बिनेट समीकरण

जैक्स फिलिप मैरी बिनेट द्वारा व्युत्पन्न बिनेट समीकरण, तलीय ध्रुवीय निर्देशांक में कक्षीय गति के आकार को देखते हुए एक केंद्रीय बल का रूप प्रदान करता है। किसी दिए गए बल सिद्धांत के लिए कक्षा के आकार को प्राप्त करने के लिए समीकरण का भी उपयोग किया जा सकता है, लेकिन इसमें सामान्यतः दूसरे क्रम के गैर-रैखिक साधारण अवकलन समीकरण का समाधान सम्मिलित होता है। बल के केंद्र के बारे में वृत्तीय गति के कारक में एक अनूठा समाधान असंभव है।

समीकरण

कक्षा के आकार को प्राय: सापेक्ष दूरी $r$ के संदर्भ में कोण $\theta$ के कार्य के रूप में आसानी से वर्णित किया जाता है। बिनेट समीकरण के लिए, कक्षीय आकार को पारस्परिक रूप से $u=1/r$ के एक फलन $\theta$ के रूप में अधिक संक्षिप्त रूप से वर्णित किया गया है।विशिष्ट कोणीय संवेग को $h=L/m$ इस रूप में परिभाषित कीजिए जहाँ $L$ कोणीय गति है और $m$ द्रव्यमान है। अगले खंड में व्युत्पन्न बिनेट समीकरण, फलन $u(\theta )$ के संदर्भ में बल देता है:

$$F(u^{-1})=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right).$$

अवकलन

शुद्ध रूप से केंद्रीय बल के लिए न्यूटन का द्वितीय नियम है

$$F(r)=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right).$$

कोणीय संवेग के संरक्षण के लिए इसकी आवश्यकता होती है

$$r^{2}{\dot {\theta }}=h={\text{constant}}.$$

के डेरिवेटिव $r$ समय के संबंध में डेरिवेटिव के रूप में फिर से लिखा जा सकता है $u=1/r$ कोण के संबंध में:

$${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\end{aligned}}$$

उपरोक्त सभी को मिलाकर, हम पहुँचते हैं

$$F=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right)=-m\left(h^{2}u^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)$$

सामान्य समाधान है

$$\theta =\int _{r_{0}}^{r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}(E-V)-{\frac {1}{r^{2}}}}}}}+\theta _{0}$$

कहाँ $(r_{0},\theta _{0})$ कण का प्रारंभिक समन्वय है।

उदाहरण

केप्लर समस्या

शास्त्रीय

व्युत्क्रम वर्ग नियम की कक्षा की गणना करने की पारंपरिक केपलर समस्या को बिनेट समीकरण से अंतर समीकरण के समाधान के रूप में पढ़ा जा सकता है।

$$-ku^{2}=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)$$

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {k}{mh^{2}}}\equiv {\text{constant}}>0.$$

यदि कोण $\theta$ पेरीपसिस से मापा जाता है, तो (पारस्परिक) ध्रुवीय निर्देशांक में व्यक्त कक्षा के लिए सामान्य समाधान है

$$lu=1+\varepsilon \cos \theta .$$

उपरोक्त ध्रुवीय समीकरण शंकु वर्गों का वर्णन करता है, साथ में $l$ अर्ध-सीधी तरफ (के बराबर $h^{2}/\mu =h^{2}m/k$) और $\varepsilon$ कक्षीय सनकीपन।

सापेक्षतावादी

श्वार्जस्चिल्ड निर्देशांक के लिए व्युत्पन्न सापेक्ष समीकरण है

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}$$

कहाँ $c$ प्रकाश की गति है और $r_{s}$ श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या है। और Reissner–Nordström मीट्रिक के लिए हम प्राप्त करेंगे

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)$$

कहाँ $Q$ विद्युत आवेश है और $\varepsilon _{0}$ वैक्यूम परमिटिटिविटी है।

उलटा केपलर समस्या

व्युत्क्रम केपलर समस्या पर विचार करें। किस प्रकार का बल कानून फोकस (ज्यामिति) के चारों ओर एक गैर-परिपत्र अंडाकार कक्षा (या अधिक सामान्यतःएक गैर-परिपत्र शंकु खंड) उत्पन्न करता है?

