एपिमोर्फिज्म

This article is about गणितीय कार्य. For जैविक घटना, see एपिमॉर्फोसिस.

श्रेणी सिद्धांत में, एक एपिमोर्फिज्म (जिसे एक एपिक मोर्फिज्म या, बोलचाल की भाषा में, एक एपि भी कहा जाता है) एक मोर्फिज्म f : X → Y है, जो समाप्त करने की गुण है। अर्थ में सही-निरस्त वह, सभी वस्तुओं के लिए Z और सभी मोर्फिज्म के लिए g₁, g₂: Y → Z है ,

$g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\implies g_{1}=g_{2}.$

एपिमोर्फिज्म ऑन या विशेषण कार्यों के स्पष्ट अनुरूप हैं (और समूह की श्रेणी में अवधारणा विशेषण कार्यों से बिल्कुल मेल खाती है), किंतु वे सभी संदर्भों में बिल्कुल मेल नहीं खा सकते हैं; उदाहरण के लिए, समावेशन $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ एक वलय अधिरूपता है। एपिमोर्फिज्म का दोहरा एक मोनोमोर्फिज्म है (अर्थात श्रेणी सी में एक एपिमोर्फिज्म दोहरी श्रेणी C^op में एक मोनोमोर्फिज्म है)।

सार बीजगणित और सार्वभौमिक बीजगणित में कई लेखक एक एपिमोर्फिज्म को केवल एक 'पर' या विशेषण समरूपता के रूप में परिभाषित करते हैं। इस बीजगणितीय अर्थ में प्रत्येक एपिमोर्फिज्म श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में एक एपिमोर्फिज्म है, किंतु इसका विलोम सभी श्रेणियों में सत्य नहीं है। इस लेख में, एपिमोर्फिज्म शब्द का उपयोग ऊपर दिए गए श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में किया जाएगा। इस पर अधिक जानकारी के लिए § शब्दावली नीचे देखें ।

उदाहरण

एक ठोस श्रेणी में प्रत्येक आकृतिवाद जिसका अंतर्निहित कार्य (गणित) विशेषण है, एक एपिमोर्फिज्म है। रुचि की कई ठोस श्रेणियों में इसका विलोम भी सत्य होता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित श्रेणियों में, एपीमॉर्फिज्म वास्तव में वे आकृतिवाद हैं जो अंतर्निहित समूहों पर विशेषण हैं:

• समूह की श्रेणी: समूह (गणित) और कार्य यह सिद्ध करने के लिए कि समूह में हर एपिमोर्फिज्म f: X → Y विशेषण है, हम इसे छवि f(X) और मानचित्र g₂ के विशेषता कार्य g₁: Y → {0,1} दोनों के साथ बनाते हैं g₂: Y → {0,1} जो स्थिर 1 है।
• 'रिल': द्विआधारी संबंधों और संबंध-संरक्षण कार्यों के साथ समूह करता है। यहां हम 'सेट' के समान प्रमाण का उपयोग कर सकते हैं, {0,1} को पूर्ण संबंध {0,1}×{0,1} से लैस कर सकते हैं।
• 'स्थिति': आंशिक रूप से आदेशित समूह और मोनोटोन कार्य यदि f : (X, ≤) → (Y, ≤) विशेषण नहीं है, तो y₀ चुनें Y \ f(X) में और g₁ : Y → {0,1} {y | y₀ ≤ y} और g₂ : Y → {0,1} {y | y₀ < y}। यदि {0,1} को 0 <1 का मानक क्रम दिया जाता है, तो ये मानचित्र मोनोटोन हैं।
• 'समूहों की श्रेणी': समूह (गणित) और समूह समरूपता परिणाम यह है कि 'जीआरपी' में प्रत्येक एपिमोर्फिज्म विशेषण है, ओटो श्रेयर के कारण है (वह वास्तव में अधिक सिद्ध हुआ, यह दिखाते हुए कि प्रत्येक उपसमूह एक समामेलित उपसमूह के साथ मुक्त उत्पाद का उपयोग करके एक तुल्यकारक (गणित) है); एक प्रारंभिक प्रमाण (लिंडरहोम 1970) में पाया जा सकता है।
• 'फिन ग्रुप': परिमित समूह और समूह समरूपता श्रेयर के कारण भी; (लिंडरहोम 1970) में दिया गया प्रमाण इस स्थिति को भी स्थापित करता है।
• 'एबेलियन समूह की श्रेणी': एबेलियन समूह और समूह समरूपता।
• 'सदिश स्थल की श्रेणी|के-वेक्ट': क्षेत्र पर वेक्टर स्पेस (गणित) के और रैखिक रूपांतरण के-रैखिक परिवर्तन।
• 'मॉड'-आर: मॉड्यूल (गणित) एक वलय पर (गणित) आर और मॉड्यूल समरूपता यह पिछले दो उदाहरणों का सामान्यीकरण करता है; यह सिद्ध करने के लिए कि 'मॉड'-आर में हर एपिमोर्फिज्म f: X → Y विशेषण है, हम इसे दोनों विहित भागफल मॉड्यूल g ₁: Y → Y/f(X) और शून्य मानचित्र g₂: Y → Y/f(X) के साथ बनाते हैं
• 'टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी': टोपोलॉजिकल स्पेस और निरंतर कार्य यह सिद्ध करने के लिए कि 'टॉप' में प्रत्येक एपिमॉर्फिज़्म विशेषण है, हम बिल्कुल 'सेट' की तरह आगे बढ़ते हैं, {0,1} तुच्छ टोपोलॉजी देते हैं, जो यह सुनिश्चित करता है कि सभी माने गए नक्शे निरंतर हैं।
• 'एचकाप': कॉम्पैक्ट स्पेस हॉसडॉर्फ स्पेस और निरंतर कार्य यदि f: X → Y विशेषण नहीं है, तो y ∈ Y − fX दें। चूँकि fX बंद है, उरीसोहन के लेम्मा द्वारा एक सतत कार्य g₁:Y → [0,1] ऐसा है कि g₁ fX पर 0 और y पर 1 है। हम दोनों g₁ के साथ f बनाते हैं और शून्य कार्य g₂: Y → [0,1].

