स्मोलुचोव्स्की जमावट समीकरण

यह आरेख Smoluchowski एकत्रीकरण समीकरण के अनुसार असतत कणों के एकत्रीकरण कैनेटीक्स का वर्णन करता है।

सांख्यिकीय भौतिकी में, स्मोलुचोव्स्की जमावट समीकरण एक जनसंख्या संतुलन समीकरण है जिसे मैरियन स्मोलुचोव्स्की ने 1916 के एक मौलिक प्रकाशन में पेश किया था, कणों की संख्या घनत्व के समय के विकास का वर्णन करते हुए वे समय टी पर एक्स आकार के लिए जमावट करते हैं (इस संदर्भ में एक साथ टकराते हैं)।

बहुलकीकरण से जुड़ी प्रक्रियाओं में एक साथ जमावट (या एकत्रीकरण) का सामना करना पड़ता है, एयरोसौल्ज़ का संघटन (रसायन विज्ञान), पायस, flocculation।

समीकरण

सिस्टम के सभी कणों के परस्पर संबंध के अनुसार कण आकार का वितरण समय में बदलता है। इसलिए, Smoluchowski जमावट समीकरण कण-आकार के वितरण का एक पूर्णांक समीकरण है। मामले में जब जमा हुए कणों के आकार निरंतर चर होते हैं, तो समीकरण में एक अभिन्न शामिल होता है:

${\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}K(x-y,y)n(x-y,t)n(y,t)\,dy-\int _{0}^{\infty }K(x,y)n(x,t)n(y,t)\,dy.$

यदि dy को एकीकरण की असतत सूची के रूप में व्याख्या की जाती है और सिद्धांत विषयों को मापता है # सहज नींव, यानी जब कण असतत चर आकार में जुड़ते हैं, तो समीकरण का असतत रूप एक योग है:

${\frac {\partial n(x_{i},t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{i-1}K(x_{i}-x_{j},x_{j})n(x_{i}-x_{j},t)n(x_{j},t)-\sum _{j=1}^{\infty }K(x_{i},x_{j})n(x_{i},t)n(x_{j},t).$

चुने गए कर्नेल समारोह के लिए एक अनूठा समाधान मौजूद है।

जमावट गिरी

रैखिक ऑपरेटर , K, को कोएग्युलेशन अभिन्न कर्नेल के रूप में जाना जाता है और उस दर का वर्णन करता है जिस पर आकार के कण होते हैं $x_{1}$ आकार के कणों के साथ जमना $x_{2}$. समीकरण के लिए बंद रूप की अभिव्यक्ति तब मौजूद होती है जब कर्नेल तीन सरल रूपों में से एक लेता है:

$K=1,\quad K=x_{1}+x_{2},\quad K=x_{1}x_{2},$

स्थिरांक (गणित), योज्य मानचित्र, और गुणात्मक फलन गुठली के रूप में जाना जाता है। मामले के लिए $K=1$ यह गणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है कि Smoluchowski जमावट समीकरणों के समाधान में विषम रूप से गतिशील स्केलिंग संपत्ति है। यह स्व-समान व्यवहार स्केल इनवेरियन से निकटता से संबंधित है जो एक चरण संक्रमण की एक विशेषता विशेषता हो सकती है।

हालांकि, अधिकांश व्यावहारिक अनुप्रयोगों में कर्नेल काफी अधिक जटिल रूप धारण कर लेता है। उदाहरण के लिए, मुक्त-आण्विक कर्नेल जो तनु गैस-चरण (पदार्थ) प्रणाली में टकराव का वर्णन करता है,

$K={\sqrt {\frac {\pi k_{B}T}{2}}}\left({\frac {1}{m(x_{1})}}+{\frac {1}{m(x_{2})}}\right)^{1/2}\left(d(x_{1})+d(x_{2})\right)^{2}.$

कुछ जमावट गुठली समूहों के एक विशिष्ट भग्न आयाम के लिए खाते हैं, जैसा कि प्रसार-सीमित एकत्रीकरण में है:

$K={\frac {2}{3}}{\frac {k_{B}T}{\eta }}\left(x_{1}^{1/y_{1}}+x_{2}^{1/y_{2}}\right)\left(x_{1}^{-1/y_{1}}+x_{2}^{-1/y_{2}}\right),$

या रिएक्शन-सीमित एकत्रीकरण:

$K={\frac {2}{3}}{\frac {k_{B}T}{\eta }}{\frac {(x_{1}x_{2})^{\gamma }}{W}}\left(x_{1}^{1/y_{1}}+x_{2}^{1/y_{2}}\right)\left(x_{1}^{-1/y_{1}}+x_{2}^{-1/y_{2}}\right),$

