अनिसोट्रोपिक प्रसार

Not to be confused with विषमदैशिक निस्यंदन.

प्रतिबिंब प्रक्रमण और कंप्यूटर दृष्टि में, विषमदैशिक विसरण, जिसे पेरोना-मलिक विसरण भी कहा जाता है, प्रतिबिंब पदार्थ के महत्वपूर्ण भागों को हटाए बिना प्रतिबिंब रव को कम करने के उद्देश्य से एक तकनीक है, सामान्यतः किनारों, रेखाओं या अन्य विवरण जो प्रतिबिंब की व्याख्या के लिए महत्वपूर्ण हैं । विषमदैशिक विसरण उस प्रक्रिया से मिलता-जुलता है जो एक माप समष्टि बनाता है, जहां एक प्रतिबिंब विसरण प्रक्रिया के आधार पर क्रमिक रूप से अधिक से अधिक धुंधली प्रतिबिंबों का एक पैरामीटरयुक्त वर्ग उत्पन्न करती है। इस वर्ग में परिणामी प्रतिबिंबों में से प्रत्येक को प्रतिबिंब और एक 2डी समदैशिक गाऊसी निस्यंदक के बीच एक संवलन के रूप में दिया गया है, जहां पैरामीटर के साथ निस्यंदक की चौड़ाई बढ़ जाती है। यह विसरण प्रक्रिया मूल प्रतिबिंब का एक रैखिक और समष्टि-अपरिवर्तनीय परिवर्तन है। विषमदैशिक विसरण इस विसरण प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण है: यह पैरामिट्रीकृत प्रतिबिंबों के एक वर्ग का उत्पादन करता है, परन्तु प्रत्येक परिणामी प्रतिबिंब मूल प्रतिबिंब और एक निस्यंदक के बीच एक संयोजन है जो मूल प्रतिबिंब की स्थानीय पदार्थ पर निर्भर करता है। परिणामस्वरूप, विषमदैशिक विसरण मूल प्रतिबिंब का एक गैर-रैखिक और समष्टि-भिन्न परिवर्तन है।

1987 में पीटर पेरोना और जितेंद्र मलिक द्वारा प्रस्तुत अपने मूल सूत्रीकरण में, समष्टि- परिवर्त निस्यंदक वस्तुतः समदैशिक है, परन्तु प्रतिबिंब पदार्थ पर निर्भर करता है जैसे कि यह किनारों और अन्य संरचनाओं के निकट एक आवेग फलन का अनुमान लगाता है जिसे परिणामी माप समष्टि के विभिन्न स्तरों पर प्रतिबिंब में संरक्षित किया जाना चाहिए। इस सूत्रीकरण को पेरोना और मलिक द्वारा विषमदैशिक विसरण के रूप में संदर्भित किया गया था, यद्यपि स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक समदैशिक है, परन्तु इसे अन्य लेखकों द्वारा अमानवीय और गैर-रैखिक विसरण या पेरोना-मलिक विसरण के रूप में भी संदर्भित किया गया है। एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक को किनारों या रेखाओं जैसे रैखिक संरचनाओं के निकट उचित रूप में विषमदैशिक होने की अनुमति देता है: इसकी संरचना द्वारा दिया गया एक अभिविन्यास है जैसे कि यह संरचना के साथ लम्बी और संकरी होती है। इस प्रकार की विधियों को सजातीय आकार अनुकूलन सुसंगतता बढ़ाने वाले प्रसार के रूप में संदर्भित किया जाता है। परिणामस्वरूप, परिणामी प्रतिबिंब रैखिक संरचनाओं को संरक्षित करती हैं जबकि एक ही समय में इन संरचनाओं के साथ मृदुलन की जाती है। इन दोनों स्थितियों को सामान्य विसरण समीकरण के सामान्यीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है जहां विसरण गुणांक, स्थिर अदिश होने के अतिरिक्त, प्रतिबिंब स्थिति का एक फलन है और एक आव्यूह (गणित) (या टेन्सर ) मान (संरचना टेंसर देखें) मानता है।

