द्वैध घातीय फलन

एकल घातीय फ़ंक्शन (नीला वक्र) की तुलना में एक दोहरा घातीय फ़ंक्शन (लाल वक्र)।

एक दोहरा घातीय फ़ंक्शन एक स्थिरांक (गणित) है जिसे एक घातांक की शक्ति तक बढ़ाया जाता है। सामान्य सूत्र है $f(x)=a^{b^{x}}=a^{(b^{x})}$ (जहाँ a>1 और b>1), जो एक घातीय फ़ंक्शन की तुलना में बहुत तेज़ी से बढ़ता है। उदाहरण के लिए, यदि a = b = 10:

• एफ(एक्स) = 10^10x
• एफ(0) = 10
• एफ(1) = 10¹⁰
• एफ(2) = 10¹⁰⁰इसे काट दें
• एफ(3) = 10¹⁰⁰⁰
• एफ(100) = 10¹⁰¹⁰⁰ = GOOGOLPLEX .

गुणनखंड घातीय कार्यों की तुलना में तेजी से बढ़ते हैं, लेकिन दोगुने घातीय कार्यों की तुलना में बहुत धीमी गति से बढ़ते हैं। हालाँकि, tetration और एकरमैन फ़ंक्शन तेजी से बढ़ते हैं। विभिन्न कार्यों की वृद्धि दर की तुलना के लिए बिग ओ अंकन देखें।

दोहरे घातीय फ़ंक्शन का व्युत्क्रम लघुगणक#डबल लघुगणक लॉग(लॉग(x)) है।

दोगुना घातीय अनुक्रम

कहा जाता है कि धनात्मक पूर्णांकों (या वास्तविक संख्याओं) के अनुक्रम में दोगुनी घातीय वृद्धि दर होती है यदि फ़ंक्शन दे रहा हो nअनुक्रम का वां पद ऊपर और नीचे दोगुने घातीय फलनों से घिरा है n. उदाहरणों में शामिल

• फ़र्मेट संख्याएँ
  $$F(m)=2^{2^{m}}+1$$
• हार्मोनिक प्राइम्स: प्राइम्स पी, जिसमें अनुक्रम 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p 0, 1, 2, 3, ... से अधिक है
  0 से शुरू होने वाली पहली कुछ संख्याएं हैं 2, 5, 277, 5195977, ... (sequence A016088 in the OEIS)
• डबल मेरसेन नंबर
  $$MM(p)=2^{2^{p}-1}-1$$
• सिल्वेस्टर अनुक्रम के तत्व (sequence A000058 in the OEIS)
  $$s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor$$
  जहां E ≈ 1.264084735305302 वर्दी का स्थिरांक है (sequence A076393 in the OEIS).
• Arity|k-ary बूलियन फ़ंक्शन की संख्या:
  $$2^{2^{k}}$$
• अभाज्य संख्याएँ 2, 11, 1361, ... (sequence A051254 in the OEIS)
  $$a(n)=\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor$$
  जहां A ≈ 1.306377883863 मिल्स स्थिरांक है।

मैं अल्फ्रेड हूं और नील स्लोएन ने देखा कि कई महत्वपूर्ण पूर्णांक अनुक्रमों में, प्रत्येक पद एक स्थिरांक और पिछले पद का वर्ग होता है। वे दिखाते हैं कि ऐसे अनुक्रमों को मध्य घातांक 2 के साथ दोगुने घातीय फलन के मानों को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करके बनाया जा सकता है। Ionaşcu और Stănică एक अनुक्रम के लिए कुछ और सामान्य पर्याप्त स्थितियों का वर्णन करते हैं जो दोगुने घातीय अनुक्रम और एक स्थिरांक का फर्श हो।

अनुप्रयोग

एल्गोरिदमिक जटिलता

कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, 2-EXPTIME दोगुने घातीय समय में हल करने योग्य निर्णय समस्याओं का वर्ग है। यह AEXPSPACE के समतुल्य है, घातीय स्थान में एक वैकल्पिक ट्यूरिंग मशीन द्वारा हल की जा सकने वाली निर्णय समस्याओं का सेट, और EXPSPACE का एक सुपरसेट है। 2-EXPTIME में एक समस्या का एक उदाहरण जो EXPTIME में नहीं है, वह प्रेस्बर्गर अंकगणित में कथनों को सिद्ध या अस्वीकृत करने की समस्या है। एल्गोरिदम के डिजाइन और विश्लेषण में कुछ अन्य समस्याओं में, एल्गोरिदम के विश्लेषण के बजाय उसके डिजाइन के भीतर दोगुने घातीय अनुक्रमों का उपयोग किया जाता है। उत्तल हल्स की गणना के लिए चैन का एल्गोरिदम एक उदाहरण है, जो परीक्षण मान एच का उपयोग करके गणनाओं का अनुक्रम निष्पादित करता है_i = 2²ⁱ (अंतिम आउटपुट आकार के लिए अनुमान), O(n log h) समय ले रहा है_i) अनुक्रम में प्रत्येक परीक्षण मान के लिए। इन परीक्षण मूल्यों की दोहरी घातीय वृद्धि के कारण, अनुक्रम में प्रत्येक गणना के लिए समय i के एक फ़ंक्शन के रूप में तेजी से बढ़ता है, और कुल समय अनुक्रम के अंतिम चरण के समय पर हावी होता है। इस प्रकार, एल्गोरिथ्म के लिए कुल समय O(nलॉगh) है जहां h वास्तविक आउटपुट आकार है।

संख्या सिद्धांत

कुछ संख्या सिद्धांत सीमाएँ दोगुनी घातीय हैं। n भिन्न अभाज्य गुणनखंडों वाली विषम पूर्ण संख्याएँ अधिकतम ज्ञात होती हैं $2^{4^{n}}$, नील्सन (2003) का परिणाम। उत्तल पॉलीहेड्रा में k ≥ 1 पूर्णांक बिंदुओं के साथ डी-आयामी पूर्णांक जाली में एक बहुवचन की अधिकतम मात्रा अधिकतम होती है

$k\cdot (8d)^{d}\cdot 15^{d\cdot 2^{2d+1}},$

पिखुरको (2001) का परिणाम। जे. सी. पी. मिलर और डेविड व्हीलर (कंप्यूटर वैज्ञानिक) द्वारा 1951 में ईडीएसएसी1 पर 79 अंकों का प्राइम पाए जाने के बाद से इलेक्ट्रॉनिक युग में सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या मोटे तौर पर वर्ष के दोहरे घातीय फलन के रूप में विकसित हुई है।

सैद्धांतिक जीवविज्ञान

जनसंख्या गतिशीलता में मानव जनसंख्या की वृद्धि को कभी-कभी दोगुनी घातीय माना जाता है। वरफोलोमेयेव और गुरेविच प्रयोगात्मक रूप से फिट

$N(y)=375.6\cdot 1.00185^{1.00737^{y-1000}}\,$

जहां N(y) वर्ष y में जनसंख्या लाखों में है।

भौतिकी

स्व-स्पंदन के सभी थरथरानवाला मॉडल में, आयाम का लघुगणक समय के साथ तेजी से बदलता है (बड़े आयामों के लिए), इस प्रकार आयाम समय के दोगुने घातीय कार्य के रूप में भिन्न होता है। डेंड्राइटिक मैक्रो मोलेक्यूल ्स को दोगुने-घातीय तरीके से बढ़ते देखा गया है।