कहाँ $y_{1},y_{2}$ समूहों के भग्न आयाम हैं, $k_{B}$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, $T$ तापमान है, $W$ फुच्स स्थिरता अनुपात है, $\eta$ निरंतर चरण चिपचिपाहट है, और $\gamma$ उत्पाद कर्नेल का प्रतिपादक है, जिसे आमतौर पर एक फिटिंग पैरामीटर माना जाता है। बादल के लिए, बादल कणों के जमाव के लिए कर्नेल को आमतौर पर इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$K=\pi [r(x_{1})+r(x_{2})]^{2}|v(x_{1})-v(x_{2})|E_{coll}(x_{1},x_{2}),$ कहाँ $r(x)$ और $v(x)$ बादल के कणों की त्रिज्या और गिरने की गति को आमतौर पर शक्ति कानून का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।

आम तौर पर इस तरह के भौतिक यथार्थवादी गुठली से उत्पन्न जमावट समीकरण हल करने योग्य नहीं होते हैं, और इस तरह, संख्यात्मक विश्लेषण के लिए अपील करना आवश्यक है। अधिकांश नियतात्मक विधियों का उपयोग तब किया जा सकता है जब ब्याज की केवल एक कण संपत्ति (x) हो, दो प्रमुख हैं क्षणों की विधि (संभाव्यता सिद्धांत) और अनुभागीय तरीके। बहुभिन्नरूपी कैलकुलस | बहुभिन्नरूपी मामले में, हालांकि, जब दो या दो से अधिक गुण (जैसे आकार, आकार, संरचना, आदि) पेश किए जाते हैं, तो किसी को विशेष सन्निकटन विधियों की तलाश करनी होती है जो आयामीता के अभिशाप से कम पीड़ित होती हैं। गॉसियन रेडियल आधार कार्यों के आधार पर सन्निकटन को एक से अधिक आयामों में जमावट समीकरण पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है। जब समाधान की सटीकता प्राथमिक महत्व की नहीं है, मोंटे कार्लो विधि | स्टोकेस्टिक कण (मोंटे कार्लो) विधियां एक आकर्षक विकल्प हैं।

संक्षेपण-संचालित एकत्रीकरण

एकत्रीकरण के अलावा, कण संघनन, निक्षेपण या द्वारा आकार में भी बढ़ सकते हैं अभिवृद्धि। हसन और हसन ने हाल ही में एक संक्षेपण-संचालित एकत्रीकरण (सीडीए) मॉडल का प्रस्ताव किया है जिसमें एकत्रीकरण कण टकराव पर विलय के बीच लगातार बढ़ते रहते हैं। सीडीए मॉडल को निम्नलिखित प्रतिक्रिया योजना द्वारा समझा जा सकता है

$A_{x}(t)+A_{y}(t){\stackrel {v(x,t)}{\longrightarrow }}A_{(\alpha +1)(x+y)}(t+\tau ),$

कहाँ $A_{x}(t)$ आकार के योग को दर्शाता है $x$ समय पर $t$ और $\tau$ बीता हुआ समय है। इस प्रतिक्रिया योजना को निम्नलिखित सामान्यीकृत स्मोलुचोव्स्की समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है

${\Big [}{{\partial } \over {\partial t}}+{{\partial } \over {\partial x}}v(x,t){\Big ]}n(x,t)=-n(x,t)\int _{0}^{\infty }K(x,y)n(y,t)dy+{{1} \over {2}}\int _{0}^{x}dyK(y,x-y)n(y,t)n(x-y,t).$

आकार का एक कण मानते हुए $x$ टक्कर के समय के बीच संघनन के कारण बढ़ता है $\tau (x)$ के व्युत्क्रम के बराबर $\int _{0}^{\infty }K(x,y)n(y,t)dy$ एक राशि से $\alpha x$ अर्थात।

$v(x,t)={{\alpha x} \over {\tau (x)}}=\alpha x\int _{0}^{\infty }dyK(x,y)n(y,t).$

निरंतर कर्नेल देने के लिए कोई भी सामान्यीकृत स्मोलुचोव्स्की समीकरण को हल कर सकता है

$n(x,t)\sim t^{-(2+2\alpha )}e^{-{{x} \over {t^{1+2\alpha }}}},$

जो गतिशील स्केलिंग प्रदर्शित करता है। एक साधारण भग्न विश्लेषण से पता चलता है कि संक्षेपण-संचालित एकत्रीकरण को आयाम के भग्न का सबसे अच्छा वर्णन किया जा सकता है

$d_{f}={{1} \over {1+2\alpha }}.$

$d_{f}$वें> वें क्षण $n(x,t)$ हमेशा एक संरक्षित मात्रा होती है जो डायनेमिक स्केलिंग के सभी घातांकों को ठीक करने के लिए जिम्मेदार होती है। ऐसा संरक्षण नियम कैंटर सेट में भी पाया गया है।

यह भी देखें

• आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत)|आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध
• फ्लोकुलेशन
• स्मोलुचोव्स्की कारक
• विलियम्स स्प्रे समीकरण