परिबद्ध संचालिका

Not to be confused with बाउंडेड फ़ंक्शन (सेट सिद्धांत).

कार्यात्मक विश्लेषण और ऑपरेटर सिद्धांत में, एक बाउंडेड लीनियर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) $X$और $Y$के बीच एक रैखिक परिवर्तन $L:X\to Y$ है जो $X$ के बाउंडेड सबसेट को $Y.$के बाउंडेड सबसेट में मैप करता है। विशेष प्रकार की टीवीएस), तो $L$ परिबद्ध है यदि और केवल यदि कुछ $M>0$ उपस्थित है जैसे कि सभी $x\in X,$ के लिए है

$$\|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}.$$

ऐसे सबसे छोटे $M$ को $L$ का संचालिका मानदंड कहा जाता है और इसे $\|L\|.$ द्वारा निरूपित किया जाता है। मानक स्थानों के बीच एक परिबद्ध संचालिका निरंतर होती है और इसके विपरीत है।

एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर की अवधारणा को मानक स्थानों से लेकर सभी टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थानों तक विस्तारित किया गया है।

कार्यात्मक विश्लेषण के बाहर, जब एक फ़ंक्शन $f:X\to Y$ को "बाउंडेड" कहा जाता है तो इसका सामान्यतः अर्थ होता है कि इसकी छवि $f(X)$ इसके कोडोमेन का एक बाउंडेड उपसमुच्चय है। एक रेखीय मानचित्र में यह गुण केवल तभी होता है जब यह समान रूप से हो $0.$ परिणाम स्वरुप कार्यात्मक विश्लेषण में, जब एक रैखिक ऑपरेटर को "परिबद्ध" कहा जाता है तो इसका अर्थ इस अमूर्त अर्थ में (एक परिबद्ध छवि होने का) कभी नहीं होता है

मानक सदिश स्थानों में

प्रत्येक परिबद्ध संचालिका $0.$ पर निरंतर लिप्सचिट्ज़ है।

सीमा और निरंतरता की समानता

मानक स्थानों के बीच एक रैखिक ऑपरेटर परिबद्ध है यदि और केवल यदि यह सतत रैखिक ऑपरेटर है।

Proof

Suppose that $L$ is bounded. Then, for all vectors $x,h\in X$ with $h$ nonzero we have

$$\|L(x+h)-L(x)\|=\|L(h)\|\leq M\|h\|.$$

Letting $h$ go to zero shows that $L$ is continuous at $x.$ Moreover, since the constant $M$ does not depend on $x,$ this shows that in fact $L$ is uniformly continuous, and even Lipschitz continuous.

Conversely, it follows from the continuity at the zero vector that there exists a $\delta >0$ such that $\|L(h)\|=\|L(h)-L(0)\|\leq 1$ for all vectors $h\in X$ with $\|h\|\leq \delta .$ Thus, for all non-zero $x\in X,$ one has

$$\|Lx\|=\left\Vert {\|x\| \over \delta }L\left(\delta {x \over \|x\|}\right)\right\Vert ={\|x\| \over \delta }\left\Vert L\left(\delta {x \over \|x\|}\right)\right\Vert \leq {\|x\| \over \delta }\cdot 1={1 \over \delta }\|x\|.$$

This proves that $L$ is bounded. Q.E.D.

टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस में

दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) के बीच एक लीनियर ऑपरेटर $F:X\to Y$ को एक बाउंडेड लीनियर ऑपरेटर कहा जाता है या बस बाउंड किया जाता है यदि जब भी $B\subseteq X$ को $X$ में बाउंड किया जाता है तो $F(B)$ को बाउंड किया जाता है $Y.$ यदि मूल का प्रत्येक निकटतम इसे अवशोषित करता है, तो टीवीएस के एक उपसमुच्चय को परिबद्ध (या अधिक स्पष्ट रूप से, वॉन न्यूमैन परिबद्ध) कहा जाता है। एक मानक स्थान में (और यहां तक कि एक अर्ध-मानक स्थान में भी), एक उपसमुच्चय वॉन न्यूमैन से घिरा होता है यदि और केवल तभी जब यह मानक से घिरा हो। इसलिए, मानक स्थानों के लिए, वॉन न्यूमैन बाउंडेड सेट की धारणा मानक-बाउंडेड उपसमुच्चय की सामान्य धारणा के समान है।

