हॉसडॉर्फ विरोधाभास

हॉउसडॉर्फ विरोधाभास गणित में एक विरोधाभास है जिसका नाम फेलिक्स हॉसडॉर्फ के नाम पर रखा गया है। इसमें गोला शामिल है ${S^{2}}$ (तीन आयामी अंतरिक्ष में एक 3 आयामी क्षेत्र|${\mathbb {R} ^{3}}$). इसमें कहा गया है कि यदि एक निश्चित गणनीय सेट सबसेट को हटा दिया जाता है ${S^{2}}$, तो शेष को तीन असंयुक्त उपसमुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है ${A,B}$ और ${C}$ ऐसा है कि ${A,B,C}$ और ${B\cup C}$ सभी सर्वांगसमता (ज्यामिति) हैं। विशेष रूप से, यह इस प्रकार है $S^{2}$ कोई माप (गणित) नहीं है # सभी उपसमुच्चय पर परिभाषित सामान्यीकरण जैसे कि सर्वांगसम समुच्चय का माप बराबर है (क्योंकि इसका अर्थ यह होगा कि माप ${B\cup C}$ एक साथ है $1/3$, $1/2$, और $2/3$ पूरे गोले के गैर-शून्य माप का)।

पैराडॉक्स को 1914 में मैथमेटिसे एनालन में प्रकाशित किया गया था और उसी वर्ष हॉसडॉर्फ की पुस्तक, ग्रंडज़ुगे डेर मेंगेनलेह्रे में भी प्रकाशित किया गया था। अधिक प्रसिद्ध बानाच-टार्स्की विरोधाभास का प्रमाण हॉसडॉर्फ के विचारों का उपयोग करता है। इस विरोधाभास का प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है।

यह विरोधाभास दर्शाता है कि सभी उपसमुच्चयों पर परिभाषित गोले पर कोई परिमित योगात्मक माप नहीं है जो सर्वांगसम टुकड़ों पर बराबर हो। (हॉसडॉर्फ ने पहली बार एक ही पेपर में आसान परिणाम दिखाया था कि सभी उपसमुच्चय पर परिभाषित योगात्मक माप नहीं है।) एसओ (3) की संरचना यहां एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। – तल या रेखा पर कथन सत्य नहीं है। वास्तव में, जैसा कि बाद में स्टीफन बानाच द्वारा दिखाया गया था, यूक्लिडियन समतल (साथ ही वास्तविक रेखा पर लंबाई) में सभी बंधे हुए उपसमुच्चयों के लिए एक क्षेत्र को इस तरह से परिभाषित करना संभव है कि सर्वांगसम समुच्चयों का क्षेत्रफल बराबर हो। (यह बैनाच माप, हालांकि, केवल परिमित योगात्मक है, इसलिए यह पूर्ण अर्थों में एक माप (गणित) नहीं है, लेकिन यह सेट पर लेबेसेग माप के बराबर है जिसके लिए उत्तरार्द्ध मौजूद है।) इसका तात्पर्य है कि यदि दो खुले उपसमुच्चय विमान (या वास्तविक रेखा) बनच-तर्स्की विरोधाभास | समान-विघटनकारी हैं तो उनके पास समान क्षेत्र है।

यह भी देखें

• Banach–Tarski paradox
• Paradoxes of set theory

अग्रिम पठन

• Hausdorff, Felix (1914). "Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen". Mathematische Annalen. 75 (3): 428–434. doi:10.1007/bf01563735. S2CID 123243365. (Original article; in German)
• Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre (in Deutsch).

बाहरी संबंध

• Hausdorff Paradox on ProofWiki