पुश फॉरवर्ड मापक

माप सिद्धांत में, एक पुशफॉरवर्ड माप (जिसे पुश फॉरवर्ड, पुश-फॉरवर्ड या छवि मापक के रूप में भी जाना जाता है) एक मापने योग्य फलन का उपयोग करके एक मापने योग्य स्थान से दूसरे में एक मापनीय स्थान से एक माप को स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता है।

परिभाषा

मापने योग्य स्थान $(X_{1},\Sigma _{1})$और $(X_{2},\Sigma _{2})$दिए गए हैं, एक मापने योग्य मानचित्रण $f\colon X_{1}\to X_{2}$और एक माप $\mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]$, μ के पुशफॉरवर्ड को $B\in \Sigma _{2}.$ के लिए $f_{*}(\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)$द्वारा दिए गए माप $f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]$के रूप में परिभाषित किया गया है।

यह परिभाषा एक हस्ताक्षरित या जटिल माप के लिए उत्परिवर्ती उत्परिवर्तन लागू करती है। पुशफॉरवर्ड माप को $\mu \circ f^{-1}$,$f_{\sharp }\mu$, $f\sharp \mu$ या $f\#\mu$ के रूप में भी दर्शाया गया है।

मुख्य गुण: परिवर्तन-चर-सूत्र:

प्रमेय: X₂ पर एक औसतन फंक्शन g, पुशफॉरवर्ड माप f_∗(μ) के संबंध में पूर्ण है, यदि और केवल यदि रचना $g\circ f$ माप μ के संबंध में पूर्ण है उस स्थिति में, अभिन्न संयोग करते हैं, अर्थात,

$\int _{X_{2}}g\,d(f_{*}\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f\,d\mu .$

ध्यान दें कि पिछले सूत्र में $X_{1}=f^{-1}(X_{2})$.

उदाहरण और अनुप्रयोग

• संपूर्ण "लेब्सेग माप" यूनिट सर्कल S¹ (पर यहां जटिल समतल C) के सबसेट के रूप में सोचा गया है, इसे वास्तविक लाइन R पर पुश-फॉरवर्ड निर्माण और लेबसेग माप λ का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। बता दें कि λ ने लेब्सेग माप के प्रतिबंध को अंतराल के लिए भी निरूपित किया है [0, 2π) और f : [0, 2π) → S¹ f(t) = exp(i t) द्वारा परिभाषित प्राकृतिक जीवनी है। S¹ पर संपूर्ण "लेब्सेग माप" तब पुश-फॉरवर्ड माप f_∗(λ) है. माप f_∗(λ) को "आर्क लंबाई माप" या "कोण माप" भी कहा जा सकता है, क्योंकि f_∗(λ) - S¹ में एक चाप का माप ठीक है इसकी चाप लंबाई ( या, समतुल्य, वह कोण जो इसे वृत्त के केंद्र में घटाता है। )
• यूनिट सर्कल एस पर एक प्राकृतिक लेबेस्ग माप¹ (यहाँ जटिल समतल C के एक उपसमुच्चय के रूप में सोचा गया है) को पुश-फॉरवर्ड निर्माण और वास्तविक रेखा R पर Lebesgue माप λ का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। चलो λ भी निरूपित करता है Lebesgue माप का अंतराल [0, 2π) और मान लीजिए f : [0, 2π) → S¹ f(t) = exp(i t) द्वारा परिभाषित प्राकृतिक आक्षेप है। प्राकृतिक Lebesgue माप 'एस' पर¹ तो पुश-फॉरवर्ड माप f है_∗(λ)। माप एफ_∗(λ) को चाप लंबाई माप या कोण माप भी कहा जा सकता है, क्योंकि f_∗(λ)-'S' में एक चाप का माप¹ सटीक रूप से इसकी चाप की लंबाई है (या, समतुल्य, वह कोण जो यह वृत्त के केंद्र पर बनाता है।)
• पिछला उदाहरण एन-डायमेंशनल टोरस्र्स 'टी' पर एक प्राकृतिक लेबेस्ग माप देने के लिए अच्छी तरह से फैला हुआ है^एन. पिछला उदाहरण एक विशेष मामला है, क्योंकि 'एस'^{1</सुप> = टी1</उप>। टी पर यह लेबेस्ग मापn, सामान्यीकरण तक, कॉम्पैक्ट जगह , जुड़ा हुआ स्थान झूठ समूह 'T' के लिए हार माप हैएन.}
• अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर गॉसियन मापों को वास्तविक रेखा पर पुश-फॉरवर्ड और मानक गाऊसी माप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है: एक अलग करने योग्य स्थान पर एक बोरेल माप γ बनच स्थान एक्स को 'गॉसियन' कहा जाता है यदि γ द्वारा पुश-फॉरवर्ड किया जाता है एक्स के निरंतर दोहरे स्थान में कोई गैर-शून्य रैखिक कार्यात्मक 'आर' पर गॉसियन माप है।
• एक मापने योग्य फ़ंक्शन f : X → X पर विचार करें और f का समारोह रचना स्वयं n बार:

$f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.$

यह पुनरावृत्त फलनएक गतिशील प्रणाली बनाता है। इस तरह की प्रणालियों के अध्ययन में अक्सर एक्स पर एक माप μ खोजने में रुचि होती है कि नक्शा एफ अपरिवर्तित छोड़ देता है, एक तथाकथित अपरिवर्तनीय माप, यानी एक जिसके लिए एफ_∗(μ) = μ।

• ऐसी गतिशील प्रणाली के लिए अर्ध-अपरिवर्तनीय मापों पर भी विचार किया जा सकता है: एक माप$\mu$पर$(X,\Sigma )$'क्वैसी-इनवेरिएंट अंडर' कहा जाता है $f$ अगर पुश-फॉरवर्ड करें$\mu$द्वारा $f$ केवल मूल माप μ के मापों की समानता है, जरूरी नहीं कि इसके बराबर हो। मापों की एक जोड़ी $\mu ,\nu$ एक ही स्थान पर समतुल्य हैं यदि और केवल यदि $\forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0$, इसलिए $\mu$ के अंतर्गत अर्ध-अपरिवर्तनीय है $f$ अगर $\forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}=0$
• इस निर्माण के माध्यम से ची वितरण जैसे कई प्राकृतिक संभाव्यता वितरण प्राप्त किए जा सकते हैं।

• रैंडम वैरिएबल पुशफॉरवर्ड मापों को प्रेरित करते हैं। वे एक प्रायिकता स्थान को कोडोमेन स्थान में मैप करते हैं और उस स्थान को पुशफॉरवर्ड द्वारा परिभाषित प्रायिकता माप के साथ संपन्न करते हैं। इसके अलावा, क्योंकि यादृच्छिक चर फलन हैं (और इसलिए कुल फलन), पूरे कोडोमेन की उलटी छवि संपूर्ण डोमेन है, और पूरे डोमेन का माप 1 है, इसलिए पूरे कोडोमेन का माप 1 है। इसका मतलब है कि यादृच्छिक चर अनंत तक बनाए जा सकते हैं और वे हमेशा यादृच्छिक चर के रूप में रहेंगे और संभाव्यता मापों के साथ कोडोमेन रिक्त स्थान प्रदान करेंगे।

एक सामान्यीकरण

सामान्य तौर पर, किसी भी मापने योग्य फलनको आगे धकेला जा सकता है, पुश-फॉरवर्ड तब एक रैखिक ऑपरेटर बन जाता है, जिसे ट्रांसफर ऑपरेटर या फ्रोबेनियस-पेरोन ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। परिमित स्थानों में यह ऑपरेटर आम तौर पर फ्रोबेनियस-पेरोन प्रमेय की आवश्यकताओं को पूरा करता है, और ऑपरेटर का अधिकतम आइगेनवेल्यू अपरिवर्तनीय माप से मेल खाता है।

पुश-फॉरवर्ड के निकट ठहराना है; मापने योग्य स्थानों पर कार्यों के रिक्त स्थान पर एक ऑपरेटर के रूप में, यह संरचना ऑपरेटर या व्यापारी संचालिका है।

यह भी देखें

• माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली

संदर्भ

• Bogachev, Vladimir I. (2007), Measure Theory, Berlin: Springer Verlag, ISBN 9783540345138
• Teschl, Gerald (2015), Topics in Real and Functional Analysis