चूँकि , ब्याज की कई ठोस श्रेणियां भी हैं जहां अधिरूपता विशेषण होने में विफल रहती हैं। कुछ उदाहरण हैं:

• मोनोइड (श्रेणी सिद्धांत) में, 'सोम', समावेशन मानचित्र N → Z एक गैर-आक्षेपिक अधिरूपता है। इसे देखने के लिए, मान लीजिए कि g₁और g₂ Z से कुछ मोनॉइड M के दो अलग-अलग मानचित्र हैं। फिर Z में कुछ n के लिए,g₁(n) ≠ g₂(n), so g₁(-n) ≠ g₂(−n)। या तो n या -n 'N' में है, इसलिए g₁ का प्रतिबंध और g₂ N से असमान हैं।
• क्रमविनिमेय वलय R के ऊपर बीजगणित की श्रेणी में, R[N] → R[Z] लें, जहाँ R[G] समूह G का समूह वलय है और आकृतिवाद N → Z को सम्मिलित करने से प्रेरित है जैसा कि पिछले उदाहरण यह अवलोकन से आता है कि 1 बीजगणित R[Z] उत्पन्न करता है (ध्यान दें कि R[Z] में इकाई Z के 0 द्वारा दी गई है), और Z में n द्वारा दर्शाए गए तत्व का व्युत्क्रम केवल - द्वारा दर्शाया गया तत्व है। n। इस प्रकार R[Z] से कोई भी समरूपता विशिष्ट रूप से Z के 1 द्वारा दर्शाए गए तत्व पर इसके मान से निर्धारित होती है।
• वलय की श्रेणी में, वलय, समावेशन नक्शा Z → Q एक गैर-आक्षेपिक अधिरूपता है; इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि Q पर कोई भी वलय समरूपता पिछले उदाहरण के समान, पूरी तरह से Z पर अपनी क्रिया से निर्धारित होता है। इसी तरह के एक तर्क से पता चलता है कि प्राकृतिक वलय समरूपता किसी भी क्रमविनिमेय वलय R से उसके किसी एक वलय के स्थानीयकरण के लिए एक अधिरूपता है।
• क्रमविनिमेय वलयों की श्रेणी में, 'f : R → S के वलयों का एक परिमित रूप से उत्पन्न वस्तु समरूपता एक एपिसमाकृतिकता है यदि और केवल यदि सभी प्रमुख आदर्शों 'P के लिए 'R, f(P) द्वारा उत्पन्न आदर्श Q या तो S है या प्रधान है, और यदि Q S' नहीं है ', भिन्नों का प्रेरित मानचित्र क्षेत्र (R/P) →फ़्रैक(S/Q) एक समरूपता है (एलेमेंट्स डे जियोमेट्री एल्गेब्रिक IV 17.2.6)।
• हॉसडॉर्फ स्पेस, हॉस की श्रेणी में, एपिमोर्फिज्म सघन समूह छवियों के साथ निरंतर कार्य हैं। उदाहरण के लिए, समावेशन नक्शा Q → R, एक गैर-आक्षेपिक अधिरूपता है।

