वानियर कार्य

पैलेडियम नाइट्राइड में ट्रिपल- और सिंगल-बॉन्डेड नाइट्रोजन डिमर के वानियर कार्य।

वानियर फ़ंक्शंस ठोस-राज्य भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन का एक पूरा सेट है। उन्हें 1937 में ग्रेगरी वन्नियर द्वारा पेश किया गया था। वेनियर फ़ंक्शंस क्रिस्टलीय सिस्टम के स्थानीयकृत आणविक ऑर्बिटल्स हैं।

एक क्रिस्टल में विभिन्न जालक स्थलों के लिए वानियर कार्य ऑर्थोगोनल हैं, जो कुछ व्यवस्थाओं में इलेक्ट्रॉन राज्यों के विस्तार के लिए एक सुविधाजनक आधार की अनुमति देता है। Wannier फलन का व्यापक उपयोग पाया गया है, उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉनों पर कार्य करने वाली बाध्यकारी शक्तियों के विश्लेषण में; 2006 में इंसुलेटर में घातीय कार्यात्मक रूप से स्थानीयकृत वानियर कार्यों का अस्तित्व सिद्ध हुआ था। विशेष रूप से, इन कार्यों का उपयोग एक्सिटन्स और संघनित रिडबर्ग पदार्थ के विश्लेषण में भी किया जाता है।

परिभाषा

बेरियम टाइटेनेट (BaTiO3) में टाइटेनियम के स्थानीयकृत वेनियर फ़ंक्शन का उदाहरण

हालांकि, स्थानीयकृत आणविक कक्षाओं की तरह, वानियर कार्यों को कई अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है, मूल,ठोस-अवस्था भौतिकी में सबसे सरल और सबसे आम परिभाषा इस प्रकार है। एक पूर्ण क्रिस्टल में एकल इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना चुनें, और इसके बलोच राज्यों को निरूपित करें

$\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$

जहां तुम_k(r) का आवर्तकाल क्रिस्टल के समान होता है। तब Wannier कार्यों द्वारा परिभाषित किया गया है

$\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$,

कहाँ

• आर कोई जाली वेक्टर है (यानी, प्रत्येक ब्रावाइस जाली के लिए एक वानियर फ़ंक्शन है);
• एन क्रिस्टल में आदिम कोशिकाओं की संख्या है;
• K पर योग में Brillouin ज़ोन (या पारस्परिक जाली के किसी अन्य आदिम सेल) में k के सभी मान शामिल हैं जो क्रिस्टल पर आवधिक सीमा स्थितियों के अनुरूप हैं। इसमें 'N k के विभिन्न मान शामिल हैं, जो Brillouin ज़ोन के माध्यम से समान रूप से फैले हुए हैं। चूंकि 'एन' आमतौर पर बहुत बड़ा होता है, योग को प्रतिस्थापन नियम के अनुसार एक अभिन्न के रूप में लिखा जा सकता है:

$\sum _{\mathbf {k} }\longrightarrow {\frac {N}{\Omega }}\int _{\text{BZ}}d^{3}\mathbf {k}$

जहां BZ ब्रिलौइन ज़ोन को दर्शाता है, जिसका आयतन Ω है।

गुण

इस परिभाषा के आधार पर, निम्नलिखित गुणों को धारण करना सिद्ध किया जा सकता है:

• किसी भी जाली वेक्टर R' के लिए,

$\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )=\phi _{\mathbf {R} +\mathbf {R} '}(\mathbf {r} +\mathbf {R} ')$

दूसरे शब्दों में, एक वानियर फ़ंक्शन केवल मात्रा (आर - आर) पर निर्भर करता है। नतीजतन, इन कार्यों को अक्सर वैकल्पिक संकेतन में लिखा जाता है

$\phi (\mathbf {r} -\mathbf {R} ):=\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )$

• बलोच कार्यों को वन्नियर कार्यों के संदर्भ में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

$\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )$,

जहां योग क्रिस्टल में प्रत्येक जाली सदिश R के ऊपर है।

• वेवफंक्शन का सेट $\phi _{\mathbf {R} }$ विचाराधीन बैंड के लिए एक अलौकिक आधार है।

