हाबिल समीकरण

This article is about certain functional equations. For ordinary differential equations which are cubic in the unknown function, see Abel equation of the first kind.

एबेल समीकरण, जिसका नाम नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है, एक प्रकार का कार्यात्मक समीकरण है

$f(h(x))=h(x+1)$

या

$\alpha (f(x))=\alpha (x)+1$.

प्रपत्र समतुल्य हैं जब α उलटा कार्य है। h या α के iterated_function को नियंत्रित करें f.

समानता

दूसरा समीकरण लिखा जा सकता है

$\alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.$

ले रहा x = α⁻¹(y), समीकरण लिखा जा सकता है

$f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.$

एक ज्ञात कार्य के लिए f(x) , समस्या फलन के फलन समीकरण को हल करने की है α⁻¹ ≡ h, संभवतः अतिरिक्त आवश्यकताओं को पूरा करता है, जैसे α⁻¹(0) = 1.

चरों का परिवर्तन s^α(x) = Ψ(x), एक वास्तविक संख्या पैरामीटर के लिए s, हाबिल के समीकरण को प्रसिद्ध श्रोडर के समीकरण में लाता है, Ψ(f(x)) = s Ψ(x) .

आगे का बदलाव F(x) = exp(s^α(x)) बॉचर के समीकरण में, F(f(x)) = F(x)^s.

एबेल समीकरण अनुवाद समीकरण का एक विशेष मामला है (और आसानी से सामान्य हो जाता है),

$\omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,$

उदा., के लिए $\omega (x,1)=f(x)$,

$\omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)$. (अवलोकन करना ω(x,0) = x.)

हाबिल समारोह α(x) आगे शिफ्ट ऑपरेटर (एक पैरामीटर लाइ समूह) के लिए विहित समन्वय प्रदान करता है।

See also: Iterated function § Abelian property and Iteration sequences

इतिहास

प्रारंभ में, अधिक सामान्य रूप में समीकरण सुचित किया गया था। एकल चर के मामले में भी, समीकरण गैर-तुच्छ है, और विशेष विश्लेषण को स्वीकार करता है। एक रेखीय हस्तांतरण समारोह के मामले में, समाधान संक्षिप्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है।

विशेष मामले

टेट्रेशन का समीकरण हाबिल के समीकरण का एक विशेष मामला है f = exp.

एक पूर्णांक तर्क के मामले में, समीकरण एक पुनरावर्ती प्रक्रिया को कूटबद्ध करता है, उदाहरण के लिए,

$\alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,$

और इसी तरह,

$\alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.$

समाधान

एबेल समीकरण का कम से कम एक समाधान है $E$ अगर और केवल अगर सभी के लिए $x\in E$ और सभी $n\in \mathbb {N}$, $f^{n}(x)\neq x$, कहाँ $f^{n}=f\circ f\circ ...\circ f$, कार्य है f पुनरावृत्त समारोह n बार। विश्लेषणात्मक समाधान (Fatou निर्देशांक) को Fatou घटकों के वर्गीकरण के आसपास के क्षेत्रों में शक्ति श्रृंखला द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन के स्पर्शोन्मुख विस्तार द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। विश्लेषणात्मक समाधान एक स्थिरांक तक अद्वितीय है।

यह भी देखें

• कार्यात्मक समीकरण
  • श्रोडर का समीकरण
  • बॉचर का समीकरण
• विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
• पुनरावृत्त समारोह
• शिफ्ट ऑपरेटर
• सुपरफंक्शन