यद्यपि प्रतिबिंबों के परिणामी वर्ग को मूल प्रतिबिंब और समष्टि- परिवर्त निस्यंदक के बीच संयोजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है, स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक और प्रतिबिंब के साथ इसके संयोजन को अभ्यास में महसूस नहीं किया जाना चाहिए। विषमदैशिक विसरण सामान्य रूप से सामान्यीकृत विसरण समीकरण के सन्निकटन के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है: वर्ग में प्रत्येक नई प्रतिबिंब की गणना इस समीकरण को पिछली प्रतिबिंब पर लागू करके की जाती है। नतीजतन, विषमदैशिक विसरण एक पुनरावृत्त प्रक्रिया है जहां गणना का एक अपेक्षाकृत सरल सेट वर्ग में प्रत्येक क्रमिक प्रतिबिंब की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है और यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि पर्याप्त मात्रा में मृदुलन प्राप्त नहीं हो जाती।

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से, चलो $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ विमान के एक सबसेट को निरूपित करें और $I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ ग्रे माप इमेज का वर्ग बनें। प्रारंभिक_शर्त |$I(\cdot ,0)$इनपुट प्रतिबिंब है। फिर विषमदैशिक विसरण को इस रूप में परिभाषित किया गया है

${\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(x,y,t)\nabla I\right)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\,\Delta I$

कहाँ $\Delta$ लाप्लासियन को दर्शाता है, $\nabla$ ढाल को दर्शाता है, $\operatorname {div} (\cdots )$ विचलन ऑपरेटर है और $c(x,y,t)$ विसरण गुणांक है।

के लिए $t>0$, आउटपुट प्रतिबिंब के रूप में उपलब्ध है $I(\cdot ,t)$, बड़े के साथ $t$ धुंधली प्रतिबिंब बनाना।

$c(x,y,t)$ विसरण की दर को नियंत्रित करता है और सामान्यतः प्रतिबिंब ढाल के फलन के रूप में चुना जाता है ताकि प्रतिबिंब में किनारों को संरक्षित किया जा सके। पिएत्रो पेरोना और जितेंद्र मलिक ने 1990 में विषमदैशिक विसरण के विचार को आगे बढ़ाया और विसरण गुणांक के लिए दो फलन प्रस्तावित किए:

$c\left(\|\nabla I\|\right)=e^{-\left(\|\nabla I\|/K\right)^{2}}$

और

$c\left(\|\nabla I\|\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {\|\nabla I\|}{K}}\right)^{2}}}$

निरंतर K किनारों की संवेदनशीलता को नियंत्रित करता है और सामान्यतः प्रयोगात्मक रूप से या प्रतिबिंब में रव के फलन के रूप में चुना जाता है।

प्रेरणा

होने देना $M$ चिकनी प्रतिबिंबों के कई गुना निरूपित करें, तो ऊपर प्रस्तुत विसरण समीकरणों को ऊर्जा कार्यात्मकता को कम करने के लिए ढाल वंश समीकरणों के रूप में व्याख्या की जा सकती है $E:M\rightarrow \mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित

$E[I]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx$

कहाँ $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो विसरण गुणांक से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। फिर किसी भी प्रकार से समर्थित असीम रूप से भिन्न परीक्षण फलन के लिए $h$,

${\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\[5pt]&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\[5pt]&=-\int _{\Omega }\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}$

जहां अंतिम पंक्ति भागों द्वारा बहुआयामी एकीकरण से होती है। दे $\nabla E_{I}$ के संबंध में E की प्रवणता निरूपित करें $L^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )$ आंतरिक उत्पाद I पर मूल्यांकन किया गया, यह देता है

