शून्य-उत्पाद संपत्ति

For शून्य कारकों का उत्पाद, see रिक्त उत्पाद.

बीजगणित में, शून्य-उत्पाद गुण बताती है कि दो शून्य तत्वों का उत्पाद गैर-शून्य है। दूसरे शब्दों में

, ${\text{if }}ab=0,{\text{ then }}a=0{\text{ or }}b=0.$

इस गुण को शून्य उत्पाद के नियम, अशक्त कारक नियम , शून्य के गुणन गुण, गैर-तुच्छ शून्य विभाजक के गैर-अस्तित्व, या दो शून्य-कारक गुणों में से एक के रूप में भी जाना जाता है। प्रारंभिक गणित में अध्ययन की गई सभी संख्या प्रणालियाँ — पूर्णांक $\mathbb {Z}$ परिमेय संख्याएँ $\mathbb {Q}$, वास्तविक संख्याएँ $\mathbb {R}$ और सम्मिश्र संख्याएँ $\mathbb {C}$— शून्य को संतुष्ट करती हैं- उत्पाद गुण सामान्यतः एक वलय जो शून्य-उत्पाद गुण को संतुष्ट करती है एक डोमेन कहलाती है।

बीजगणितीय संदर्भ

मान लीजिए $A$ एक बीजगणितीय संरचना है। हम पूछ सकते हैं कि क्या $A$ के पास शून्य-उत्पाद गुण है? इस प्रश्न का अर्थ होने के लिए, $A$ में योगात्मक संरचना और गुणात्मक संरचना दोनों होनी चाहिए। सामान्यतः कोई मानता है कि $A$ एक वलय है, चूँकि यह कुछ और भी हो सकता है, उदा सामान्य जोड़ और गुणा के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $\{0,1,2,\ldots \}$ का समुच्चय जो केवल एक (कम्यूटेटिव) सेमीरिंग है।

ध्यान दें कि यदि $A$ शून्य-उत्पाद गुण को संतुष्ट करता है और यदि $B$ , $A$ का उपसमुच्चय है, तो $B$ शून्य उत्पाद गुण को भी संतुष्ट करता है: यदि $a$ और $b$ के तत्व हैं जैसे कि $ab=0$, तो या तो $a=0$ या $b=0$ क्योंकि $a$ और $b$ को भी $A$ के अवयव माना जा सकता है।

उदाहरण

• एक वलय जिसमें शून्य-उत्पाद गुण धारण करता है एक डोमेन (वलय सिद्धांत) कहलाता है। एक इकाई तत्व तत्व के साथ एक क्रमविनिमेय वलय डोमेन को इंटीग्रल डोमेन कहा जाता है। कोई भी क्षेत्र (सार बीजगणित) एक अभिन्न डोमेन है; वास्तव में किसी क्षेत्र का कोई भी सबवलय एक अभिन्न डोमेन है (जब तक इसमें 1 सम्मिलित है) इसी तरह तिरछा क्षेत्र का कोई भी सबवलय एक डोमेन है। इस प्रकार शून्य-उत्पाद गुण तिरछा क्षेत्र के किसी भी सबवलय के लिए होती है।
• यदि $p$ एक अभाज्य संख्या है, तो मॉड्यूलर अंकगणितीय पूर्णांक मॉड्यूलो की वलय $p$ शून्य-उत्पाद गुण है (वास्तव में, यह एक क्षेत्र है)।
• गॉसियन पूर्णांक एक अभिन्न डोमेन हैं क्योंकि वे जटिल संख्याओं के उपसमूह हैं।
• चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र में शून्य-उत्पाद गुण रखती है। यह वलय एक पूर्णांकीय प्रांत नहीं है क्योंकि गुणन क्रमविनिमेय नहीं है।
• गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय $\{0,1,2,\ldots \}$ एक वलय नहीं है (इसके अतिरिक्त एक सेमिवलय है) किंतु यह शून्य-उत्पाद गुण को संतुष्ट करता है।

गैर-उदाहरण

• होने देना $\mathbb {Z} _{n}$ मॉड्यूलर अंकगणितीय पूर्णांक मॉडुलो $n$ की वलय को निरूपित करें तब $\mathbb {Z} _{6}$ शून्य उत्पाद गुण को संतुष्ट नहीं करता है: 2 और 3 गैर-शून्य तत्व हैं, फिर भी $2\cdot 3\equiv 0{\pmod {6}}$.
• सामान्यतः यदि $n$ एक समग्र संख्या है, तो $\mathbb {Z} _{n}$ शून्य-उत्पाद गुण को संतुष्ट नहीं करता है। अर्थात् यदि $n=qm$ जहां $0<q,m<n$ तो $m$ और
• $q$ शून्येतर सापेक्ष $n$ हैं फिर भी q$qm\equiv 0{\pmod {n}}$।
• पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ 2×2 आव्यूहों का वलय $\mathbb {Z} ^{2\times 2}$ शून्य-उत्पाद गुण को संतुष्ट नहीं करता है: यदि
  $$M={\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}}$$

