बेथे एन्सैट्ज़

भौतिक विज्ञान में, बेथे एन्सैट्ज़ कुछ एक-आयामी क्वांटम कई-बॉडी मॉडल के सटीक वेवफंक्शन खोजने के लिए एक एनाट्ज़ विधि है। इसका आविष्कार हंस बेथे ने 1931 में किया था एक आयामी एंटीफेरोमैग्नेटिज्म हाइजेनबर्ग मॉडल (क्वांटम) हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स खोजने के लिए। तब से विधि को एक आयाम में अन्य मॉडलों के लिए बढ़ा दिया गया है: (अनिसोट्रोपिक) हाइजेनबर्ग श्रृंखला (XXZ मॉडल), लिब-लिनिगर इंटरेक्टिंग बोस गैस, हबर्ड मॉडल, मॉडल कोंडो , एंडरसन अशुद्धता मॉडल, रिचर्डसन मॉडल आदि। .

चर्चा

बहु-निकाय क्वांटम यांत्रिकी के ढांचे में, बेथे एन्सैट्ज द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडल की तुलना मुक्त फरमिओन्स मॉडल से की जा सकती है। कोई कह सकता है कि एक मुक्त मॉडल की गतिकी एक-पिंड को कम करने योग्य है: फ़र्मियन्स (बोसॉन) के लिए कई-बॉडी वेव फ़ंक्शन एक-बॉडी वेव फ़ंक्शंस का एंटी-सममितीकृत (सममित) उत्पाद है। Bethe ansatz द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडल मुक्त नहीं हैं: दो-निकाय क्षेत्र में एक गैर-तुच्छ एस मैट्रिक्स है, जो सामान्य रूप से संवेग पर निर्भर करता है।

दूसरी ओर, बेथे एन्सैट्ज द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडलों की गतिशीलता दो-निकाय रिड्यूसिबल है: कई-निकाय बिखरने वाला मैट्रिक्स दो-शरीर बिखरने वाले मैट्रिसेस का एक उत्पाद है। कई-निकाय टकराव दो-शरीर टक्करों के अनुक्रम के रूप में होते हैं और कई-शरीर तरंग फ़ंक्शन को ऐसे रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है जिसमें दो-शरीर तरंग कार्यों से केवल तत्व होते हैं। बहु-निकाय बिखरने वाला मैट्रिक्स जोड़ीदार बिखरने वाले मैट्रिक्स के उत्पाद के बराबर है।

कई-बॉडी वेवफंक्शन के लिए बेथे एन्सैट्ज का सामान्य रूप है

$\Psi _{M}(j_{1},\cdots ,j_{M})=\prod _{M\geq a>b\geq 1}{\text{sgn}}(j_{a}-j_{b})\sum _{P\in P_{M}}(-1)^{[P]}e^{i\sum _{a=1}^{M}k_{P_{a}}j_{a}+{\frac {i}{2}}\sum _{M\geq a>b\geq 1}\mathrm {sgn} (j_{a}-j_{b})\phi (k_{P_{a}},k_{P_{b}})}$ जिसमें $M$ कणों की संख्या है, $j_{a},a=1,\cdots M$ उनकी स्थिति, $P_{M}$ पूर्णांकों के सभी क्रमपरिवर्तनों का समुच्चय है $1,\cdots ,M$, $k_{a}$ की (अर्ध-) गति है $a$-वें कण, $\phi$ प्रकीर्णन चरण बदलाव समारोह है और $\mathrm {sgn}$ साइन समारोह है। यह रूप सार्वभौमिक है (कम से कम गैर-नेस्टेड सिस्टम के लिए), गति और बिखरने वाले कार्यों के मॉडल-निर्भर होने के साथ।

यांग-बैक्सटर समीकरण निर्माण की निरंतरता की गारंटी देता है। पाउली बहिष्करण सिद्धांत बेथे एनात्ज़ द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडल के लिए मान्य है, यहां तक ​​कि परस्पर क्रिया करने वाले बोसोन के मॉडल के लिए भी।

जमीनी अवस्था एक फर्मी सतह है। आवधिक सीमा की स्थिति बेथे ansatz समीकरणों की ओर ले जाती है। लघुगणकीय रूप में चेन नी यू यांग द्वारा बेथ एनात्ज़ समीकरण उत्पन्न किए जा सकते हैं। बेथ वेव फ़ंक्शन के मानदंड का वर्ग यांग क्रिया के दूसरे डेरिवेटिव के मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है। क्वांटम व्युत्क्रम बिखरने की विधि बताते हुए आवश्यक प्रगति का नेतृत्व किया वह

The quantum inverse scattering method ... a well-developed method ... has allowed a wide class of nonlinear evolution equations to be solved. It explains the algebraic nature of the Bethe ansatz.

