स्थानांतरण-मैट्रिक्स विधि (प्रकाशिकी)

For the transfer-matrix method in geometric optics, see Ray transfer matrix analysis. For the transfer-matrix method in statistical physics, see Transfer-matrix method.

एक परत के माध्यम से एक किरण (प्रकाशिकी) का प्रसार

स्थानांतरण-मैट्रिक्स विधि एक स्तरीकृत माध्यम के माध्यम से विद्युत चुम्बकीय तरंग या ध्वनिक तरंगों के प्रसार का विश्लेषण करने के लिए प्रकाशिकी और ध्वनिकी में उपयोग की जाने वाली एक विधि है। यह, उदाहरण के लिए, विरोधी-चिंतनशील कोटिंग्स और ढांकता हुआ दर्पणों के डिजाइन के लिए प्रासंगिक है।

दो माध्यमों (ऑप्टिक्स) के बीच एकल इंटरफ़ेस से प्रकाश का परावर्तन (भौतिकी) फ्रेस्नेल समीकरणों द्वारा वर्णित है। हालाँकि, जब कई विकिपीडिया: इंटरफ़ेस होते हैं, जैसे कि चित्र में, प्रतिबिंब स्वयं भी आंशिक रूप से प्रसारित होते हैं और फिर आंशिक रूप से परिलक्षित होते हैं। सटीक पथ लंबाई के आधार पर, ये प्रतिबिंब विनाशकारी या रचनात्मक रूप से हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) कर सकते हैं। एक परत संरचना का समग्र प्रतिबिंब प्रतिबिंबों की अनंत संख्या का योग है।

ट्रांसफर-मैट्रिक्स विधि इस तथ्य पर आधारित है कि, मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार, विद्युत क्षेत्र के लिए एक माध्यम से दूसरे माध्यम की सीमाओं के पार सरल निरंतरता की स्थिति होती है। यदि क्षेत्र परत की शुरुआत में जाना जाता है, तो परत के अंत में क्षेत्र को एक साधारण मैट्रिक्स (गणित) ऑपरेशन से प्राप्त किया जा सकता है। परतों के ढेर को तब सिस्टम मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो व्यक्तिगत परत मैट्रिक्स का उत्पाद है। विधि के अंतिम चरण में सिस्टम मैट्रिक्स को प्रतिबिंब और संचरण गुणांक में परिवर्तित करना शामिल है।

विद्युत चुम्बकीय तरंगों के लिए औपचारिकता

नीचे वर्णित किया गया है कि सतह के सामान्य पर परतों के ढेर के माध्यम से प्रसारित आवृत्ति के विद्युत चुम्बकीय तरंगों (उदाहरण के लिए प्रकाश) पर स्थानांतरण मैट्रिक्स कैसे लागू होता है। यह एक कोण, अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण), और पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) के साथ मीडिया पर घटना से निपटने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। हम मानते हैं कि ढेर की परतें सामान्य हैं $z\,$ अक्ष और कि एक परत के भीतर के क्षेत्र को तरंग संख्या के साथ बाएं और दाएं-यात्रा तरंग के सुपरपोजिशन के रूप में दर्शाया जा सकता है $k\,$,

$E(z)=E_{r}e^{ikz}+E_{l}e^{-ikz}\,$.

क्योंकि यह मैक्सवेल के समीकरण से विद्युत क्षेत्र का अनुसरण करता है $E\,$ और चुंबकीय क्षेत्र (इसका सामान्यीकृत व्युत्पन्न) ${\textstyle H={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE}{dz}}\,}$ एक सीमा के पार निरंतर होना चाहिए, क्षेत्र को सदिश के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है ${\textstyle (E(z),H(z))\,}$, कहाँ

$H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,$.

चूंकि संबंधित दो समीकरण हैं $E\,$ और $H\,$ को $E_{r}\,$ और $E_{l}\,$, ये दो प्रतिनिधित्व समकक्ष हैं। नए प्रतिनिधित्व में, एक दूरी पर प्रचार $L\,$ की सकारात्मक दिशा में $z\,$ विशेष रैखिक समूह से संबंधित मैट्रिक्स द्वारा वर्णित है SL(2, C)

$M=\left({\begin{array}{cc}\cos kL&iZ_{c}\sin kL\\{\frac {i}{Z_{c}}}\sin kL&\cos kL\end{array}}\right),$

और

$\left({\begin{array}{c}E(z+L)\\H(z+L)\end{array}}\right)=M\cdot \left({\begin{array}{c}E(z)\\H(z)\end{array}}\right)$