${\begin{aligned}\int _{\text{crystal}}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )^{*}\phi _{\mathbf {R'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} &={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }\int _{\text{crystal}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )^{*}e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\psi _{\mathbf {k'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\delta _{\mathbf {k,k'} }\\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {(R-R')} }\\&=\delta _{\mathbf {R,R'} }\end{aligned}}$

Wannier फ़ंक्शंस को लगभग आवधिक क्षमता तक भी बढ़ाया गया है।

स्थानीयकरण

बलोच ψ बताता है_k(आर) एक विशेष हैमिल्टनियन के eigenfunctions के रूप में परिभाषित किया गया है, और इसलिए केवल एक समग्र चरण तक परिभाषित किया गया है। एक चरण परिवर्तन 'ई' लागू करके^iθ('k') कार्यों ψ के लिए_k(आर), किसी भी (वास्तविक) समारोह θ(के) के लिए, एक समान रूप से मान्य विकल्प पर आता है। जबकि बलोच राज्यों के गुणों के लिए परिवर्तन का कोई परिणाम नहीं है, इस परिवर्तन से संबंधित वानियर फ़ंक्शन महत्वपूर्ण रूप से बदल गए हैं।

इसलिए वनियर कार्यों का सबसे सुविधाजनक सेट देने के लिए बलोच राज्यों के चरणों को चुनने के लिए स्वतंत्रता का उपयोग किया जाता है। व्यवहार में, यह आमतौर पर अधिकतम-स्थानीयकृत सेट होता है, जिसमें वानियर कार्य करता है ϕ_R बिंदु R के आसपास स्थानीयकृत है और तेजी से R से दूर शून्य तक जाता है। एक आयामी मामले के लिए, यह कोह्न द्वारा सिद्ध किया गया है कि हमेशा एक अनूठा विकल्प होता है जो इन गुणों को देता है (कुछ समरूपताओं के अधीन)। इसके परिणामस्वरूप उच्च आयामों में किसी भी वियोज्य आंशिक अंतर समीकरण पर लागू होता है; सामान्य स्थितियां स्थापित नहीं हैं, और चल रहे शोध का विषय हैं।

एक स्थानीयकृत आणविक ऑर्बिटल्स # पिपेक-मेज़ी | पिपेक-मेज़ी शैली स्थानीयकरण योजना को भी हाल ही में वानियर कार्यों को प्राप्त करने के लिए प्रस्तावित किया गया है। अधिकतम रूप से स्थानीयकृत वेनियर फ़ंक्शंस के विपरीत (जो स्थानीयकृत आणविक ऑर्बिटल्स#फ़ोस्टर-बॉयज़|फ़ोस्टर-बॉयज़ स्कीम टू क्रिस्टलाइन सिस्टम्स का एक अनुप्रयोग है), पिपेक-मेज़े वेनियर फ़ंक्शंस σ और π ऑर्बिटल्स को नहीं मिलाते हैं।

ध्रुवीकरण का आधुनिक सिद्धांत

Wannier फ़ंक्शंस ने हाल ही में क्रिस्टल में ध्रुवीकरण घनत्व का वर्णन करने में आवेदन पाया है, उदाहरण के लिए, फेरोबिजली ध्रुवीकरण का आधुनिक सिद्धांत राफेल रेस्टा और डेविड वेंडरबिल्ट द्वारा अग्रणी है। उदाहरण के लिए देखें, बर्घोल्ड, और नख्मनसन, और वेंडरबिल्ट द्वारा एक पावर-प्वाइंट परिचय। एक ठोस में प्रति यूनिट सेल ध्रुवीकरण को वानियर चार्ज घनत्व के द्विध्रुवीय पल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

$\mathbf {p_{c}} =-e\sum _{n}\int \ d^{3}r\,\,\mathbf {r} |W_{n}(\mathbf {r} )|^{2}\ ,$