उपरोक्त मोनोमोर्फिज्म के स्थिति से भिन्न है जहां यह अधिक बार सच होता है कि मोनोमोर्फिज्म स्पष्ट रूप से वे होते हैं जिनके अंतर्निहित कार्य इंजेक्शन होते हैं।

गैर-ठोस श्रेणियों में एपिमोर्फिज्म के उदाहरणों के लिए:

• यदि एक मोनोइड या वलय (गणित) को एक वस्तु के साथ एक श्रेणी के रूप में माना जाता है (गुणन द्वारा दी गई मोर्फिज्म की संरचना), तो एपिमॉर्फिज्म सही-समाप्त करने योग्य तत्व हैं।
• यदि एक निर्देशित ग्राफ को एक श्रेणी के रूप में माना जाता है (वस्तुएं कोने हैं, आकृतिवाद पथ हैं, आकारिकी की रचना पथों का संघटन है), तो हर आकारिकी एक एपिमोर्फिज्म है।

गुण

प्रत्येक समरूपता एक अधिरूपता है; वास्तव में केवल एक दाएं तरफा व्युत्क्रम की आवश्यकता है: यदि कोई आकारिकी उपस्थित है j : Y → X ऐसा है कि fj = id_Y, तब f: X → Y को आसानी से एक एपिमोर्फिज्म के रूप में देखा जाता है। ऐसे दाहिनी ओर के व्युत्क्रम वाले मानचित्र को 'अनुभाग (श्रेणी सिद्धांत)' कहा जाता है। एक टोपोज़ में, एक नक्शा जो एक मोनिक रूपवाद और एक एपिमोर्फिज्म दोनों है, एक समरूपता है।

दो एपीमोर्फिज्म की संरचना फिर से एक एपीमोर्फिज्म है। यदि दो मोर्फिज्म की रचना fg एक एपिमोर्फिज्म है, तो f एक एपिमोर्फिज्म होना चाहिए।

जैसा कि उपरोक्त कुछ उदाहरणों से पता चलता है, एक एपिमोर्फिज्म होने की गुण केवल आकारिकी द्वारा निर्धारित नहीं होती है, किंतु संदर्भ की श्रेणी से भी निर्धारित होती है। यदि D, C की एक उपश्रेणी है, तो D में प्रत्येक आकृतिवाद जो कि एक एपीमोर्फिज्म है, जब C में एक आकृतिवाद के रूप में माना जाता है, वह भी D में एक एपिमोर्फिज्म है। किंतु इसके विपरीत की आवश्यकता नहीं है; छोटी श्रेणी में (और अधिकांशतः होगा) अधिक एपिमोर्फिज्म हो सकते हैं।

श्रेणी सिद्धांत में अधिकांश अवधारणाओं के लिए, एपिमोर्फिज्म को श्रेणियों की समानता के तहत संरक्षित किया जाता है: एक समानता F : C → D दी गई है, एक आकृतिवाद एफ श्रेणी C में एक एपिमोर्फिज्म है यदि और केवल यदि F(f) D में एक एपिमोर्फिज्म है। A दो श्रेणियों के बीच द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) एपिमोर्फिज्म को और इसके विपरीत मोनोमोर्फिज्म में बदल देता है,

एपिमोर्फिज्म की परिभाषा को यह बताने के लिए सुधारा जा सकता है कि f : X → Y एक एपिमोर्फिज्म है यदि और केवल यदि प्रेरित नक्शे

${\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}}$

Z की हर पसंद के लिए इंजेक्शन हैं। यह बदले में प्रेरित प्राकृतिक परिवर्तन के समान है

${\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,-)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,-)\end{matrix}}$

