प्वाइंटक्लास

वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, एक प्वाइंटक्लास बिंदु (गणित) के सम्मुच्चय (गणित) का एक संग्रह है, जहां एक बिंदु को सामान्यतः कुछ उतम सम्मुच्चय परिष्कृत स्थान का एक तत्व समझा जाता है। व्यवहार में, एक पॉइंटक्लास को सामान्यतः किसी प्रकार की 'परिभाषा विशेषता' द्वारा चित्रित किया जाता है; उदाहरण के लिए, परिष्कृत रिक्त स्थान के कुछ निश्चित संग्रह में सभी खुले सम्मुच्चयों का संग्रह एक प्वाइंटक्लास है। (एक ओपन सेट को कुछ अर्थों में परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि यह बिंदुओं का विशुद्ध रूप से स्वेच्छाचारी संग्रह नहीं हो सकता है; सम्मुच्चय में किसी भी बिंदु के लिए, उस बिंदु के पास पर्याप्त रूप से सभी बिंदु सम्मुच्चय में भी होने चाहिए।)

पॉइंटक्लास सम्मुच्चय सिद्धांत और वास्तविक विश्लेषण से कई महत्वपूर्ण सिद्धांतों और प्रमेयों को तैयार करने में आवेदन पाते हैं। शक्तिशाली सम्मुच्चय-सैद्धांतिक सिद्धांतों को विभिन्न बिंदुओं के निर्धारण के संदर्भ में कहा जा सकता है, जो बदले में इसका अर्थ है कि उन प्वाइंटक्लास (या कभी-कभी बड़े वाले) में नियमितता गुण होते हैं जैसे कि लेबेसेग माप (और वास्तव में सार्वभौमिक रूप से मापने योग्य सम्मुच्चय), बायर की विशेषता, और उतम सम्मुच्चय विशेषता हैं।

मूल ढांचा

व्यवहार में, वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांतकार प्रायः एक निश्चित परिष्कृत स्थान जैसे बेयर स्थल (सम्मुच्चय सिद्धांत) या कभी-कभी कैंटर स्थल में काम करके मामलों को सरल बनाते हैं, जिनमें से प्रत्येक को शून्य आयामी होने का लाभ होता है, और वास्तव में इसके परिमित या गणनीय उत्पाद सांस्थिति के लिए होमियोमॉर्फिक होता है, ताकि आयामीता के विचार कभी उत्पन्न न हों। यियानिस मोस्कोवाकिस एक बार और सभी अंतर्निहित परिष्कृत रिक्त स्थान के संग्रह को ठीक करके अधिक सामान्यता प्रदान करता है, जिसमें सभी स्वाभाविक का सम्मुच्चय, सभी तत्त्व का सम्मुच्चय, बेयर स्थल और कैंटर स्थल सम्मिलित है, और अन्यथा पाठक को किसी भी वांछित सही परिष्कृत स्थल में फेंकने की अनुमति देता है। फिर वह एक उत्पाद स्थान को इन अंतर्निहित स्थानों के किसी भी परिमित कार्टेशियन उत्पाद के रूप में परिभाषित करता है। फिर, उदाहरण के लिए, पॉइंटक्लास ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ सभी खुले सम्मुच्चयों का अर्थ इन उत्पाद स्थानों में से किसी एक के सभी खुले उपसमुच्चय का संग्रह है। यह उपाय एक उचित वर्ग ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ होने से रोकता है, विशेष परिष्कृत रिक्त स्थान के रूप में अत्यधिक विशिष्टता से बचने के उपरान्त विचार किया जा रहा है (यह देखते हुए कि सकेंद्र इस तथ्य पर है कि ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ खुले सम्मुच्चय का संग्रह है, न कि स्वयं रिक्त स्थान पर)।

