मूर स्पेस (टोपोलॉजी)

गणित में, अधिक विशेष रूप से बिंदु-सेट टोपोलॉजी , एक मूर स्पेस एक विकास योग्य स्थान है जो नियमित हौसडॉर्फ स्पेस है। अर्थात्, एक टोपोलॉजिकल स्पेस X एक मूर स्पेस है, यदि निम्नलिखित स्थितियाँ हों:

• किसी भी दो अलग-अलग बिंदुओं को पड़ोस से अलग किया जा सकता है, और किसी भी बंद सेट और उसके पूरक (सेट सिद्धांत) में किसी भी बिंदु को पड़ोस से अलग किया जा सकता है। (X एक नियमित हौसडॉर्फ स्थान है।)
• X के खुले कवर का एक गणनीय सेट संग्रह है, जैसे कि किसी भी बंद सेट C और किसी भी बिंदु p के पूरक के लिए संग्रह में एक कवर मौजूद है जैसे कि हर पड़ोस कवर में p का C से अलग सेट है। (X एक विकासशील स्थान है।)

मूर रिक्त स्थान आम तौर पर गणित में दिलचस्प होते हैं क्योंकि उन्हें दिलचस्प मेट्राइज़ेशन प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए लागू किया जा सकता है। 20वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में आर एल मूर द्वारा मूर स्पेस की अवधारणा तैयार की गई थी।

उदाहरण और गुण

1. हर मेट्रिजेबल स्पेस, एक्स, एक मूर स्पेस है। यदि एक^{(एन) </ समर्थन>_x} त्रिज्या 1/n की सभी गेंदों द्वारा X का खुला आवरण (X में x द्वारा अनुक्रमित) है, तो ऐसे सभी खुले आवरणों का संग्रह n के रूप में धनात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है, X का विकास है। चूँकि सभी मेट्रिज़ेबल स्थान सामान्य हैं , सभी मीट्रिक स्पेस मूर स्पेस हैं।}
2. Moore स्पेस नियमित स्पेस की तरह हैं और सामान्य स्पेस से इस मायने में अलग हैं कि मूर स्पेस का हर सबस्पेस टोपोलॉजी भी मूर स्पेस है।
3. एक इंजेक्टिव, निरंतर खुले मानचित्र के तहत मूर स्पेस की छवि हमेशा मूर स्पेस होती है। (एक इंजेक्शन के तहत नियमित स्थान की छवि, निरंतर खुले मानचित्र हमेशा नियमित होते हैं।)
4. दोनों उदाहरण 2 और 3 सुझाव देते हैं कि मूर रिक्त स्थान नियमित स्थान के समान हैं।
5. न तो सोरगेनफ्रे रेखा और न ही सोरगेनफ्रे विमान मूर स्थान हैं क्योंकि वे सामान्य हैं और दूसरी गणना योग्य नहीं हैं।
6. मूर विमान (जिसे निमेत्स्की अंतरिक्ष के रूप में भी जाना जाता है) गैर-मेट्रिजेबल मूर अंतरिक्ष का एक उदाहरण है।
7. प्रत्येक metacompact , वियोज्य स्थान, सामान्य मूर स्थान मेट्रिज़ेबल है। इस प्रमेय को ट्रेयलर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
8. हर स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान, स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ सामान्य मूर स्थान मेट्रिज़ेबल है। यह प्रमेय रीड और ज़ेनोर द्वारा सिद्ध किया गया था।
9. अगर $2^{\aleph _{0}}<2^{\aleph _{1}}$, तो प्रत्येक वियोज्य स्थान सामान्य स्थान मूर स्थान metrizable है। इस प्रमेय को जोन्स प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

सामान्य मूर अंतरिक्ष अनुमान

लंबे समय से, टोपोलॉजिस्ट तथाकथित सामान्य मूर अंतरिक्ष अनुमान को साबित करने की कोशिश कर रहे थे: हर सामान्य मूर स्पेस मेट्रिजेबल है। यह इस तथ्य से प्रेरित था कि सभी ज्ञात मूर रिक्त स्थान जो मेट्रिज़ेबल नहीं थे, वे भी सामान्य नहीं थे। यह एक अच्छा मेट्राइजेशन प्रमेय होता। पहले कुछ अच्छे आंशिक परिणाम मिले; अर्थात् गुण 7, 8 और 9 जैसा कि पिछले खंड में दिया गया है।

संपत्ति 9 के साथ, हम देखते हैं कि हम ट्रेयलर के प्रमेय से मेटाकॉम्पैक्टनेस को छोड़ सकते हैं, लेकिन एक सेट-सैद्धांतिक धारणा की कीमत पर। इसका एक अन्य उदाहरण फ्लेस्नर का प्रमेय है कि V=L का अर्थ है कि स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट, सामान्य मूर रिक्त स्थान मेट्रिजेबल हैं।

दूसरी ओर, सातत्य परिकल्पना (सीएच) के तहत और मार्टिन के स्वयंसिद्ध और सीएच के तहत भी, गैर-मेट्रिजेबल सामान्य मूर रिक्त स्थान के कई उदाहरण हैं। Nyikos ने साबित किया कि, तथाकथित PMEA (उत्पाद उपाय विस्तार स्वयंसिद्ध) के तहत, जिसे एक बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है, सभी सामान्य मूर रिक्त स्थान मेट्रिज़ेबल होते हैं। अंत में, यह बाद में दिखाया गया कि जेडएफसी का कोई भी मॉडल जिसमें अनुमान लगाया गया है, एक बड़े कार्डिनल वाले मॉडल के अस्तित्व का तात्पर्य है। इतने बड़े कार्डिनल अनिवार्य रूप से आवश्यक हैं।

Jones (1937) ने छद्म सामान्य स्थान मूर स्पेस का उदाहरण दिया जो मेट्रिज़ेबल नहीं है, इसलिए अनुमान को इस तरह से मजबूत नहीं किया जा सकता है। रॉबर्ट ली मूर ने स्वयं इस प्रमेय को सिद्ध किया कि एक संग्रहवार सामान्य मूर स्थान मेट्रिजेबल है, इसलिए सामान्यता को मजबूत करना मामले को सुलझाने का एक और तरीका है।

संदर्भ

• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Counterexamples in Topology, Dover Books, 1995. ISBN 0-486-68735-X
• Jones, F. B. (1937), "Concerning normal and completely normal spaces", Bulletin of the American Mathematical Society, 43 (10): 671–677, doi:10.1090/S0002-9904-1937-06622-5, MR 1563615.
• Nyikos, Peter J. (2001), "A history of the normal Moore space problem", Handbook of the History of General Topology, Hist. Topol., vol. 3, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, pp. 1179–1212, ISBN 9780792369707, MR 1900271.
• The original definition by R.L. Moore appears here:

MR0150722 (27 #709) Moore, R. L. Foundations of point set theory. Revised edition. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XIII American Mathematical Society, Providence, R.I. 1962 xi+419 pp. (Reviewer: F. Burton Jones)

• Historical information can be found here:

MR0199840 (33 #7980) Jones, F. Burton "Metrization". American Mathematical Monthly 73 1966 571–576. (Reviewer: R. W. Bagley)

• Historical information can be found here:

MR0203661 (34 #3510) Bing, R. H. "Challenging conjectures". American Mathematical Monthly 74 1967 no. 1, part II, 56–64;

• Vickery's theorem may be found here:

MR0001909 (1,317f) Vickery, C. W. "Axioms for Moore spaces and metric spaces". Bulletin of the American Mathematical Society 46, (1940). 560–564

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