ऐसा मैट्रिक्स एक परत के माध्यम से प्रसार का प्रतिनिधित्व कर सकता है यदि $k\,$ माध्यम में तरंग संख्या है और $L\,$ परत की मोटाई: के साथ एक प्रणाली के लिए $N\,$ परतें, प्रत्येक परत $j\,$ एक स्थानांतरण मैट्रिक्स है $M_{j}\,$, कहाँ $j\,$ ऊँचे की ओर बढ़ता है $z\,$ मान। सिस्टम ट्रांसफर मैट्रिक्स तब है

$M_{s}=M_{N}\cdot \ldots \cdot M_{2}\cdot M_{1}.$

आम तौर पर, कोई परत संरचना के प्रतिबिंब और संप्रेषण को जानना चाहता है। यदि लेयर स्टैक शुरू होता है $z=0\,$, फिर नकारात्मक के लिए $z\,$, क्षेत्र के रूप में वर्णित है

$E_{L}(z)=E_{0}e^{ik_{L}z}+rE_{0}e^{-ik_{L}z},\qquad z<0,$

कहाँ $E_{0}\,$ आने वाली लहर का आयाम है, $k_{L}\,$ बाएं माध्यम में तरंग संख्या, और $r\,$ परत संरचना का आयाम (तीव्रता नहीं!) परावर्तन गुणांक है। परत संरचना के दूसरी तरफ, क्षेत्र में एक सही-प्रचारित संचरित क्षेत्र होता है

$E_{R}(z)=tE_{0}e^{ik_{R}z},\qquad z>L',$

कहाँ $t\,$ आयाम संप्रेषण है, $k_{R}\,$ सबसे दाहिने माध्यम में तरंग संख्या है, और $L'$ कुल मोटाई है। अगर ${\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}$ और ${\textstyle H_{R}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{R}}{dz}}\,}$, तब कोई हल कर सकता है

$\left({\begin{array}{c}E(z_{R})\\H(z_{R})\end{array}}\right)=M\cdot \left({\begin{array}{c}E(0)\\H(0)\end{array}}\right)$

मैट्रिक्स तत्वों के संदर्भ में $M_{mn}\,$ सिस्टम मैट्रिक्स का $M_{s}\,$ और प्राप्त करें

$t=2ik_{L}e^{-ik_{R}L}\left[{\frac {1}{-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12}+i(k_{R}M_{11}+k_{L}M_{22})}}\right]$

और

$r=\left[{\frac {(M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}-k_{R}M_{11})}{(-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}+k_{R}M_{11})}}\right]$.

संप्रेषण और परावर्तन (यानी, घटना की तीव्रता के अंश ${\textstyle \left|E_{0}\right|^{2}}$ संचरित और परत द्वारा परिलक्षित) अक्सर अधिक व्यावहारिक उपयोग के होते हैं और इसके द्वारा दिए जाते हैं ${\textstyle T={\frac {k_{R}}{k_{L}}}|t|^{2}\,}$ और $R=|r|^{2}\,$, क्रमशः (सामान्य घटना पर)।

उदाहरण

एक उदाहरण के रूप में, अपवर्तक सूचकांक n और मोटाई d के साथ कांच की एक परत पर विचार करें जो तरंग संख्या k (हवा में) पर हवा में निलंबित है। कांच में तरंग संख्या होती है $k'=nk\,$. स्थानांतरण मैट्रिक्स है

$M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)$.

आयाम प्रतिबिंब गुणांक को सरल बनाया जा सकता है

$r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}$.

यह विन्यास प्रभावी रूप से फैब्री-पेरोट इंटरफेरोमीटर या एटलॉन का वर्णन करता है: के लिए ${\textstyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}$, प्रतिबिम्ब लुप्त हो जाता है।

ध्वनिक तरंगें

ध्वनि तरंगों के लिए ट्रांसफर-मैट्रिक्स विधि लागू करना संभव है। विद्युत क्षेत्र E और इसके व्युत्पन्न F के बजाय, विस्थापन u और तनाव (भौतिकी) $\sigma =Cdu/dz$, कहाँ $C$ पी तरंग मापांक है, इसका इस्तेमाल किया जाना चाहिए।

एबेल्स मैट्रिक्स औपचारिकता

स्तरीकृत इंटरफ़ेस से प्रतिबिंब

एबेल्स मैट्रिक्स विधि लम्बवत संवेग अंतरण, क्यू के एक समारोह के रूप में, स्तरीकृत इंटरफ़ेस से स्पेक्युलर परावर्तकता की गणना करने के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से तेज़ और आसान तरीका है_z:

$Q_{z}={\frac {4\pi }{\lambda }}\sin \theta =2k_{z}$

जहाँ θ आपतित विकिरण का आपतन/परावर्तन कोण है और λ विकिरण की तरंगदैर्घ्य है। मापी गई परावर्तनता प्रकीर्णन लंबाई घनत्व (SLD) में भिन्नता पर निर्भर करती है प्रोफ़ाइल, ρ(z), इंटरफ़ेस के लंबवत। हालांकि प्रकीर्णन लंबाई घनत्व प्रोफ़ाइल आम तौर पर एक निरंतर भिन्न कार्य है, इंटरफेसियल संरचना को अक्सर अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है एक स्लैब मॉडल द्वारा जिसमें मोटाई की परतें (डी_n), बिखरने की लंबाई घनत्व (ρ_n) और खुरदरापन (σ_n,n+1) सुपर- और उप-चरणों के बीच सैंडविच हैं। प्रत्येक परत का वर्णन करने वाले मापदंडों को बदलकर, सैद्धांतिक और मापा परावर्तकता घटता के बीच अंतर को कम करने के लिए एक शोधन प्रक्रिया का उपयोग करता है।

इस विवरण में इंटरफ़ेस को n परतों में विभाजित किया गया है। घटना के बाद से न्यूट्रॉन बीम वेववेक्टर, k, परत n में प्रत्येक परत द्वारा अपवर्तित होता है, द्वारा दिया जाता है:

$k_{n}={\sqrt {{k_{z}}^{2}-4\pi ({\rho }_{n}-{\rho }_{0})}}$

परत n और n+1 के बीच फ्रेस्नेल समीकरण गुणांक तब दिया जाता है:

$r_{n,n+1}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}}$

चूंकि प्रत्येक परत के बीच इंटरफ़ेस पूरी तरह से चिकनी होने की संभावना नहीं है, इसलिए प्रत्येक इंटरफ़ेस की खुरदरापन/फैलाना फ़्रेस्नेल गुणांक को संशोधित करता है और एक त्रुटि फ़ंक्शन द्वारा हिसाब किया जाता है, जैसा कि #Nevot1980|Nevot and Croce (1980) द्वारा वर्णित है।

$r_{n,n+1}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}}\exp(-2k_{n}k_{n+1}{\sigma _{n,n+1}}^{2})$

एक चरण कारक, β, पेश किया जाता है, जो प्रत्येक परत की मोटाई के लिए जिम्मेदार होता है।

$\beta _{0}=0$

$\beta _{n}=ik_{n}d_{n}$

कहाँ $i^{2}=-1$. एक विशेषता मैट्रिक्स, सी_n फिर प्रत्येक परत के लिए गणना की जाती है।

$c_{n}=\left[{\begin{array}{cc}\exp \left(\beta _{n}\right)&r_{n,n+1}\exp \left(\beta _{n}\right)\\r_{n,n+1}\exp \left(-\beta _{n}\right)&\exp \left(-\beta _{n}\right)\end{array}}\right]$

परिणामी मैट्रिक्स को इन विशेषता मैट्रिक्स के आदेशित उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है

$M=\prod _{n}c_{n}$

जिससे परावर्तन की गणना इस प्रकार की जाती है:

$R=\left|{\frac {M_{10}}{M_{00}}}\right|^{2}$

यह भी देखें

• न्यूट्रॉन परावर्तक
• इलिप्सोमेट्री
• जोन्स कैलकुलस
• एक्स-रे परावर्तकता

बिखरने-मैट्रिक्स विधि विधि

अग्रिम पठन

• Multilayer Reflectivity: first-principles derivation of the transmission and reflection probabilities from a multilayer with complex indices of refraction.
• Layered Materials and Photonic Band Diagrams (Lecture 23) in MIT Open Course Electronic, Optical and Magnetic Properties of Materials.
• EM Wave Propagation Through Thin Films & Multilayers (Lecture 13) in MIT Open Course Nano-to-Macro Transport Processes. Includes short discussion acoustic waves.

बाहरी संबंध

There are a number of computer programs that implement this calculation:

• FreeSnell is a stand-alone computer program that implements the transfer-matrix method, including more advanced aspects such as granular films.
• Thinfilm is a web interface that implements the transfer-matrix method, outputting reflection and transmission coefficients, and also ellipsometric parameters Psi and Delta.
• Luxpop.com is another web interface that implements the transfer-matrix method.
• Transfer-matrix calculating programs in Python and in Mathematica.
• EMPy ("Electromagnetic Python") software.
• motofit is a program for analysing neutron and X-ray reflectometry data.
• OpenFilters is a program for designing optical filters.
• Py_matrix is an open source Python code that implements the transfer-matrix method for multilayers with arbitrary dielectric tensors. It was especially created for plasmonic and magnetoplasmonic calculations.
• In-browser calculator and fitter Javascript interactive reflectivity calculator using matrix method and Nevot-Croce roughness approximation (calculation kernel converted from C via Emscripten)