तथाकथित एसडी मॉडल का सटीक समाधान (पीबी विगमैन द्वारा 1980 में और एन. आंद्रेई द्वारा स्वतंत्र रूप से, 1980 में भी) और एंडरसन मॉडल (पी.बी. विगमैन द्वारा 1981 में, और एन. कावाकामी और ए. ओकीजी द्वारा 1981 में) भी दोनों बेथे एनात्ज़ पर आधारित हैं। इन दो मॉडलों के बहु-चैनल सामान्यीकरण भी मौजूद हैं जो सटीक समाधान के लिए उत्तरदायी हैं (एन. आंद्रेई और सी. डेस्ट्री द्वारा) और सी.जे. बोलेच और एन. आंद्रेई द्वारा). हाल ही में Bethe ansatz द्वारा हल किए जा सकने वाले कई मॉडलों को प्रयोगात्मक रूप से ठोस अवस्थाओं और ऑप्टिकल लैटिस में महसूस किया गया था। इन प्रयोगों के सैद्धांतिक विवरण में एक महत्वपूर्ण भूमिका जीन-सेबास्टियन कॉक्स और एलेक्सी त्वेलिक द्वारा निभाई गई थी।

शब्दावली

इसी तरह के और भी तरीके हैं जो Bethe ansatz के नाम से आते हैं

• बीजीय बेथे ansatz। क्वांटम व्युत्क्रम प्रकीर्णन विधि बीजगणितीय बेथ एनसैट्ज़ द्वारा समाधान की विधि है, और दोनों व्यावहारिक रूप से पर्यायवाची हैं।
• विश्लेषणात्मक बेथे ansatz
• बेथे अंसत्ज़ का समन्वय करें (Hans Bethe 1931)
• कार्यात्मक बेथे दृष्टिकोण
• नेस्टेड बेथे दृष्टिकोण
• थर्मोडायनामिक बेथे दृष्टिकोण (C.N. Yang & C.P. Yang 1969)

उदाहरण

हाइजेनबर्ग एंटीफेरोमैग्नेटिक चेन

हाइजेनबर्ग एंटीफेरोमैग्नेटिक चेन को हैमिल्टनियन द्वारा परिभाषित किया गया है (आवधिक सीमा स्थितियों को मानते हुए)

$H=J\sum _{j=1}^{N}\mathbf {S} _{j}\cdot \mathbf {S} _{j+1},\qquad \mathbf {S} _{j+N}\equiv \mathbf {S} _{j}.$

यह मॉडल (समन्वय) Bethe ansatz का उपयोग करके हल करने योग्य है। स्कैटरिंग फेज शिफ्ट फंक्शन है $\phi (k_{a}(\lambda _{a}),k_{b}(\lambda _{b}))=\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})$, साथ $\theta _{n}(\lambda )\equiv 2\arctan {\frac {2\lambda }{n}}$ जिसमें संवेग को सुविधाजनक रूप से पुनर्मूल्यांकन किया गया है $k(\lambda )=\pi -2\arctan 2\lambda$ तेज़ी के संदर्भ में $\lambda$. (यहाँ, आवधिक) सीमा की स्थितियाँ बेथ समीकरणों को लागू करती हैं

$\left[{\frac {\lambda _{a}+i/2}{\lambda _{a}-i/2}}\right]^{N}=\prod _{b\neq a}^{M}{\frac {\lambda _{a}-\lambda _{b}+i}{\lambda _{a}-\lambda _{b}-i}},\qquad a=1,...,M$

या अधिक आसानी से लघुगणकीय रूप में

$\theta _{1}(\lambda _{a})-{\frac {1}{N}}\sum _{b=1}^{M}\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})=2\pi {\frac {I_{a}}{N}}$

जहां क्वांटम नंबर $I_{j}$ के लिए विशिष्ट अर्ध-विषम पूर्णांक हैं $N-M$ सम, के लिए पूर्णांक $N-M$ विषम (साथ $I_{j}$ परिभाषित मोड$(N)$).