फ़ंक्टर श्रेणी Set^C में एक मोनोमोर्फिज़्म होना।

प्रत्येक समतुल्यकारक एक एपीमोर्फिज्म है, सहतुल्यकारकों की परिभाषा में विशिष्टता की आवश्यकता का परिणाम है। यह विशेष रूप से अनुसरण करता है कि प्रत्येक कोकेर्नल एक एपिमोर्फिज्म है। इसका विलोम, अर्थात् प्रत्येक उपरूपवाद एक समतुल्य है, सभी श्रेणियों में सत्य नहीं है।

कई श्रेणियों में प्रत्येक रूपवाद को एक अधिरूपता की संरचना के रूप में लिखना संभव है, जिसके बाद एक मोनोमोर्फिज्म होता है। उदाहरण के लिए, एक समूह समरूपता f : G → H दिया गया है, हम समूह K = im(f) को परिभाषित कर सकते हैं और फिर विशेषण समरूपता G → K की रचना के रूप में f लिख सकते हैं, जिसे f की तरह परिभाषित किया गया है, जिसके बाद अंतःक्षेपी समरूपता K → H जो प्रत्येक तत्व को स्वयं भेजता है। एक इच्छानुसार रूपवाद का एक एपिमोर्फिज्म के बाद एक मोनोमोर्फिज्म में इस तरह का गुणनखंडन सभी एबेलियन श्रेणियों में किया जा सकता है और ऊपर उल्लिखित सभी ठोस श्रेणियों में भी किया जा सकता है। § उदाहरण (चूँकि सभी ठोस श्रेणियों में नहीं)।

संबंधित अवधारणाएँ

अन्य उपयोगी अवधारणाओं में नियमित एपिमोर्फिज्म, एक्सट्रीमल एपिमोर्फिज्म, तत्काल एपिमोर्फिज्म, शसक्त एपिमोर्फिज्म और स्प्लिट एपिमोर्फिज्म सम्मिलित हैं।

• एक एपिमोर्फिज्म को 'नियमित' कहा जाता है यदि यह समानांतर आकारिकी के कुछ जोड़े का एक सह-तुल्यकारक है।
• एक एपिमोर्फिज्म $\varepsilon$ अतिवादी बताया है यदि प्रत्येक प्रतिनिधित्व में $\varepsilon =\mu \circ \varphi$, जहाँ $\mu$ एक एकरूपता है, रूपवाद $\mu$ स्वचालित रूप से एक समरूपता है।
• एक एपिमोर्फिज्म $\varepsilon$ प्रत्येक प्रतिनिधित्व में यदि तत्काल कहा जाता है $\varepsilon =\mu \circ \varepsilon '$, जहाँ $\mu$ एक एकरूपता है और $\varepsilon '$ एक एपिमोर्फिज्म है, रूपवाद $\mu$ स्वचालित रूप से एक समरूपता है।
• 
  एक एपिमोर्फिज्म $\varepsilon :A\to B$ शक्तिशाली बताया गया है यदि किसी मोनोमोर्फिज्म के लिए $\mu :C\to D$ और कोई मोर्फिज्म $\alpha :A\to C$ और $\beta :B\to D$ ऐसा है कि $\beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha$, एक रूपवाद उपस्थित है $\delta :B\to C$ ऐसा है कि $\delta \circ \varepsilon =\alpha$ और $\mu \circ \delta =\beta$.
• एक एपिमोर्फिज्म $\varepsilon$ कहा जाता है कि यदि आकारिकी उपस्थित है तो इसे विभाजित किया जाता है $\mu$ ऐसा है कि $\varepsilon \circ \mu =1$ (इस स्थिति में $\mu$ के लिए $\varepsilon$ दाहिनी ओर का प्रतिलोम कहा जाता है ).

वलय सिद्धांत में होमोलॉजिकल एपिमोर्फिज्म की भी धारणा है। एक मोर्फिज्म f: A → B वलय का एक होमोलॉजिकल एपिमोर्फिज्म है यदि यह एक एपिमोर्फिज्म है और यह व्युत्पन्न श्रेणियों पर एक पूर्ण और वफादार फ़ंक्टर को प्रेरित करता है:

D(f) : D(B) → D(A).