और $N={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},$ तब

$$MN={\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}=0,$$

अभी तक न तो $M$ और न $N$ शून्य है।

• सभी कार्यों (गणित) की वलय $f:[0,1]\to \mathbb {R}$, इकाई अंतराल से वास्तविक संख्याओं तक, गैर-तुच्छ शून्य विभाजक हैं: ऐसे कार्यों के जोड़े हैं जो समान रूप से शून्य के समान नहीं हैं फिर भी जिनका उत्पाद शून्य कार्य है। वास्तव में, किसी भी n ≥ 2, फलन के लिए रचना करना कठिन नहीं है $f_{1},\ldots ,f_{n}$, इनमें से कोई भी समान रूप से शून्य नहीं है, जैसे कि $f_{i}\,f_{j}$ समान रूप से शून्य जब भी है $i\neq j$.
• वही सच है भले ही हम केवल निरंतर कार्यों पर विचार करें या केवल असीमित चिकनी कार्यों पर भी विचार करें। दूसरी ओर, विश्लेषणात्मक कार्य में शून्य-उत्पाद गुण होती है।

बहुपदों की जड़ें खोजने के लिए आवेदन

मान लीजिए कि $P$ और $Q$ वास्तविक गुणांक वाले अविभाज्य बहुपद हैं, और $x$ एक वास्तविक संख्या है जैसे कि$P(x)Q(x)=0$ (वास्तव में, हम गुणांक और $x$ को किसी भी अभिन्न डोमेन से आने की अनुमति दे सकते हैं।) शून्य-उत्पाद संपत्ति से, यह निम्नानुसार है कि या तो $P(x)=0$ या $Q(x)=0$ दूसरे शब्दों में, $PQ$की जड़ें $Q$ की जड़ों के साथ मिलकर $P$ की जड़ें हैं।

इस प्रकार, एक बहुपद की जड़ों को खोजने के लिए गुणनखंडन का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, बहुपद $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ , $(x-3)(x-1)(x+2)$ इसलिए, इसके मूल ठीक 3, 1 और -2 हैं।

सामान्यतः, मान लें कि $R$ एक अभिन्न डोमेन है और $f$, $R$ में गुणांक के साथ डिग्री $d\geq 1$ का एक मोनिक यूनीवेरिएट बहुपद है। मान लीजिए कि $f$ की $d$अलग जड़ें हैं $r_{1},\ldots ,r_{d}\in R$ यह इस प्रकार है (लेकिन हम यहां साबित नहीं करते हैं) कि $f$ के रूप में गुणनखंड करता है

$f(x)=(x-r_{1})\cdots (x-r_{d})$ शून्य-उत्पाद संपत्ति द्वारा, यह अनुसरण करता है कि $r_{1},\ldots ,r_{d}$ $f$ की एकमात्र जड़ें हैं: $f$ की कोई भी जड़ कुछ $i$ के लिए $(x-r_{i})$ की जड़ होनी चाहिए। विशेष रूप से $f$ के अधिक से अधिक $d$ भिन्न मूल होते हैं।

यदि फिर भी $R$ एक पूर्णांकीय प्रांत नहीं है, तो निष्कर्ष को धारण करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, घन बहुपद $x^{3}+3x^{2}+2x$ की $\mathbb {Z} _{6}$ में छह जड़ें हैं (चूँकि $\mathbb {Z}$ में इसकी केवल तीन जड़ें हैं)

डोमेन से आने की अनुमति दे सकते हैं।) शून्य-उत्पाद संपत्ति से, यह निम्नानुसार है कि या तो $P(x)=0$ या $Q(x)=0$ दूसरे शब्दों में, $PQ$की जड़ें $Q$ की जड़ों के साथ मिलकर $P$ की जड़ें हैं।

यह भी देखें

• बीजगणित का मौलिक प्रमेय
• इंटीग्रल डोमेन और डोमेन (वलय थ्योरी)
• प्रधान आदर्श
• शून्य भाजक

संदर्भ

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra (3d ed.), Wiley, 2003, ISBN 0-471-43334-9.

बाहरी संबंध

• PlanetMath: Zero rule of product