बोल्डफेस पॉइंटक्लास

बोरेल पदानुक्रम में प्वाइंटक्लास, और अधिक जटिल प्रक्षेपी पदानुक्रम में, बोल्डफेस अक्षर में उप- और अति-लिखित ग्रीक अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं; उदाहरण के लिए, ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$ सभी बंद सम्मुच्चयों का प्वाइंटक्लास है, ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}$ सभी F_σ सम्मुच्चय का प्वाइंटक्लास है, ${\boldsymbol {\Delta }}_{2}^{0}$ सभी सम्मुच्चयों F_σ और G_δ का संग्रह है जो एक साथ हैं, और ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}$ सभी विश्लेषणात्मक सम्मुच्चयों का प्वाइंटक्लास है।

इस तरह के प्वाइंटक्लासों में सम्मुच्चय केवल एक बिंदु तक निश्चित होने चाहिए। उदाहरण के लिए, परिष्कृत स्थान में सम्मुच्चय किया गया प्रत्येक एकल सम्मुच्चय है, और इस प्रकार ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$ है। इसलिए ऐसा नहीं हो सकता कि हर ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$ सम्मुच्चय परिष्कृत स्थान के एक स्वेच्छाचारी तत्व से अधिक निश्चित होना चाहिए (कहते हैं, एक स्वेच्छाचारी वास्तविक संख्या, या प्राकृतिक संख्याओं का एक स्वेच्छाचारी गणनीय अनुक्रम)। बोल्डफेस पॉइंटक्लास (और सामान्यतः अभ्यास में) की आवश्यकता होती है कि कक्षा में सम्मुच्चय कुछ वास्तविक संख्या के सापेक्ष परिभाषित हो, जिसे दिव्यवक्ता मशीन के रूप में लिया जाता है। उस अर्थ में, बोल्डफेस पॉइंटक्लास में सदस्यता एक निश्चित विशेषता है, भले ही यह पूर्ण निश्चितता नहीं है, लेकिन संभावित रूप से अपरिभाषित वास्तविक संख्या के संबंध में केवल निश्चितता है।

बोल्डफेस पॉइंटक्लास, या कम से कम जिन्हें सामान्यतः माना जाता है, स्फान समानेयता के अंतर्गत बंद हैं; अर्थात्, पॉइंटक्लास में एक सम्मुच्चय दिया गया है, इसकी उलटा छवि एक निरंतर फलन के अंतर्गत (एक उत्पाद स्थान से उस स्थान तक जिसमें दिया गया सम्मुच्चय एक उपसमुच्चय है) भी दिए गए पॉइंटक्लास में है। इस प्रकार एक बोल्डफेस पॉइंटक्लास वैज डिग्री का नीचे की ओर बंद एकसंध है।

लाइटफेस पॉइंटक्लास

बोरेल और प्रक्षेपी पदानुक्रम में प्रभावी वर्णनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांत में समानताएं हैं, जिसमें निश्चितता विशेषता अब एक भविष्यवाणी से संबंधित नहीं है, लेकिन इसे निरपेक्ष बना दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि कोई मूल खुले प्रतिवैस के कुछ संग्रह को ठीक करता है (कहते हैं, बेयर स्थल में, सम्मुच्चय के सम्मुच्चय का संग्रह {x∈ω^ω s प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक निश्चित परिमित अनुक्रम के लिए x} का प्रारंभिक खंड है), फिर खुला, या ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$, सम्मुच्चय को बुनियादी खुले प्रतिवैस के सभी (स्वेच्छाचारी) समुच्च के रूप में चित्रित किया जा सकता है। अनुरूप $\Sigma _{1}^{0}$ सम्मुच्चय, एक लाइटफेस के साथ $\Sigma$, अब ऐसे प्रतिवैस की स्वेच्छाचारी सम्मुच्चय नहीं हैं, बल्कि उनमें से संगणनीय सम्मुच्चय सम्मुच्चय हैं। यानी $\Sigma _{1}^{0}$ एक सम्मुच्चय लाइटफेस है, जिसे प्रभावी रूप से खुला भी कहा जाता है, यदि नैचुरल के परिमित अनुक्रमों का एक संगणनीय सम्मुच्चय S है, जैसे कि दिया गया सम्मुच्चय {x∈ω^oh $\mid$ s सम्मुच्चयों का मिलन है, S में s के लिए x} का प्रारंभिक खंड है।

