लैंडवेबर सटीक फ़ंक्टर प्रमेय

गणित में, पीटर लैंडवेबर के नाम पर रखा गया लैंडवेबर स्पष्ट कारक प्रमेय, बीजगणितीय टोपोलॉजी में एक प्रमेय है। यह ज्ञात है कि समरूपता सिद्धांत का एक जटिल अभिविन्यास एक औपचारिक समूह नियम की ओर ले जाता है। लैंडवेबर स्पष्ट कारक प्रमेय (या शॉर्ट के लिए लेफ्ट ) को इस प्रक्रिया को उलटने के लिए एक विधि के रूप में देखा जा सकता है: यह एक औपचारिक समूह नियम से एक होमोलॉजी सिद्धांत का निर्माण करता है।

कथन

जटिल सह-बोर्डवाद का गुणांक वलय $MU_{*}(*)=MU_{*}\cong \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\dots ]$ है, जहां $x_{i}$ की डिग्री $2i$ है। यह श्रेणीबद्ध लाजार्ड वलय ${\mathcal {}}L_{*}$ के लिए आइसोमॉर्फिक है। इसका अर्थ यह है कि श्रेणीबद्ध वलय $R_{*}$ पर एक औपचारिक समूह लॉ F (डिग्री $-2$ का) देना एक श्रेणीबद्ध वलय मॉर्फिज़्म $L_{*}\to R_{*}$ देने के समान है। एक पूर्णांक $n>0$ द्वारा गुणा को आगमनात्मक रूप से एक शक्ति श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया गया है

$[n+1]^{F}x=F(x,[n]^{F}x)$ और $[1]^{F}x=x.$

चलो अब एफ एक वलय ${\mathcal {}}R_{*}$पर एक औपचारिक समूह नियम है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस X के लिए परिभाषित करें

$E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}R_{*}$

यहाँ $R_{*}$ इसे प्राप्त करता है $MU_{*}$एफ के माध्यम से बीजगणित संरचना। सवाल यह है: क्या ई एक होमोलॉजी सिद्धांत है? यह स्पष्ट रूप से एक होमोटॉपी इनवेरिएंट कारक है, जो छांटना पूरा करता है। समस्या यह है कि सामान्य रूप से टेंसवलय स्पष्ट अनुक्रमों को संरक्षित नहीं करता है। कोई इसकी मांग कर सकता है $R_{*}$ फ्लैट मॉड्यूल खत्म हो $MU_{*}$, लेकिन व्यवहार में यह बहुत शक्तिशाली होगा। पीटर लैंडवेबर ने एक और मानदंड पाया:

यहाँ $R_{*}$ अपना $MU_{*}$-बीजगणित संरचना F के माध्यम से प्राप्त करता है। प्रश्न यह है: क्या E एक समरूपता सिद्धांत है? यह स्पष्ट रूप से एक होमोटॉपी अचल कारक है, जो छांटना पूरा करता है। समस्या यह है कि सामान्य रूप से टेंसवलय स्पष्ट अनुक्रमों को संरक्षित नहीं करता है। कोई मांग कर सकता है कि {$R_{*}$ $MU_{*}$के ऊपर समतल हो, किंतु व्यवहार में यह बहुत शक्तिशाली होगा। पीटर लैंडवेबर ने एक और मानदंड पाया:

प्रमेय (लैंडवेबर स्पष्ट कारक प्रमेय)

प्रत्येक अभाज्य p के लिए, $v_{1},v_{2},\dots \in MU_{*}$ तत्व होते हैं, जैसे कि हमारे पास निम्नलिखित हैं: मान लीजिए कि $M_{*}$ एक श्रेणीबद्ध $MU_{*}$-मॉड्यूल और अनुक्रम $(p,v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ $M$ के लिए नियमित है, प्रत्येक p और n के लिए। तब

$E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M_{*}$

स.ग.-जटिल पर एक समरूपता सिद्धांत है।

विशेष रूप से, वलय $R$ पर प्रत्येक औपचारिक समूह नियम F ${\mathcal {}}MU_{*}$ पर एक मॉड्यूल उत्पन्न करता है, क्योंकि हम F के माध्यम से एक वलय आकारिकी $MU_{*}\to R$ प्राप्त करते हैं।

