श्यान प्रतिबल प्रदिश

विस्कोस स्ट्रेस टेन्सर एक टेन्सर है जिसका उपयोग कॉन्टिनम मैकेनिक्स में तनाव (मैकेनिक्स) के हिस्से को कुछ सामग्री के भीतर एक बिंदु पर मॉडल करने के लिए किया जाता है, जिसे स्ट्रेन रेट, डेरिवेटिव (गणित) के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, जिस पर यह विरूपण (यांत्रिकी) के आसपास होता है। वह बिंदु।

विस्कोस स्ट्रेस टेंसर औपचारिक रूप से कॉची तनाव टेन्सर| इलास्टिक स्ट्रेस टेंसर (कॉची टेंसर) के समान है, जो किसी लोच (भौतिकी) सामग्री में उसके विरूपण के कारण आंतरिक बलों का वर्णन करता है। दोनों टेन्सर उस सतह तत्व पर कार्य करने वाले तनाव के घनत्व और दिशा के अभिन्न अंग की सतह के सामान्य को मैप करते हैं। हालांकि, लोचदार तनाव विरूपण ([[तनाव (यांत्रिकी)]]) की 'मात्रा' के कारण होता है, जबकि चिपचिपा तनाव समय के साथ विरूपण के परिवर्तन की 'दर' (तनाव दर) के कारण होता है। चिपचिपापन सामग्री में, जिसका व्यवहार तरल और ठोस पदार्थों के बीच मध्यवर्ती होता है, कॉची तनाव टेंसर में चिपचिपा और लोचदार (स्थैतिक) घटक होते हैं। पूरी तरह से द्रव सामग्री के लिए, लोचदार शब्द हीड्रास्टाटिक दबाव को कम कर देता है।

मनमाना समन्वय प्रणाली में, चिपचिपा तनाव ε और तनाव दर E एक विशिष्ट बिंदु और समय पर वास्तविक संख्याओं के 3 × 3 मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। कई स्थितियों में उन आव्यूहों के बीच एक लगभग रैखिक संबंध होता है; यानी चौथे क्रम की चिपचिपाहट μ ऐसा है कि ε = μE. टेंसर μ इसके चार सूचकांक हैं और इसमें 3 × 3 × 3 × 3 वास्तविक संख्याएँ हैं (जिनमें से केवल 21 स्वतंत्र हैं)। न्यूटोनियन द्रव में, परिभाषा के अनुसार, के बीच संबंध ε और E पूरी तरह से रैखिक है, और चिपचिपापन टेंसर μ द्रव में गति या तनाव की स्थिति से स्वतंत्र है। यदि द्रव आइसोट्रोपिक होने के साथ-साथ न्यूटोनियन भी है, तो चिपचिपापन टेंसर μ केवल तीन स्वतंत्र वास्तविक पैरामीटर होंगे: एक बल्क चिपचिपापन गुणांक, जो मध्यम से धीरे-धीरे समान संपीड़न के प्रतिरोध को परिभाषित करता है; एक गतिशील चिपचिपापन गुणांक जो धीरे-धीरे कतरन के प्रतिरोध को व्यक्त करता है, और एक घूर्णी चिपचिपाहट गुणांक जो द्रव प्रवाह और व्यक्तिगत कणों के घूर्णन के बीच युग्मन से उत्पन्न होता है। इस तरह के युग्मन की अनुपस्थिति में, चिपचिपा तनाव टेंसर में केवल दो स्वतंत्र पैरामीटर होंगे और सममित होंगे। दूसरी ओर, गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थों में, के बीच संबंध ε और E अत्यंत गैर रेखीय हो सकता है, और ε इसके अलावा प्रवाह की अन्य विशेषताओं पर भी निर्भर हो सकता है E.

परिभाषा

चिपचिपा बनाम लोचदार तनाव

एक सतत यांत्रिकी में आंतरिक तनाव (यांत्रिकी) आम तौर पर कुछ आराम (अप्रतिबंधित) राज्य से सामग्री के विरूपण से संबंधित होते हैं। इन तनावों में आम तौर पर एक लोच (भौतिकी) | लोचदार (स्थैतिक) तनाव घटक शामिल होता है, जो विरूपण की वर्तमान मात्रा से संबंधित होता है और सामग्री को उसके आराम की स्थिति में बहाल करने के लिए कार्य करता है; और चिपचिपापन घटक, जो उस दर पर निर्भर करता है जिस पर विरूपण समय के साथ बदल रहा है और उस परिवर्तन का विरोध करता है।

चिपचिपा तनाव टेंसर

कुल और लोचदार तनावों की तरह, सामग्री में एक निश्चित बिंदु के आसपास चिपचिपा तनाव, किसी भी समय, एक तनाव टेंसर द्वारा तैयार किया जा सकता है, बिंदु और स्थानीय तनाव के माध्यम से एक आदर्श विमान के सामान्य (ज्यामिति) के बीच एक रैखिक नक्शा उस बिंदु पर उस तल पर घनत्व।

1, 2, 3 अक्षों के साथ किसी भी चुने हुए कार्टेशियन निर्देशांक में, इस विस्कस स्ट्रेस टेन्सर को वास्तविक संख्याओं के 3 × 3 मैट्रिक्स (गणित) के रूप में दर्शाया जा सकता है:

$\varepsilon (p,t)={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,.$

ध्यान दें कि ये संख्याएँ आमतौर पर बिंदु के साथ बदलती हैं p और समय t.

बिंदु पर केन्द्रित एक अतिसूक्ष्म सपाट सतह अभिन्न पर विचार करें p, एक वेक्टर द्वारा दर्शाया गया dA जिसकी लंबाई तत्व का क्षेत्रफल (ज्यामिति) है और जिसकी दिशा इसके लंबवत है। होने देना dF चिपचिपे तनाव के कारण असीम बल हो जो उस सतह तत्व के विपरीत दिशा में सामग्री पर लागू होता है dA. के घटक dF प्रत्येक निर्देशांक अक्ष के साथ फिर द्वारा दिया जाता है

$dF_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}\,dA_{j}\,.$

किसी भी सामग्री में, कुल तनाव टेन्सर σ इस विस्कस स्ट्रेस टेन्सर का योग है ε, लोचदार तनाव टेंसर τ और हीड्रास्टाटिक दबाव p. पूरी तरह से तरल सामग्री में, परिभाषा के अनुसार स्थैतिक कतरनी तनाव नहीं हो सकता, लोचदार तनाव टेंसर शून्य है:

$\sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\varepsilon _{ij}\,,$

कहां δ_ij क्रोनकर डेल्टा है, ऐसा है δ_ij 1 है अगर i = j और 0 अगर i ≠ j.

जबकि चिपचिपे तनाव भौतिक घटनाओं से उत्पन्न होते हैं जो माध्यम की प्रकृति पर दृढ़ता से निर्भर करते हैं, चिपचिपा तनाव टेंसर ε केवल सामग्री के आसन्न पार्सल के बीच स्थानीय क्षणिक बलों का वर्णन है, और सामग्री की संपत्ति नहीं है।

समरूपता

प्रवाह (बाह्य टोक़) के कारण एक तत्व पर टोक़ को अनदेखा करते हुए, द्रव तत्व पर प्रति इकाई मात्रा में चिपचिपा आंतरिक टोक़ लिखा जाता है (एक एंटीसिमेट्रिक टेंसर के रूप में)

$\tau _{ij}=\varepsilon _{ij}-\varepsilon _{ji}$

और समय के साथ आंतरिक कोणीय संवेग घनत्व के परिवर्तन की दर का प्रतिनिधित्व करता है। यदि कणों में स्वतंत्रता की घूर्णी डिग्री है, तो यह एक आंतरिक कोणीय गति का संकेत देगा और यदि इस कोणीय गति को टक्करों द्वारा बदला जा सकता है, तो यह संभव है कि यह आंतरिक कोणीय गति समय में बदल सकती है, जिसके परिणामस्वरूप एक आंतरिक टोक़ शून्य नहीं है, जिसका अर्थ यह होगा कि विस्कस स्ट्रेस टेन्सर में संगत घूर्णी श्यानता गुणांक के साथ एक एंटीसिमेट्रिक घटक होगा।यदि द्रव के कणों का कोणीय संवेग नगण्य है या यदि उनका कोणीय संवेग बाहरी कोणीय संवेग के साथ पर्याप्त रूप से युग्मित नहीं है, या यदि स्वतंत्रता की बाहरी और आंतरिक डिग्री के बीच संतुलन समय व्यावहारिक रूप से शून्य है, तो टोक़ शून्य होगा और चिपचिपा तनाव टेंसर सममित होगा। बाहरी ताकतों के परिणामस्वरूप तनाव टेन्सर के लिए एक असममित घटक हो सकता है (उदाहरण के लिए फेरोफ्लुइड जो बाहरी चुंबकीय क्षेत्रों द्वारा टोक़ को सहन कर सकता है)।

चिपचिपे तनाव के भौतिक कारण

एक ठोस सामग्री में, तनाव के लोचदार घटक को सामग्री के परमाणुओं और अणुओं के बीच बंधन (रसायन विज्ञान) के विरूपण के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, और इसमें कतरनी तनाव शामिल हो सकते हैं। एक द्रव में, लोचदार तनाव को कणों की औसत दूरी में वृद्धि या कमी के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, जो उनकी टक्कर या अंतःक्रिया दर को प्रभावित करता है और इसलिए तरल पदार्थ में संवेग का स्थानांतरण होता है; इसलिए यह कणों की गति के सूक्ष्म ऊष्मप्रवैगिकी यादृच्छिक घटक से संबंधित है, और खुद को एक आइसोट्रोपिक हाइड्रोस्टेटिक दबाव तनाव के रूप में प्रकट करता है।

दूसरी ओर तनाव का चिपचिपा घटक, कणों के मैक्रोस्कोपिक माध्य वेग से उत्पन्न होता है। इसे माध्यम के आसन्न पार्सल के बीच घर्षण या कण प्रसार के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, जिसमें अलग-अलग वेग होते हैं।

चिपचिपापन समीकरण

तनाव दर टेंसर

Main article: strain rate tensor

एक सहज प्रवाह में, वह दर जिस पर माध्यम का स्थानीय विरूपण समय के साथ बदल रहा है (तनाव दर) को तनाव दर टेंसर द्वारा अनुमानित किया जा सकता है E(p, t), जो आमतौर पर बिंदु का एक कार्य है p और समय t. किसी भी समन्वय प्रणाली के संबंध में, इसे 3 × 3 मैट्रिक्स द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

तनाव दर टेंसर E(p, t) तनाव टेंसर के व्युत्पन्न (गणित) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है e(p, t) समय के संबंध में, या, समकक्ष, प्रवाह वेग वेक्टर के ढाल (अंतरिक्ष के संबंध में व्युत्पन्न) के सममित भाग के रूप में v(p, t):

$E={\frac {\partial e}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left((\nabla v)+(\nabla v)^{\textsf {T}}\right)\,,$

कहां ∇v वेग प्रवणता को दर्शाता है। कार्तीय निर्देशांक में, ∇v जैकबियन मैट्रिक्स है,

$(\nabla v)_{ij}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}$

और इसीलिए

$E_{ij}={\frac {\partial e_{ij}}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right)\,.$

किसी भी तरह से, तनाव दर टेंसर E(p, t) उस दर को व्यक्त करता है जिस पर माध्य वेग माध्यम में बदलता है जैसे ही कोई बिंदु से दूर जाता है p - माध्यम के घूमने के कारण होने वाले परिवर्तनों को छोड़कर p एक कठोर शरीर के रूप में, जो कणों की सापेक्ष दूरियों को नहीं बदलते हैं और केवल व्यक्तिगत कणों के घूर्णन के माध्यम से चिपचिपे तनाव के घूर्णी भाग में योगदान करते हैं। (इन परिवर्तनों में प्रवाह की vorticity शामिल है, जो कर्ल (गणित) (घूर्णी) है ∇ × v वेग का; जो वेग प्रवणता का विषम भाग भी है ∇v.)

सामान्य प्रवाह

विस्कस स्ट्रेस टेन्सर एक बिंदु के चारों ओर स्ट्रेस का केवल एक रैखिक सन्निकटन है p, और इसकी टेलर श्रृंखला की उच्च-क्रम शर्तों के लिए खाता नहीं है। हालाँकि लगभग सभी व्यावहारिक स्थितियों में इन शब्दों को अनदेखा किया जा सकता है, क्योंकि वे आकार के पैमाने पर नगण्य हो जाते हैं जहाँ चिपचिपा तनाव उत्पन्न होता है और माध्यम की गति को प्रभावित करता है। तनाव दर टेंसर के बारे में भी यही कहा जा सकता है E चारों ओर वेग पैटर्न के प्रतिनिधित्व के रूप में p.

इस प्रकार, रैखिक मॉडल टेन्सर द्वारा दर्शाए जाते हैं E और ε इसकी गतिशीलता (यांत्रिकी) के मॉडलिंग के उद्देश्य के लिए चिपचिपा तनाव और एक बिंदु के चारों ओर तनाव दर का वर्णन करने के लिए लगभग हमेशा पर्याप्त होते हैं। विशेष रूप से, स्थानीय तनाव दर E(p, t) वेग प्रवाह की एकमात्र संपत्ति है जो चिपचिपा तनाव को सीधे प्रभावित करती है ε(p, t) एक निश्चित बिंदु पर।

दूसरी ओर, के बीच संबंध E और ε काफी जटिल हो सकता है, और सामग्री की संरचना, भौतिक स्थिति और सूक्ष्म संरचना पर दृढ़ता से निर्भर करता है। यह अक्सर अत्यधिक गैर-रेखीय भी होता है, और उस सामग्री द्वारा पहले अनुभव किए गए तनावों और तनावों पर निर्भर हो सकता है जो अब प्रश्न के बिंदु के आसपास है।

जनरल न्यूटोनियन मीडिया

एक माध्यम न्यूटोनियन तरल पदार्थ कहा जाता है अगर चिपचिपा तनाव ε(p, t) तनाव दर का एक रैखिक कार्य है E(p, t), और यह कार्य अन्यथा तरल पदार्थ के तनाव और गति पर निर्भर नहीं करता है p. कोई भी वास्तविक द्रव पूर्ण न्यूटोनियन नहीं है, लेकिन गैसों और पानी सहित कई महत्वपूर्ण तरल पदार्थों को माना जा सकता है, जब तक कि प्रवाह तनाव और तनाव दर बहुत अधिक न हो।

सामान्य तौर पर, दो दूसरे क्रम के टेंसरों के बीच एक रैखिक संबंध एक चौथे क्रम का टेंसर होता है। न्यूटोनियन माध्यम में, विशेष रूप से चिपचिपापन तनाव और तनाव दर चिपचिपापन टेंसर से संबंधित होते हैं μ:

$\varepsilon _{ij}=\sum _{kl}{\boldsymbol {\mu }}_{ijkl}E_{kl}\,.$

चिपचिपाहट गुणांक μ न्यूटोनियन सामग्री का एक गुण है, जो परिभाषा के अनुसार, अन्यथा निर्भर नहीं करता है v या σ.

तनाव दर टेंसर E(p, t) परिभाषा के अनुसार सममित है, इसलिए इसमें केवल छह रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्व हैं। इसलिए, चिपचिपापन टेंसर μ 81 के बजाय केवल 6 × 9 = 54 डिग्री की स्वतंत्रता है। अधिकांश तरल पदार्थों में चिपचिपा तनाव टेंसर भी सममित होता है, जो चिपचिपापन मापदंडों की संख्या को 6 × 6 = 36 तक कम कर देता है।

कतरनी और थोक चिपचिपा तनाव

घूर्णी प्रभावों के अभाव में चिपचिपा तनाव टेंसर सममित होगा। जैसा कि किसी भी सममित टेन्सर के साथ होता है, विस्कस स्ट्रेस टेंसर ε स्ट्रेन रेट टेन्सर#शियर रेट और कम्प्रेशन रेट लापता सिमेट्रिक टेन्सर हो सकता है ε^s, और एक अदिश गुणक ε^v पहचान टेंसर की। समन्वय रूप में,

${\begin{aligned}\varepsilon _{ij}&=\varepsilon _{ij}^{\text{v}}+\varepsilon _{ij}^{\text{s}}\\[3pt]\varepsilon _{ij}^{\text{v}}&={\frac {1}{3}}\delta _{ij}\sum _{k}\varepsilon _{kk}\\\varepsilon _{ij}^{\text{s}}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\sum _{k}\varepsilon _{kk}\,.\end{aligned}}$

यह अपघटन समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है और इसलिए भौतिक रूप से महत्वपूर्ण है। नित्य भाग ε^v चिपचिपा तनाव टेंसर स्वयं को एक प्रकार के दबाव, या बल्क तनाव के रूप में प्रकट करता है, जो किसी भी सतह पर समान रूप से और लंबवत रूप से कार्य करता है जो इसके अभिविन्यास से स्वतंत्र होता है। सामान्य हाइड्रोस्टेटिक दबाव के विपरीत, यह केवल तभी प्रकट हो सकता है जब तनाव बदल रहा हो, परिवर्तन का विरोध करने के लिए कार्य कर रहा हो; और यह नकारात्मक हो सकता है।

आइसोट्रोपिक न्यूटोनियन केस

एक न्यूटोनियन माध्यम में जो आइसोट्रोपिक है (अर्थात जिनके गुण सभी दिशाओं में समान हैं), स्ट्रेस टेन्सर का प्रत्येक भाग स्ट्रेन रेट टेंसर के संबंधित भाग से संबंधित है।

${\begin{aligned}\varepsilon ^{\text{v}}(p,t)&=\mu ^{\text{v}}E^{\text{v}}(p,t)\,,\\\varepsilon ^{\text{s}}(p,t)&=\mu ^{\text{s}}E^{\text{s}}(p,t)\,,\end{aligned}}$

कहां E^v और E^s अदिश समस्थानिक और तनाव दर टेंसर के शून्य-ट्रेस भाग हैं E, और μ^v और μ^s दो वास्तविक संख्याएँ हैं। इस प्रकार, इस मामले में चिपचिपापन टेंसर μ केवल दो स्वतंत्र पैरामीटर हैं।

शून्य-ट्रेस भाग E^s का E एक सममित 3 × 3 टेन्सर है जो उस दर का वर्णन करता है जिस पर माध्यम को कतरन द्वारा विकृत किया जा रहा है, इसकी मात्रा में किसी भी परिवर्तन को अनदेखा कर रहा है। इस प्रकार शून्य-ट्रेस भाग ε^s का ε परिचित चिपचिपा कतरनी तनाव है जो प्रगतिशील कतरनी (भौतिकी) विरूपण से जुड़ा है। यह चिपचिपा तनाव है जो एक समान क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) | क्रॉस-सेक्शन (एक पॉइज़्यूइल प्रवाह) या दो समानांतर (ज्यामिति) चलती प्लेटों (एक Couette प्रवाह) के बीच एक ट्यूब के माध्यम से द्रव में होता है और उन गतियों का विरोध करता है।

भाग E^v का E एक अदिश गुणक के रूप में कार्य करता है (जैसे ε^v), विचाराधीन बिंदु के आसपास माध्यम की औसत विस्तार दर। (यह किसी भी समन्वय प्रणाली में 3 × 3 विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा विकर्ण के बराबर मूल्यों के साथ दर्शाया गया है।) यह संख्यात्मक रूप से बराबर है 1/3 वेग के विचलन का

$\nabla \cdot v=\sum _{k}{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{k}}}\,,$

जो बदले में प्रवाह के कारण द्रव के आयतन (ज्यामिति) के परिवर्तन की सापेक्ष दर है।

इसलिए, अदिश भाग ε^v का ε एक तनाव है जो तब देखा जा सकता है जब सामग्री को सभी दिशाओं में समान दर से संकुचित या विस्तारित किया जा रहा हो। यह एक अतिरिक्त दबाव के रूप में प्रकट होता है जो सामग्री को संपीड़ित होने पर ही प्रकट होता है, लेकिन (सच्चे हाइड्रोस्टैटिक दबाव के विपरीत) संपीड़न की मात्रा के बजाय संपीड़न के परिवर्तन की दर के आनुपातिक होता है, और जैसे ही वॉल्यूम बदलना बंद हो जाता है, गायब हो जाता है।

चिपचिपा तनाव का यह हिस्सा, जिसे आमतौर पर बल्क चिपचिपापन या मात्रा चिपचिपाहट कहा जाता है, अक्सर viscoelastic सामग्री में महत्वपूर्ण होता है, और माध्यम में अनुदैर्ध्य तरंगों के स्टोक्स के नियम (ध्वनि क्षीणन) के लिए जिम्मेदार होता है। बल्क चिपचिपाहट की उपेक्षा की जा सकती है जब सामग्री को असम्पीडित माना जा सकता है (उदाहरण के लिए, जब एक चैनल में पानी के प्रवाह को मॉडलिंग करते हैं)।

गुणांक μ^v, अक्सर द्वारा निरूपित η, थोक चिपचिपाहट (या दूसरी चिपचिपाहट) का गुणांक कहा जाता है; जबकि μ^s सामान्य (कतरनी) चिपचिपाहट का गुणांक है।

यह भी देखें

• वर्टिसिटी समीकरण
• नेवियर-स्टोक्स समीकरण

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• सतह सामान्य
• सातत्यक यांत्रिकी
• सतह अभिन्न
• viscoelasticity
• व्युत्पन्न (गणित)
• श्यानता
• डायनेमिक गाढ़ापन
• थोक चिपचिपाहट
• घूर्णी चिपचिपापन
• गैर-न्यूटोनियन द्रव
• तनाव घनत्व
• कार्तीय निर्देशांक
• बहुत छोता
• क्षेत्र (ज्यामिति)
• अपरूपण तनाव
• टकराव
• रोटेशन
• गतिकी (यांत्रिकी)
• बाल काटना (भौतिकी)
• Poiseuille प्रवाह
• कौएट प्रवाह
• मात्रा (ज्यामिति)
• लोंगिट्युडिनल वेव