एक सम्मुच्चय लाइटफेस $\Pi _{1}^{0}$ है अगर यह $\Sigma _{1}^{0}$ का पूरक है। इस प्रकार प्रत्येक $\Sigma _{1}^{0}$ सम्मुच्चय में कम से कम एक तालिका होती है, जो संगणनात्मक फलन का वर्णन करता है, जिसमें मूल विवृत सम्मुच्चय की गणना होती है, जिससे यह बना है; वास्तव में इसमें अपरिमित रूप से ऐसे अनेक सूचकांक होंगे। इसी तरह, एक के लिए एक सूचकांक $\Pi _{1}^{0}$ सम्मुच्चय बी बी के पूरक में बुनियादी खुले सम्मुच्चयों की गणना करने योग्य गणना योग्य फलन का वर्णन करता है।

एक सम्मुच्चय A लाइटफेस $\Sigma _{2}^{0}$ है यदि यह एक संगणनीय अनुक्रम का संघ $\Pi _{1}^{0}$ सम्मुच्चय है (अर्थात, $\Pi _{1}^{0}$ के सूचकांकों की गणना योग्य गणना इस प्रकार है कि A इन सम्मुच्चय का संघ है)। लाइटफेस सम्मुच्चय और उनके सूचकांकों के बीच यह संबंध पुनरावर्ती वर्गांक के माध्यम से लाइटफेस बोरेल पदानुक्रम को परिमितातीत में विस्तारित करने के लिए उपयोग किया जाता है। यह हाइपरअरिथमेटिक पदानुक्रम का उत्पादन करता है, जो बोरेल पदानुक्रम का लाइटफेस समधर्मी है। (हाइपरअरिथमेटिकल सिद्धांत के परिमित स्तरों को अंकगणितीय पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है।)

प्रक्षेपी पदानुक्रम पर एक समान उपचार लागू किया जा सकता है। इसका लाइटफेस समधर्मी विश्लेषणात्मक पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है।

सारांश

प्रत्येक वर्ग कम से कम उतना ही बड़ा है जितना कि उससे ऊपर की कक्षाएँ।

Lightface		Boldface
Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (sometimes the same as Δ0 1)		Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (if defined)
Δ0 1 = recursive		Δ0 1 = clopen
Σ0 1 = recursively enumerable	Π0 1 = co-recursively enumerable	Σ0 1 = G = open	Π0 1 = F = closed
Δ0 2		Δ0 2
Σ0 2	Π0 2	Σ0 2 = Fσ	Π0 2 = Gδ
Δ0 3		Δ0 3
Σ0 3	Π0 3	Σ0 3 = Gδσ	Π0 3 = Fσδ
⋮		⋮
Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0 = arithmetical		Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0 = boldface arithmetical
⋮		⋮
Δ0 α (α recursive)		Δ0 α (α countable)
Σ0 α	Π0 α	Σ0 α	Π0 α
⋮		⋮
Σ0 ωCK 1 = Π0 ωCK 1 = Δ0 ωCK 1 = Δ1 1 = hyperarithmetical		Σ0 ω1 = Π0 ω1 = Δ0 ω1 = Δ1 1 = B = Borel
Σ1 1 = lightface analytic	Π1 1 = lightface coanalytic	Σ1 1 = A = analytic	Π1 1 = CA = coanalytic
Δ1 2		Δ1 2
Σ1 2	Π1 2	Σ1 2 = PCA	Π1 2 = CPCA
Δ1 3		Δ1 3
Σ1 3	Π1 3	Σ1 3 = PCPCA	Π1 3 = CPCPCA
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Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0 = analytical		Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0 = P = projective
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संदर्भ

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0.