असतत मूल्यांकन

गणित में, असतत मूल्यांकन एक फ़ील्ड (गणित) K पर पूर्णांक मूल्यांकन (बीजगणित) होता है; वह है, एक फ़ंक्शन (गणित):

$\nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$

शर्तों को पूरा करना:

$\nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)$

$\nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}$

$\nu (x)=\infty \iff x=0$

सभी के लिए $x,y\in K$.

ध्यान दें कि अक्सर तुच्छ मूल्यांकन जो केवल मूल्यों पर होता है $0,\infty$ स्पष्ट रूप से बहिष्कृत है।

गैर-तुच्छ असतत मूल्यांकन वाले क्षेत्र को असतत मूल्यांकन क्षेत्र कहा जाता है।

असतत मूल्यांकन के छल्ले और क्षेत्रों पर मूल्यांकन

हर क्षेत्र को $K$ असतत मूल्यांकन के साथ $\nu$ हम सबरिंग को जोड़ सकते हैं

${\mathcal {O}}_{K}:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}$

का $K$, जो असतत मूल्यांकन अंगूठी है। इसके विपरीत, मूल्यांकन $\nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$ असतत मूल्यांकन रिंग पर $A$ भागफल क्षेत्र पर असतत मूल्यांकन के लिए एक अनूठे तरीके से बढ़ाया जा सकता है $K={\text{Quot}}(A)$; संबद्ध असतत मूल्यांकन रिंग ${\mathcal {O}}_{K}$ बस है $A$.

उदाहरण

• निश्चित अभाज्य संख्या के लिए $p$ और किसी भी तत्व के लिए $x\in \mathbb {Q}$ शून्य लेखन से भिन्न $x=p^{j}{\frac {a}{b}}$ साथ $j,a,b\in \mathbb {Z}$ ऐसा है कि $p$ विभाजित नहीं करता $a,b$. तब $\nu (x)=j$ असतत मूल्यांकन है $\mathbb {Q}$, जिसे पी-एडिक वैल्यूएशन कहा जाता है।
• एक रीमैन सतह को देखते हुए $X$, हम क्षेत्र पर विचार कर सकते हैं $K=M(X)$ मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन की $X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$. एक निश्चित बिंदु के लिए $p\in X$, हम असतत मूल्यांकन को परिभाषित करते हैं $K$ निम्नलिखित नुसार: $\nu (f)=j$ अगर और केवल अगर $j$ सबसे बड़ा पूर्णांक है जैसे कि function $f(z)/(z-p)^{j}$ पर एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है $p$. इसका अर्थ है: यदि $\nu (f)=j>0$ तब $f$ आदेश की जड़ है $j$ बिंदु पर $p$; अगर $\nu (f)=j<0$ तब $f$ आदेश का एक ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है $-j$ पर $p$. इसी तरह, प्रत्येक नियमित बिंदु के लिए एक बीजगणितीय वक्र के बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र पर असतत मूल्यांकन को भी परिभाषित करता है। $p$ वक्र के।

असतत मूल्यांकन के छल्ले पर लेख में अधिक उदाहरण मिल सकते हैं।

संदर्भ

• Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht, eds. (1967), Algebraic Number Theory, Academic Press, Zbl 0153.07403
• Fesenko, Ivan B.; Vostokov, Sergei V. (2002), Local fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, vol. 121 (Second ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2, MR 1915966