जहां योग कब्जे वाले बैंड पर है, और डब्ल्यू_nबैंड n के लिए सेल में स्थानीयकृत Wannier फ़ंक्शन है। निरंतर भौतिक प्रक्रिया के दौरान ध्रुवीकरण में परिवर्तन ध्रुवीकरण का समय व्युत्पन्न है और इसे कब्जे वाले बलोच राज्यों के बेरी चरण के संदर्भ में भी तैयार किया जा सकता है।

वानियर इंटरपोलेशन

Wannier फ़ंक्शंस का उपयोग अक्सर 'k'-पॉइंट्स के किसी मोटे ग्रिड पर किसी भी मनमाने 'k'-पॉइंट पर गणना किए गए बैंडस्ट्रक्चर को प्रक्षेपित करने के लिए किया जाता है। यह विशेष रूप से सघन ग्रिड पर ब्रिलौइन-ज़ोन इंटीग्रल के मूल्यांकन और वेइल पॉइंट की खोज के लिए उपयोगी है, और 'के'-स्पेस में डेरिवेटिव भी ले रहा है। यह दृष्टिकोण टाइट बाइंडिंग#कनेक्शन टू वनियर फ़ंक्शंस सन्निकटन के समान है, लेकिन इसके विपरीत एक निश्चित ऊर्जा सीमा में बैंड के सटीक विवरण की अनुमति देता है। स्पेक्ट्रल गुणों के लिए वानियर इंटरपोलेशन योजनाएं प्राप्त की गई हैं, हॉल प्रभाव#विषम हॉल प्रभाव, कक्षीय चुंबकीयकरण, थर्मोइलेक्ट्रिक और इलेक्ट्रॉनिक परिवहन गुण, <रेफरी नाम = कंप्यूटर भौतिकी संचार 2014 पीपी। 422–429 >Pizzi, Giovanni; Volja, Dmitri; Kozinsky, Boris; Fornari, Marco; Marzari, Nicola (2014-01-01). "BoltzWann: थर्मोइलेक्ट्रिक और इलेक्ट्रॉनिक ट्रांसपोर्ट प्रॉपर्टीज के मूल्यांकन के लिए एक कोड, अधिकतम-स्थानीयकृत Wannier फ़ंक्शन आधार के साथ". Computer Physics Communications. 185 (1): 422–429. arXiv:1305.1587. Bibcode:2014CoPhC.185..422P. doi:10.1016/j.cpc.2013.09.015. ISSN 0010-4655. S2CID 6140858. Retrieved 2020-07-13.</ref> मैग्नेटो-ऑप्टिक प्रभाव, रेफरी नाम = सिर्किन ब्रिज सूजा पी। >Tsirkin, Stepan S.; Puente, Pablo Aguado; Souza, Ivo (2018-01-29). "ट्राइगोनल टेल्यूरियम में जाइरोट्रोपिक प्रभावों का पहले सिद्धांतों से अध्ययन किया गया". Physical Review B. 97 (3): 035158. arXiv:1710.03204. Bibcode:2018PhRvB..97c5158T. doi:10.1103/physrevb.97.035158. ISSN 2469-9950. S2CID 55517213.</ref> विषम फोटोवोल्टिक प्रभाव, स्पिन हॉल प्रभाव

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यह भी देखें

• कक्षीय चुंबकीयकरण

अग्रिम पठन

• Karin M Rabe; Jean-Marc Triscone; Charles H Ahn (2007). Physics of Ferroelectrics: a Modern Perspective. Springer. p. 2. ISBN 978-3-540-34590-9.

बाहरी संबंध

• Wannier Gregory H (1937). "The Structure of Electronic Excitation Levels in Insulating Crystals". Physical Review. 52 (3): 191–197. Bibcode:1937PhRv...52..191W. doi:10.1103/PhysRev.52.191.
• Wannier90 computer code that calculates maximally localized Wannier functions
• Wannier Transport code that calculates maximally localized Wannier functions fit for Quantum Transport applications
• WannierTools: An open-source software package for novel topological materials
• WannierBerri - a python code for Wannier interpolation and tight-binding calculations

यह भी देखें

• बलोच प्रमेय
• हन्ने कोण
• ज्यामितीय चरण

श्रेणी:संघनित पदार्थ भौतिकी