एक रूपवाद जो एक मोनोमोर्फिज्म और एक एपिमोर्फिज्म दोनों है, उसे बिमोर्फिज्म कहा जाता है। प्रत्येक तुल्याकारिता एक द्विरूपता है किंतु इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, अर्ध-विवर्त अंतराल [0,1) से इकाई घेरा S¹ तक का नक्शा (जटिल समतल के एक टोपोलॉजिकल उप-स्थान के रूप में माना जाता है) जो x को exp(2πix) पर भेजता है (यूलर का सूत्र देखें) निरंतर और विशेषण है किंतु होमियोमोर्फिज्म नहीं है क्योंकि व्युत्क्रम नक्शा 1 पर निरंतर नहीं है, इसलिए यह एक द्विरूपता का एक उदाहरण है जो 'शीर्ष' श्रेणी में एक तुल्याकारिता नहीं है। एक अन्य उदाहरण 'हॉस' श्रेणी में एम्बेडिंग 'Q' → 'R' है; जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह एक द्विरूपता है, किंतु यह विशेषण नहीं है और इसलिए एक तुल्याकारिता नहीं है। इसी तरह, वलय (बीजगणित) की श्रेणी में, नक्शा 'Z' → 'Q' एक द्विरूपता है, किंतु एक समरूपता नहीं है।

सामान्य श्रेणियों में अमूर्त भागफल वस्तुओं को परिभाषित करने के लिए एपीमॉर्फिज्म का उपयोग किया जाता है: दो एपीमॉर्फिज्म f₁ : X → Y₁ और f₂ : X → Y₂ यदि कोई तुल्याकारिता j : Y₁ → Y₂ j f₁ = f₂ के साथ उपस्थित है तो समतुल्य कहलाते हैं यह एक तुल्यता संबंध है, और तुल्यता वर्ग को X के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

शब्दावली

साथी शब्द एपिमोर्फिज्म और मोनोमोर्फिज्म सबसे पहले निकोलस बोरबाकी द्वारा प्रस्तुत किए गए थे। बॉरबाकी विशेषण क्रिया के लिए आशुलिपि के रूप में अधिरूपता का उपयोग करता है। प्रारंभिक श्रेणी के सिद्धांतकारों का मानना ​​​​था कि एपिमोर्फिज्म एक इच्छानुसार श्रेणी में अनुमानों का सही एनालॉग था, इसी तरह मोनोमोर्फिज्म इंजेक्शन के लगभग एक स्पष्ट एनालॉग हैं। दुर्भाग्य से यह गलत है; शसक्त या नियमित एपिमॉर्फिज्म सामान्य एपिमॉर्फिज्म की तुलना में अनुमानों के बहुत समीप से व्यवहार करते हैं। सॉन्डर्स मैक लेन ने एपिमोर्फिज्म के बीच एक अंतर बनाने का प्रयास किया, जो एक ठोस श्रेणी में मानचित्र थे, जिनके अंतर्निहित समूह मानचित्र विशेषण थे, और महाकाव्य आकारिकी, जो आधुनिक अर्थों में एपिमोर्फिज्म हैं। चूँकि, यह भेद कभी नहीं पकड़ा गया।

यह विश्वास करना एक सामान्य गलती है कि अधिरूपता या तो अनुमानों के समान हैं या वे एक उत्तम अवधारणा हैं। दुर्भाग्य से ऐसा कम ही होता है; एपिमॉर्फिम्स बहुत रहस्यमय हो सकते हैं और अप्रत्याशित व्यवहार कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, वलय के सभी अधिरूपों को वर्गीकृत करना बहुत कठिन है। सामान्यतः, एपिमॉर्फिज्म उनकी अपनी अनूठी अवधारणा है, जो अनुमानों से संबंधित है किंतु मौलिक रूप से भिन्न है।

यह भी देखें

• श्रेणी सिद्धांत विषयों की सूची
• एकरूपता

संदर्भ

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
• Bergman, George (2015). An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. Springer. ISBN 978-3-319-11478-1.
• Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193.
• Tsalenko, M.S.; Shulgeifer, E.G. (1974). Foundations of category theory. Nauka. ISBN 5-02-014427-4.
• "Epimorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2015). Sets for Mathematics. Cambridge university press. ISBN 978-0-521-80444-8.
• Linderholm, Carl (1970). "A Group Epimorphism is Surjective". American Mathematical Monthly. 77 (2): 176–177. doi:10.1080/00029890.1970.11992448.

बाहरी संबंध

• epimorphism at the nLab
• Strong epimorphism at the nLab