवार F में है
- X→M आच्छादक है
- F से M परिवार में किसी मॉड्यूल से कोई विशेषण नक्शा X के माध्यम से कारक है
- मानचित्र के साथ M तक आने वाली X की कोई भी एंडोमोर्फिज्म एक ऑटोमोर्फिज्म है।
आम तौर पर एम के एफ-कवर का अस्तित्व नहीं होना चाहिए, लेकिन अगर यह अस्तित्व में है तो यह (गैर-अद्वितीय) आइसोमोर्फिज्म तक अद्वितीय है।
उदाहरणों में शामिल:
- प्रोजेक्टिव कवर (हमेशा सही अंगूठी ्स पर मौजूद होते हैं)
- सपाट आवरण (हमेशा मौजूद)
- मरोड़-मुक्त कवर (हमेशा अभिन्न डोमेन पर मौजूद होते हैं)
- इंजेक्शन कवर
यह भी देखें
टिप्पणियाँ
- ↑ Lawson p. 230
- ↑ Grilett p. 360
- ↑ Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). फील्ड अंकगणित. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Vol. 11 (3rd revised ed.). Springer-Verlag. p. 508. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.
संदर्भ
- Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 0-19-851194-9.
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