आव्यूह ज्यामितीय विधि

संभाव्यता सिद्धांत में, मैट्रिक्स ज्यामितीय विधि अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के विश्लेषण के लिए एक विधि है, निरंतर-समय मार्कोव श्रृंखला जिसका संक्रमण दर आव्यूह एक दोहरावदार ब्लॉक संरचना के साथ होता है। इस पद्धति का विकास बड़े पैमाने पर मार्सेल एफ. न्यूट्स और उनके छात्रों द्वारा 1975 के आसपास शुरू किया गया था।

विधि विवरण

इस विधि को निम्न प्रकार से त्रिकोणीय मैट्रिक्स ब्लॉक संरचना के साथ एक संक्रमण दर मैट्रिक्स की आवश्यकता होती है

$Q={\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&A_{1}&A_{2}\\&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}$

जहां प्रत्येक बी₀₀, बी₀₁, बी₁₀, ए₀, ए₁ और ए₂ आव्यूह हैं। स्थिर वितरण π लेखन π Q = 0 की गणना करने के लिए उप-वैक्टर π के लिए संतुलन समीकरणों पर विचार किया जाता है_i

${\begin{aligned}\pi _{0}B_{00}+\pi _{1}B_{10}&=0\\\pi _{0}B_{01}+\pi _{1}A_{1}+\pi _{2}A_{0}&=0\\\pi _{1}A_{2}+\pi _{2}A_{1}+\pi _{3}A_{0}&=0\\&\vdots \\\pi _{i-1}A_{2}+\pi _{i}A_{1}+\pi _{i+1}A_{0}&=0\\&\vdots \\\end{aligned}}$

गौर कीजिए कि संबंध

$\pi _{i}=\pi _{1}R^{i-1}$

रखता है जहां आर न्यूट की दर मैट्रिक्स है, जिसकी गणना संख्यात्मक रूप से की जा सकती है। इसका प्रयोग करके हम लिखते हैं

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\pi _{0}&\pi _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&A_{1}+RA_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

जिसे π खोजने के लिए हल किया जा सकता है₀ और π₁ और इसलिए क्रमिक रूप से सभी π_i.

== आर == की गणना

चक्रीय कमी का उपयोग करके मैट्रिक्स आर की गणना की जा सकती है या लघुगणकीय कमी।

मैट्रिक्स विश्लेषणात्मक विधि

Main article: Matrix analytic method

मैट्रिक्स विश्लेषणात्मक विधि मैट्रिक्स ज्यामितीय समाधान विधि का एक अधिक जटिल संस्करण है जिसका उपयोग ब्लॉक M/G/1 क्यू | M/G/1 मैट्रिसेस के साथ मॉडल का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। ऐसे मॉडल कठिन हैं क्योंकि π जैसा कोई संबंध नहीं है_i= पी₁आर^i – 1 उपरोक्त होल्ड का उपयोग किया गया है।

बाहरी संबंध

• Performance Modelling and Markov Chains (part 2) by William J. Stewart at 7th International School on Formal Methods for the Design of Computer, Communication and Software Systems: Performance Evaluation