दोलक शक्ति

स्पेक्ट्रोस्कोपी में, थरथरानवाला शक्ति एक आयाम रहित मात्रा है जो एक परमाणु या अणु के ऊर्जा स्तरों के बीच संक्रमण में अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) या विद्युत चुम्बकीय विकिरण के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम की संभावना को व्यक्त करती है। उदाहरण के लिए, यदि एक उत्सर्जक अवस्था में एक छोटी थरथरानवाला शक्ति होती है, तो स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन # विकिरण और गैर-विकिरण क्षय: क्वांटम दक्षता स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन # विकिरण और गैर-विकिरण क्षय से आगे निकल जाएगी: क्वांटम दक्षता। इसके विपरीत, उज्ज्वल संक्रमणों में बड़ी दोलक शक्ति होगी। थरथरानवाला शक्ति को क्वांटम यांत्रिक संक्रमण दर और संक्रमण के समान आवृत्ति वाले एकल इलेक्ट्रॉन थरथरानवाला के शास्त्रीय अवशोषण / उत्सर्जन दर के बीच के अनुपात के रूप में माना जा सकता है।

सिद्धांत

एक परमाणु या अणु प्रकाश को अवशोषित कर सकता है और संक्रमण से गुजर सकता है एक क्वांटम राज्य से दूसरे में।

थरथरानवाला ताकत $f_{12}$ एक निचली स्थिति से एक संक्रमण का $|1\rangle$ एक ऊपरी राज्य के लिए $|2\rangle$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

$f_{12}={\frac {2}{3}}{\frac {m_{e}}{\hbar ^{2}}}(E_{2}-E_{1})\sum _{\alpha =x,y,z}|\langle 1m_{1}|R_{\alpha }|2m_{2}\rangle |^{2},$

कहाँ $m_{e}$ एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $\hbar$ है कम प्लैंक स्थिरांक। क्वांटम बताता है $|n\rangle ,n=$ 1,2, को कई माना जाता है पतित उप-राज्य, जिनके द्वारा लेबल किया जाता है $m_{n}$. पतित का अर्थ है कि उन सभी में समान ऊर्जा है $E_{n}$. परिचालक $R_{x}$ x-निर्देशांकों का योग है $r_{i,x}$ के सभी $N$ सिस्टम में इलेक्ट्रॉन, आदि।:

$R_{\alpha }=\sum _{i=1}^{N}r_{i,\alpha }.$

थरथरानवाला शक्ति प्रत्येक उप-राज्य के लिए समान है $|nm_{n}\rangle$.

Rydberg स्थिरांक डालकर परिभाषा को फिर से तैयार किया जा सकता है ${\text{Ry}}$ और बोह्र त्रिज्या $a_{0}$

$f_{12}={\frac {E_{2}-E_{1}}{3\,{\text{Ry}}}}{\frac {\sum _{\alpha =x,y,z}|\langle 1m_{1}|R_{\alpha }|2m_{2}\rangle |^{2}}{a_{0}^{2}}}.$

मामले में मैट्रिक्स के तत्व $R_{x},R_{y},R_{z}$ समान हैं, हम योग और 1/3 कारक से छुटकारा पा सकते हैं

$f_{12}=2{\frac {m_{e}}{\hbar ^{2}}}(E_{2}-E_{1})\,|\langle 1m_{1}|R_{x}|2m_{2}\rangle |^{2}.$

थॉमस-रीच-कुह्न योग नियम

सातत्य स्पेक्ट्रम से संबंधित राज्यों के लिए पिछले खंड के समीकरणों को लागू करने के लिए, उन्हें संवेग के मैट्रिक्स तत्वों के संदर्भ में फिर से लिखा जाना चाहिए ${\boldsymbol {p}}$. चुंबकीय क्षेत्र की अनुपस्थिति में, हैमिल्टन को इस रूप में लिखा जा सकता है $H={\frac {1}{2m}}{\boldsymbol {p}}^{2}+V({\boldsymbol {r}})$, और एक कम्यूटेटर की गणना $[H,x]$ के eigenfunctions के आधार पर $H$ मैट्रिक्स तत्वों के बीच संबंध में परिणाम

$x_{nk}=-{\frac {i\hbar /m}{E_{n}-E_{k}}}(p_{x})_{nk}.$.

अगला, कम्यूटेटर के मैट्रिक्स तत्वों की गणना $[p_{x},x]$ उसी आधार पर और के मैट्रिक्स तत्वों को समाप्त करना $x$, हम पहुँचते हैं

$\langle n|[p_{x},x]|n\rangle ={\frac {2i\hbar }{m}}\sum _{k\neq n}{\frac {|\langle n|p_{x}|k\rangle |^{2}}{E_{n}-E_{k}}}.$

क्योंकि $[p_{x},x]=-i\hbar$उपरोक्त अभिव्यक्ति का परिणाम एक योग नियम में होता है

$\sum _{k\neq n}f_{nk}=1,\,\,\,\,\,f_{nk}=-{\frac {2}{m}}{\frac {|\langle n|p_{x}|k\rangle |^{2}}{E_{n}-E_{k}}},$

कहाँ $f_{nk}$ राज्यों के बीच क्वांटम संक्रमण के लिए थरथरानवाला ताकत हैं $n$ और $k$. यह थॉमस-रीच-कुह्न योग नियम है, और शब्द के साथ $k=n$ छोड़ दिया गया है क्योंकि सीमित प्रणालियों जैसे परमाणुओं या अणुओं में विकर्ण मैट्रिक्स तत्व $\langle n|p_{x}|n\rangle =0$ हैमिल्टनियन के समय व्युत्क्रम समरूपता के कारण $H$. इस शब्द को बाहर करने से लुप्त होने वाले भाजक के कारण विचलन समाप्त हो जाता है।

योग नियम और क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉन प्रभावी द्रव्यमान

क्रिस्टल में, इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा स्पेक्ट्रम में एक बैंड संरचना होती है $E_{n}({\boldsymbol {p}})$. कम से कम एक आइसोटोपिक ऊर्जा बैंड के पास, इलेक्ट्रॉन ऊर्जा की शक्तियों में विस्तार किया जा सकता है ${\boldsymbol {p}}$ जैसा $E_{n}({\boldsymbol {p}})={\boldsymbol {p}}^{2}/2m^{*}$ कहाँ $m^{*}$ इलेक्ट्रॉन प्रभावी द्रव्यमान (ठोस अवस्था भौतिकी) है। इसे दिखाया जा सकता है कि यह समीकरण को संतुष्ट करता है

${\frac {2}{m}}\sum _{k\neq n}{\frac {|\langle n|p_{x}|k\rangle |^{2}}{E_{k}-E_{n}}}+{\frac {m}{m^{*}}}=1.$

यहां योग सभी बैंडों के साथ चलता है $k\neq n$. इसलिए, अनुपात $m/m^{*}$ मुक्त इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान का $m$ इसके प्रभावी द्रव्यमान के लिए $m^{*}$ एक क्रिस्टल में क्वांटम स्थिति से एक इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के लिए दोलक शक्ति के रूप में माना जा सकता है $n$ उसी अवस्था में बैंड।

यह भी देखें

• परमाणु वर्णक्रमीय रेखा
• क्वांटम यांत्रिकी में योग नियम
• इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना
• आइंस्टीन गुणांक