$\nabla E_{I}=-\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)$

इसलिए, कार्यात्मक ई पर ग्रेडिएंट डिसेंट समीकरण द्वारा दिए गए हैं

${\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)$

इस प्रकार दे कर $c=g'$ विषमदैशिक विसरण समीकरण प्राप्त होते हैं।

नियमितीकरण

विसरण गुणांक, $c(x,y,t)$, जैसा कि पेरोना और मलिक द्वारा प्रस्तावित किया गया है, जब अस्थिरता हो सकती है $\|\nabla I\|^{2}>K^{2}$। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यह स्थिति भौतिक विसरण गुणांक के समतुल्य है (जो पेरोना और मलिक द्वारा परिभाषित गणितीय विसरण गुणांक से भिन्न है) नकारात्मक हो रहा है और यह पिछड़े विसरण की ओर जाता है जो प्रतिबिंब की तीव्रता के विपरीत को बढ़ाता है अतिरिक्त उन्हें चिकना करने के। समस्या से बचने के लिए, नियमितीकरण आवश्यक है और लोगों ने दिखाया है कि स्थानिक नियमितीकरण अभिसरण और निरंतर स्थिर-राज्य समाधान की ओर ले जाता है।

इसके लिए संशोधित पेरोना-मलिक मॉडल में से एक(जिसे पी-एम समीकरण के नियमितीकरण के रूप में भी जाना जाता है) पर चर्चा की जाएगी। इस दृष्टिकोण में, संशोधित पेरोना-मलिक समीकरण प्राप्त करने के लिए अज्ञात को गैर-रैखिकता के अंदर एक गॉसियन के साथ जोड़ा जाता है।

${\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(|\nabla (G_{\sigma }*I)|^{2})\nabla I\right)$

कहाँ $G_{\sigma }=C\sigma ^{-1/2}\exp \left(-|x|^{2}/4\sigma \right)$।

इस नियमितीकरण से समीकरण की अच्छी स्थिति प्राप्त की जा सकती है परन्तु यह धुंधला प्रभाव भी पेश करता है, जो नियमितीकरण का मुख्य दोष है। रव के स्तर का पूर्व ज्ञान आवश्यक है क्योंकि नियमितीकरण पैरामीटर का चुनाव इस पर निर्भर करता है।

अनुप्रयोग

विषमदैशिक विसरण का उपयोग किनारों को धुंधला किए बिना डिजिटल प्रतिबिंबों से रव को दूर करने के लिए किया जा सकता है। एक निरंतर विसरण गुणांक के साथ, विषमदैशिक विसरण समीकरण गर्मी समीकरण को कम करते हैं जो गॉसियन ब्लरिंग के बराबर है। यह रव को दूर करने के लिए आदर्श है, परन्तु अंधाधुंध रूप से किनारों को भी धुंधला कर देता है। जब विसरण गुणांक को किनारे से बचने वाले फलन के रूप में चुना जाता है, जैसे कि पेरोना-मलिक में, परिणामी समीकरण चिकनी प्रतिबिंब तीव्रता के क्षेत्रों के भीतर विसरण (इसलिए मृदुलन) को प्रोत्साहित करते हैं और इसे मजबूत किनारों पर दबा देते हैं। इसलिए प्रतिबिंब से रव को दूर करते हुए किनारों को संरक्षित किया जाता है।

रव हटाने के समान लाइनों के साथ, विषमदैशिक विसरण का उपयोग एज डिटेक्शन एल्गोरिदम में किया जा सकता है। पुनरावृत्तियों की एक निश्चित संख्या के लिए विसरण गुणांक की मांग करने वाले किनारे के साथ विसरण को चलाकर, प्रतिबिंब को किनारों के रूप में पहचाने जाने वाले निरंतर घटकों के बीच की सीमाओं के साथ एक टुकड़े की स्थिर प्रतिबिंब की ओर विकसित किया जा सकता है।

यह भी देखें

• द्विपक्षीय निस्यंदक
• किनारे का पता लगाना
• एज-प्रोटेक्टिंग स्मूथिंग
• ऊष्मा समीकरण
• प्रतिबिंब रव
• रव में कमी
• माप समष्टि
• कुल भिन्नता denoising
• परिबद्ध भिन्नता

बाहरी संबंध

• Mathematica PeronaMalikFilter function।
• IDL nonlinear anisotropic diffusion package(edge enhancing and coherence enhancing): [1]