प्राकृतिक निस्पंदन

गणित और सांख्यिकी में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में, स्टोकेस्टिक प्रक्रिया से जुड़ा उत्पन्न निस्पंदन या प्राकृतिक निस्पंदन प्रक्रिया से जुड़ा एक निस्पंदन (संभाव्यता सिद्धांत) है जो हर समय अपने पिछले व्यवहार को रिकॉर्ड करता है। यह एक अर्थ में दी गई प्रक्रिया का अध्ययन करने के लिए उपलब्ध सबसे सरल फिल्ट्रेशन है: प्रक्रिया से संबंधित सभी जानकारी, और केवल वह जानकारी, प्राकृतिक फिल्ट्रेशन में उपलब्ध है।

अधिक औपचारिक रूप से, चलो (Ω, एफ, पी) एक प्रायिकता स्थान हो; चलो (मैं, ≤) कुल ऑर्डर सूचकांक सेट हो; चलो (एस, Σ) एक औसत दर्जे का स्थान हो; चलो 'एक्स': आई × Ω → एस एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया हो। तब X के संबंध में F के प्राकृतिक फिल्ट्रेशन को फिल्ट्रेशन F के रूप में परिभाषित किया जाता है_•^{एक्स </सुप> = (एफ_iएक्स)_i∈I द्वारा दिए गए}

$F_{i}^{X}=\sigma \left\{\left.X_{j}^{-1}(A)\right|j\in I,j\leq i,A\in \Sigma \right\},$

यानी, Ω पर सबसे छोटा सिग्मा बीजगणित|σ-बीजगणित जिसमें i तक के समय के लिए S के Σ-मापने योग्य उपसमुच्चय की सभी पूर्व-छवियाँ शामिल हैं।

कई उदाहरणों में, इंडेक्स सेट I प्राकृतिक संख्या 'N' (संभवतः 0 सहित) या एक अंतराल (गणित) [0, T] या [0, +∞] है; राज्य स्थान S अक्सर वास्तविक रेखा 'R' या यूक्लिडियन अंतरिक्ष 'R' होता है^एन.

कोई भी स्टोचैस्टिक प्रक्रिया X अपने प्राकृतिक निस्पंदन के संबंध में एक अनुकूलित प्रक्रिया है।

संदर्भ

• Delia Coculescu; Ashkan Nikeghbali (2010), "Filtrations", Encyclopedia of Quantitative Finance

यह भी देखें

• निस्पंदन (गणित)

श्रेणी:स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं