संचयी पदानुक्रम

गणित में, विशेष रूप से समुच्चय सिद्धान्त , एक संचयी पदानुक्रम सेट (गणित) का एक परिवार है $W_{\alpha }$ क्रमिक संख्या द्वारा अनुक्रमित $\alpha$ ऐसा है कि

• $W_{\alpha }\subseteq W_{\alpha +1}$
• अगर $\lambda$ एक सीमा क्रमसूचक है, तब ${\textstyle W_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }W_{\alpha }}$

कुछ लेखकों को इसकी भी आवश्यकता होती है $W_{\alpha +1}\subseteq {\mathcal {P}}(W_{\alpha })$ या वो $W_{0}\neq \emptyset$.

संघ (सेट सिद्धांत) ${\textstyle W=\bigcup _{\alpha \in \mathrm {On} }W_{\alpha }}$ एक संचयी पदानुक्रम के समुच्चय का उपयोग अक्सर समुच्चय सिद्धांत के एक मॉडल के रूप में किया जाता है।

वाक्यांश संचयी पदानुक्रम आमतौर पर मानक संचयी पदानुक्रम को संदर्भित करता है $\mathrm {V} _{\alpha }$ वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड के साथ $\mathrm {V} _{\alpha +1}={\mathcal {P}}(W_{\alpha })$ इनके द्वारा पेश किया गया Zermelo (1930).

प्रतिबिंब सिद्धांत

एक संचयी पदानुक्रम प्रतिबिंब सिद्धांत के एक रूप को संतुष्ट करता है: संघ में धारण करने वाले सेट सिद्धांत की भाषा में कोई भी सुव्यवस्थित सूत्र $W$ पदानुक्रम का भी कुछ चरणों में होता है $W_{\alpha }$.

उदाहरण

• वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड एक संचयी पदानुक्रम से बनाया गया है $\mathrm {V} _{\alpha }$.
• सेट $\mathrm {L} _{\alpha }$ रचनात्मक ब्रह्मांड का एक संचयी पदानुक्रम बनाते हैं।
• फोर्सिंग (गणित) द्वारा निर्मित बूलियन-मूल्यवान मॉडल एक संचयी पदानुक्रम का उपयोग करके बनाए गए हैं।
• सेट थ्योरी के एक मॉडल में अच्छी तरह से स्थापित सेट (संभवतः नींव के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट नहीं करते) एक संचयी पदानुक्रम बनाते हैं जिसका संघ नींव के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है।

संदर्भ

• Jech, Thomas (2003). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl 1007.03002.
• Zermelo, Ernst (1930). "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre". Fundamenta Mathematicae. 16: 29–47. doi:10.4064/fm-16-1-29-47.