प्रयोज्यता

Bethe ansatz का उपयोग करके निम्नलिखित प्रणालियों को हल किया जा सकता है

• एंडरसन अशुद्धता मॉडल
• गौडिन मॉडल
• XXX और XXZ हाइजेनबर्ग स्पिन श्रृंखला मनमाना स्पिन के लिए $s$
• हबर्ड मॉडल
• कोंडो मॉडल
• लीब-लिनिगर मॉडल
• छह-शीर्ष मॉडल और आठ-शीर्ष मॉडल (हाइजेनबर्ग स्पिन चेन के माध्यम से)

कालक्रम

• 1928: वर्नर हाइजेनबर्ग ने क्वांटम हाइजेनबर्ग मॉडल प्रकाशित किया।
• 1930: फेलिक्स बलोच ने एक अतिसरलीकृत ansatz का प्रस्ताव रखा जो हाइजेनबर्ग श्रृंखला के लिए श्रोडिंगर समीकरण के समाधानों की संख्या को गलत तरीके से गिनता है।
• 1931: हंस बेथे ने सही ansatz का प्रस्ताव दिया और ध्यान से दिखाया कि यह सही संख्या में eigenfunctions का उत्पादन करता है।* 1938: Lamek Hulthén हाइजेनबर्ग मॉडल की सटीक जमीन-राज्य ऊर्जा प्राप्त करता है।
• 1958: रेमंड ली ओरबैक ने हाइजेनबर्ग मॉडल को अनिसोट्रोपिक इंटरैक्शन के साथ हल करने के लिए बेथ एन्सैट्ज का उपयोग किया।
• 1962: जे. डेस क्लिज़ॉक्स और जे. जे. पियर्सन ने हाइजेनबर्ग एंटीफेरोमैग्नेट (स्पिनन फैलाव संबंध) का सही स्पेक्ट्रम प्राप्त किया, दिखा रहा है कि यह एंडरसन की स्पिन-वेव थ्योरी की भविष्यवाणियों से अलग है (निरंतर प्रीफैक्टर अलग है)।
• 1963: इलियट एच. लिब और वर्नर लिंगर ने 1d δ-फंक्शन इंटरेक्टिंग बोस गैस का सटीक समाधान प्रदान किया (अब लिब-लाइनर मॉडल के रूप में जाना जाता है)। लिब स्पेक्ट्रम का अध्ययन करता है और दो बुनियादी प्रकार के उत्तेजनाओं को परिभाषित करता है।
• 1964: रॉबर्ट बी. ग्रिफिथ्स ने शून्य तापमान पर हाइजेनबर्ग मॉडल का चुंबकीयकरण वक्र प्राप्त किया।
• 1966: यांग चेन-निंग|सी.एन. यांग और सी.पी. यांग दृढ़ता से साबित करते हैं कि हाइजेनबर्ग श्रृंखला की जमीनी स्थिति बेथे एनात्ज़ द्वारा दी गई है। वे गुणों और अनुप्रयोगों का अध्ययन करते हैं और।
• 1967: यांग चेन-निंग|सी.एन. यांग ने लिब और लिनिगर के δ-फंक्शन इंटरेक्टिंग बोस गैस के समाधान को वेवफंक्शन के मनमाना क्रमपरिवर्तन समरूपता के लिए सामान्यीकृत किया, जिससे नेस्टेड बेथे एन्सैट्ज को जन्म दिया।
• 1968: इलियट एच. लीब और एफ.वाई. वू ने 1डी हबर्ड मॉडल को हल किया।
• 1969: यांग चेन-निंग|सी.एन. यांग और सी.पी. जो लीब-लिनिगर मॉडल के ऊष्मप्रवैगिकी को प्राप्त करते हैं, उष्मागतिक बेथे ansatz (TBA) का आधार प्रदान करना।

बाहरी संबंध

• Introduction to the Bethe Ansatz