दीर्घवृत्त के लिए उपरोक्त ध्रुवीय समीकरण को दो बार अवकलित करने पर प्राप्त होता है

$$l\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-\varepsilon \cos \theta .$$

बल कानून इसलिए है

$$F=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta }{l}}\right)=-{\frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},$$

जो प्रत्याशित उलटा वर्ग कानून है। कक्षीय मिलान $h^{2}/l=\mu$ जैसे भौतिक मूल्यों के लिए $GM$ या $k_{e}q_{1}q_{2}/m$ क्रमशः न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम या कूलम्ब के नियम को पुन: उत्पन्न करता है।

श्वार्जस्चिल्ड निर्देशांक के लिए प्रभावी बल है

$$F=-GMmu^{2}\left(1+3\left({\frac {hu}{c}}\right)^{2}\right)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+3\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).$$

जहां दूसरा शब्द एक व्युत्क्रम-चतुर्थक बल है जो चतुष्कोणीय प्रभावों के अनुरूप है जैसे कि पेरीपसिस की कोणीय पारी (यह मंद क्षमता के माध्यम से भी प्राप्त की जा सकती है)).

मानकीकृत पोस्ट-न्यूटोनियन औपचारिकता में हम प्राप्त करेंगे

$$F=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+(2+2\gamma -\beta )\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).$$

कहाँ $\gamma =\beta =1$ सामान्य सापेक्षता के लिए और $\gamma =\beta =0$ शास्त्रीय मामले में।

कोट्स सर्पिल

एक व्युत्क्रम घन बल नियम का रूप है

$$F(r)=-{\frac {k}{r^{3}}}.$$

व्युत्क्रम घन नियम की कक्षाओं के आकार को कोट्स सर्पिल के रूप में जाना जाता है। बिनेट समीकरण दर्शाता है कि कक्षाएँ अवश्य ही समीकरण का हल होनी चाहिए

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {ku}{mh^{2}}}=Cu.$$

केप्लर समस्या के विभिन्न शांकव वर्गों के अनुरूप अंतर समीकरण के तीन प्रकार के समाधान हैं। कब $C<1$, समाधान एपिस्पिरल है, जिसमें सीधी रेखा के पैथोलॉजिकल मामले शामिल हैं $C=0$. कब $C=1$, समाधान अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल है। कब $C>1$ समाधान पॉइन्सॉट का सर्पिल है।

ऑफ-एक्सिस सर्कुलर मोशन

यद्यपि बिनेट समीकरण बल के केंद्र के बारे में परिपत्र गति के लिए एक अद्वितीय बल कानून देने में विफल रहता है, लेकिन समीकरण एक बल कानून प्रदान कर सकता है जब वृत्त का केंद्र और बल का केंद्र मेल नहीं खाते। उदाहरण के लिए एक गोलाकार कक्षा पर विचार करें जो सीधे बल के केंद्र से होकर गुजरती है। व्यास की ऐसी गोलाकार कक्षा के लिए ए (पारस्परिक) ध्रुवीय समीकरण $D$ है

$$D\,u(\theta )=\sec \theta .$$

फर्क $u$ दो बार और पायथागॉरियन पहचान का उपयोग करने से देता है

$$D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\sec ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u.$$

बल कानून इस प्रकार है

$$F=-mh^{2}u^{2}\left(2D^{2}u^{3}-u+u\right)=-2mh^{2}D^{2}u^{5}=-{\frac {2mh^{2}D^{2}}{r^{5}}}.$$

ध्यान दें कि सामान्य उलटा समस्या को हल करना, यानी एक आकर्षक की कक्षाओं का निर्माण करना $1/r^{5}$ बल कानून, एक अधिक कठिन समस्या है क्योंकि यह हल करने के बराबर है

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=Cu^{3}$$

जो एक दूसरा क्रम अरैखिक अवकल समीकरण है।

यह भी देखें

• Bohr–Sommerfeld quantization § Relativistic orbit
• शास्त्रीय केंद्रीय बल समस्या
• सामान्य सापेक्षता
• सामान्य सापेक्षता में दो-शरीर की समस्या
• बर्ट्रेंड की प्रमेय