क्वांटम मोंटे कार्लो

क्वांटम मोंटे कार्लो में कम्प्यूटेशनल विधियों का एक बड़ा परिवार शामिल है जिसका सामान्य उद्देश्य जटिल क्वांटम प्रणाली का अध्ययन है। इन दृष्टिकोणों में से एक प्रमुख लक्ष्य क्वांटम बहु-निकाय समस्या का एक विश्वसनीय समाधान (या एक सटीक सन्निकटन) प्रदान करना है। क्वांटम मॉन्टे कार्लो के विविध स्वाद बहु-शरीर की समस्या के विभिन्न योगों में उत्पन्न होने वाले बहु-आयामी इंटीग्रल को संभालने के लिए मोंटे कार्लो पद्धति के सामान्य उपयोग को साझा करते हैं।

क्वांटम मोंटे कार्लो विधियाँ माध्य-क्षेत्र सिद्धांत से परे जा रहे तरंग क्रिया में एन्कोडेड जटिल कई-शरीर प्रभावों के प्रत्यक्ष उपचार और विवरण की अनुमति देती हैं। विशेष रूप से, ज्यामितीय हताशा के बिना बोसॉन सिस्टम के स्थिर गुणों का अध्ययन करने के लिए संख्यात्मक रूप से सटीक और बहुपद-स्केलिंग कलन विधि मौजूद हैं। फर्मियन के लिए, उनके स्थैतिक गुणों और संख्यात्मक रूप से सटीक घातीय स्केलिंग क्वांटम मोंटे कार्लो एल्गोरिदम के लिए बहुत अच्छा सन्निकटन मौजूद है, लेकिन दोनों में से कोई भी नहीं है।

पृष्ठभूमि

सिद्धांत रूप में, किसी भी भौतिक प्रणाली को कई-निकाय श्रोडिंगर समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है जब तक कि घटक कण बहुत तेजी से आगे नहीं बढ़ रहे हों; अर्थात्, वे प्रकाश की तुलना में गति से नहीं चल रहे हैं, और सापेक्षता के प्रभाव के सिद्धांत को उपेक्षित किया जा सकता है। बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट्स और तरल हीलियम जैसे superfluid में संघनित पदार्थ भौतिकी में इलेक्ट्रॉनिक समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए यह सच है। किसी दिए गए सिस्टम के लिए श्रोडिंगर समीकरण को हल करने की क्षमता सामग्री विज्ञान से लेकर जटिल जैविक प्रणालियों तक के महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों के साथ, इसके व्यवहार की भविष्यवाणी की अनुमति देती है।

हालांकि कठिनाई यह है कि श्रोडिंगर समीकरण को हल करने के लिए मल्टी-बॉडी हिल्बर्ट अंतरिक्ष में कई-बॉडी वेव फ़ंक्शन के ज्ञान की आवश्यकता होती है, जिसमें आमतौर पर कणों की संख्या में बड़े आकार का आकार होता है। उचित समय में आधुनिक समांतर कंप्यूटिंग प्रौद्योगिकी के लिए भी कणों की एक बड़ी संख्या के लिए इसका समाधान आम तौर पर असंभव है। परंपरागत रूप से, एक-पिंड आणविक कक्षा के एंटीसिमेट्रिक टेंसर फ़ंक्शन के रूप में कई-बॉडी वेव फ़ंक्शन के लिए सन्निकटन^[1] श्रोडिंगर समीकरण का प्रबंधनीय उपचार करने के लिए उपयोग किया गया है। हालांकि, इस तरह के सूत्रीकरण में कई कमियां हैं, या तो क्वांटम कई-निकाय सहसंबंधों के प्रभाव को सीमित करते हैं, जैसा कि हार्ट्री-फॉक (एचएफ) सन्निकटन के मामले में, या बहुत धीरे-धीरे अभिसरण करते हैं, जैसा कि क्वांटम रसायन विज्ञान में कॉन्फ़िगरेशन इंटरैक्शन अनुप्रयोगों में होता है।

क्वांटम मोंटे कार्लो इन अनुमानों से परे कई-शरीर की समस्या और कई-शरीर तरंग कार्यों का सीधे अध्ययन करने का एक तरीका है। सबसे उन्नत क्वांटम मोंटे कार्लो दृष्टिकोण गैर-निराश इंटरेक्टिंग बोसॉन सिस्टम के लिए कई-निकाय समस्या का सटीक समाधान प्रदान करता है, जबकि इंटरेक्टिंग फर्मियन सिस्टम का अनुमानित विवरण प्रदान करता है। पथ अभिन्न मोंटे कार्लो और परिमित-तापमान सहायक-क्षेत्र मोंटे कार्लो के अपवाद के साथ, घनत्व मैट्रिक्स की गणना करने वाले अधिकांश तरीकों का उद्देश्य सिस्टम के ग्राउंड स्टेट वेवफंक्शन की गणना करना है। स्थैतिक गुणों के अलावा, समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण को भी हल किया जा सकता है, यद्यपि केवल लगभग, समय-विकसित लहर फ़ंक्शन के कार्यात्मक रूप को प्रतिबंधित करते हुए, जैसा कि समय-निर्भर परिवर्तनीय मोंटे कार्लो में किया जाता है।

संभाव्यता के दृष्टिकोण से, श्रोडिंगर समीकरण से जुड़े शीर्ष eigenvalues और संबंधित जमीनी राज्य eigenफ़ंक्शंस की गणना फेनमैन-केएसी पथ एकीकरण समस्याओं के संख्यात्मक समाधान पर निर्भर करती है।^[2]^[3]