टिप्पणी

• ब्राउन-पीटरसन कोहोलॉजी बीपी के लिए एक संस्करण भी है। स्पेक्ट्रम बीपी गुणांक $\mathbb {Z} _{(p)}[v_{1},v_{2},\dots ]$ के साथ $MU_{(p)}$ का सीधा योग है। लेफ्ट का कथन सही रहता है यदि कोई अभाज्य p को ठीक करता है और MU के लिए BP को प्रतिस्थापित करता है।
• लेफ्ट का मौलिक प्रमाण लैंडवेबर-मोरावा अपरिवर्तनीय आदर्श प्रमेय का उपयोग करता है: $BP_{*}$ का एकमात्र प्रमुख आदर्श जो $BP_{*}BP$ के संयोजन के तहत अपरिवर्तनीय हैं, $I_{n}=(p,v_{1},\dots ,v_{n})$. यह केवल $BP_{*}/I_{n}$ के विरुद्ध समतलता की जाँच करने की अनुमति देता है (लैंडवेबर, 1976 देखें)।
• लेफ्ट को निम्न प्रकार से शक्तिशाली किया जा सकता है: मान लें कि ${\mathcal {E}}_{*}$लैंडवेबर स्पष्ट $MU_{*}$-मॉड्यूल और ${\mathcal {E}}$ की (होमोटॉपी) श्रेणी है। एमयू-मॉड्यूल स्पेक्ट्रा एम की श्रेणी जैसे कि $\pi _{*}M$ लैंडवेबर स्पष्ट है। तब कारक $\pi _{*}\colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}_{*}$ श्रेणियों का एक तुल्यता है। व्युत्क्रम कारक (बाएँ द्वारा दिया गया) ${\mathcal {}}MU_{*}$-बीजगणित को (समरूपता) MU-बीजगणित स्पेक्ट्रा में ले जाता है (देखें होवे, स्ट्रिकलैंड, 1999, Thm 2.7)।

उदाहरण

पुरातनपंथी और पहला ज्ञात (गैर-तुच्छ) उदाहरण टोपोलॉजिकल के-थ्योरी|कॉम्प्लेक्स के-थ्योरी के है। कॉम्प्लेक्स के-थ्योरी जटिल अभिविन्यास है और औपचारिक समूह नियम के रूप में है $x+y+xy$. संगत रूपवाद $MU_{*}\to K_{*}$ टोड जाति के रूप में भी जाना जाता है। हमारे पास तब एक समरूपता है

$K_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}K_{*},$

कोनर-फ्लोयड समरूपता कहा जाता है।

जबकि जटिल के-सिद्धांत का निर्माण पहले ज्यामितीय माध्यमों से किया गया था, कई होमोलॉजी सिद्धांतों का निर्माण सबसे पहले लैंडवेबर के स्पष्ट कारक प्रमेय के माध्यम से किया गया था। इसमें अण्डाकार समरूपता, जॉनसन-विल्सन सिद्धांत $E(n)$और ल्यूबिन-टेट स्पेक्ट्रा $E_{n}$ सम्मिलित हैं।

जबकि परिमेय गुणांक $H\mathbb {Q}$ के साथ समरूपता लैंडवेबर स्पष्ट है, पूर्णांक गुणांक $H\mathbb {Z}$ के साथ समरूपता लैंडवेबर स्पष्ट नहीं है। इसके अतिरिक्त मोरावा के-सिद्धांत K(n) लैंडवेबर स्पष्ट नहीं है।

आधुनिक सुधार

${\mathcal {}}MU_{*}$ पर एक मॉड्यूल M अर्ध-सुसंगत शीफ ${\mathcal {F}}$ के ऊपर ${\text{Spec }}L$ के समान है, जहां L लाजार्ड वलय है। यदि $M={\mathcal {}}MU_{*}(X)$ तो M के पास एक ${\mathcal {}}MU_{*}MU$ सहक्रिया का अतिरिक्त डेटा है। वलय लेवल पर एक सह-संयोजन इस बात से मेल खाता है कि ${\mathcal {F}}$ एक एफाइन ग्रुप स्कीम G की कार्रवाई के संबंध में एक समतुल्य शीफ है। यह क्विलेन का एक प्रमेय है कि $G\cong \mathbb {Z} [b_{1},b_{2},\dots ]$ और प्रत्येक वलय R को शक्ति श्रृंखला के समूह को असाइन करता है

$g(t)=t+b_{1}t^{2}+b_{2}t^{3}+\cdots \in R[[t]]$.

यह औपचारिक समूह नियम ${\text{Spec }}L(R)$ के माध्यम से काम करता है

$F(x,y)\mapsto gF(g^{-1}x,g^{-1}y)$.

ये केवल औपचारिक समूह नियमो के समन्वित परिवर्तन हैं। इसलिए, ढेर भागफल ${\text{Spec }}L//G$ की पहचान (1-आयामी) औपचारिक समूहों ${\mathcal {M}}_{fg}$ और के ढेर से की जा सकती है $M=MU_{*}(X)$ इस स्टैक पर अर्ध-सुसंगत शीफ परिभाषित करता है। अब यह देखना काफी आसान है कि यह पर्याप्त है कि एम एक अर्ध-सुसंगत शीफ ${\mathcal {F}}$ को परिभाषित करता है जो कि ${\mathcal {M}}_{fg}$ के ऊपर समतल है जिससे $MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M$एक समरूपता सिद्धांत है। लैंडवेबर स्पष्टता प्रमेय को तब ${\mathcal {M}}_{fg}$ के लिए समतलता मानदंड के रूप में व्याख्या किया जा सकता है (लूरी 2010 देखें)।

$E_{\infty }$-वलय स्पेक्ट्रा में परिशोधन

जबकि लेफ्ट को ${\mathcal {}}MU_{*}$से वलय स्पेक्ट्रा (होमोटॉपी) उत्पन्न करने के लिए जाना जाता है, यह समझने के लिए एक अधिक नाजुक प्रश्न है कि ये स्पेक्ट्रा वास्तव में $E_{\infty }$-वलय स्पेक्ट्रा हैं। 2010 तक, जैकब लूरी ने सबसे अच्छी प्रगति की थी। यदि X एक बीजगणितीय स्टैक है और $X\to {\mathcal {M}}_{fg}$स्टैक का एक सपाट नक्शा है, तो ऊपर की गई चर्चा से पता चलता है कि हमें X पर (होमोटॉपी) वलय स्पेक्ट्रा का प्रीशेफ़ मिलता है। यदि यह मानचित्र $M_{p}(n)$ (ऊंचाई n के 1-आयामी p-विभाज्य समूहों का ढेर) और मानचित्र$X\to M_{p}(n)$ पर निर्भर करता है। तो इस प्रीशेफ को $E_{\infty }$-वलय स्पेक्ट्रा के एक शीफ में परिष्कृत किया जा सकता है (गोएर्स देखें)। यह प्रमेय टोपोलॉजिकल मॉड्यूलर रूपों के निर्माण के लिए महत्वपूर्ण है।

जबकि लेफ्ट को ${\mathcal {}}MU_{*}$से वलय स्पेक्ट्रा (होमोटॉपी) उत्पन्न करने के लिए जाना जाता है, यह समझने के लिए एक अधिक नाजुक प्रश्न है कि ये स्पेक्ट्रा वास्तव में $E_{\infty }$-वलय स्पेक्ट्रा हैं। 2010 तक, जैकब

यह भी देखें

• रंगीन समरूपता सिद्धांत

संदर्भ

• Goerss, Paul. "Realizing families of Landweber exact homology theories" (PDF).
• Hovey, Mark; Strickland, Neil P. (1999), "Morava K-theories and localisation", Memoirs of the American Mathematical Society, 139 (666), doi:10.1090/memo/0666, MR 1601906, archived from the original on 2004-12-07
• Landweber, Peter S. (1976). "Homological properties of comodules over $MU_{*}(MU)$ and $BP_{*}(BP)$". American Journal of Mathematics. 98 (3): 591–610. doi:10.2307/2373808. JSTOR 2373808..
• Lurie, Jacob (2010). "Chromatic Homotopy Theory. Lecture Notes".