निरंतरता और सीमा

टीवीएस के बीच प्रत्येक क्रमिक रूप से निरंतर रैखिक ऑपरेटर एक बाध्य ऑपरेटर है। इसका तात्पर्य यह है कि मेट्रिज़ेबल टीवीएस के बीच प्रत्येक सतत रैखिक ऑपरेटर परिबद्ध है। चूँकि, सामान्य रूप से दो टीवीएस के बीच एक बंधे हुए रैखिक ऑपरेटर को निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है।

यह सूत्रीकरण किसी को सामान्य टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थानों के बीच बंधे हुए ऑपरेटरों को एक ऑपरेटर के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देता है जो बंधे हुए सेटों को बंधे हुए सेटों में ले जाता है। इस संदर्भ में, यह अभी भी सत्य है कि प्रत्येक सतत मानचित्र परिबद्ध है, चूँकि इसका विपरीत विफल रहता है; एक बाउंडेड ऑपरेटर को निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है। इसका अर्थ यह भी है कि इस संदर्भ में बाध्यता अब लिप्सचिट्ज़ निरंतरता के समान नहीं है।

यदि डोमेन एक बोर्नोलॉजिकल स्पेस है (उदाहरण के लिए, एक मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस, एक फ़्रेचेट स्पेस, एक मानकीकृत स्पेस) तो किसी भी अन्य स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों में एक रैखिक ऑपरेटरों को बाध्य किया जाता है यदि और केवल यदि यह निरंतर है। एलएफ रिक्त स्थान के लिए, एक अशक्त कॉनवर्स धारण करता है; एलएफ स्पेस से कोई भी घिरा हुआ रैखिक मानचित्र क्रमिक रूप से निरंतर होता है।

यदि $F:X\to Y$ दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थानों के बीच एक रैखिक ऑपरेटर है और यदि कोई निकट उपस्थित है $U$ में उत्पत्ति का $X$ ऐसा है कि $F(U)$ का एक परिबद्ध उपसमुच्चय है $Y,$ तब $F$ सतत है. इस तथ्य को अधिकांशतः यह कहकर संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है कि एक रैखिक ऑपरेटर जो मूल के कुछ निकट पर घिरा हुआ है, आवश्यक रूप से निरंतर है। विशेष रूप से, कोई भी रैखिक कार्यात्मक जो मूल के कुछ निकट पर घिरा हुआ है, निरंतर है (यथार्त इसका डोमेन एक मानक स्थान नहीं है)।

बोर्नोलॉजिकल स्पेस

Main article: बोर्नोलॉजिकल स्पेस

बोर्नोलॉजिकल स्पेस वास्तव में वे स्थानीय उत्तल स्थान हैं जिनके लिए प्रत्येक स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में घिरा रैखिक ऑपरेटर आवश्यक रूप से निरंतर होता है।वह है, स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस $X$ यदि और केवल प्रत्येक स्थानीय उत्तल टीवीएस के लिए यह एक बोर्नोलॉजिकल स्पेस $Y,$है एक रैखिक ऑपरेटर $F:X\to Y$ सतत है यदि और केवल यदि यह परिबद्ध है।

प्रत्येक मानक स्थान जन्मजात होता है।

परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों की विशेषताएँ

माना $F:X\to Y$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के बीच एक रैखिक ऑपरेटर बनें (जरूरी नहीं कि हॉसडॉर्फ)।

निम्नलिखित समतुल्य हैं:

1. $F$ (स्थानीय रूप से) घिरा हुआ है;
2. (परिभाषा): $F$ इसके डोमेन के परिबद्ध उपसमुच्चय को इसके कोडोमेन के परिबद्ध उपसमुच्चय से मानचित्रित करता है;
3. $F$ किसी फ़ंक्शन की छवि $\operatorname {Im} F:=F(X)$ के परिबद्ध उपसमुच्चय को उसके डोमेन के परिबद्ध उपसमुच्चय से मैप करता है
4. $F$ प्रत्येक अशक्त अनुक्रम को एक बंधे हुए अनुक्रम में मैप करता है;
   • परिभाषा के अनुसार एक शून्य अनुक्रम एक अनुक्रम है जो मूल में परिवर्तित होता है।
   • इस प्रकार कोई भी रैखिक मानचित्र जो मूल बिंदु पर क्रमिक रूप से निरंतर होता है, आवश्यक रूप से एक घिरा हुआ रैखिक मानचित्र होता है।
5. $F$ प्रत्येक मैके अभिसरण शून्य अनुक्रम को $Y.$ एक सीमित उपसमुच्चय में मैप करता है
   • एक अनुक्रम $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ को $X$ में मूल के साथ अभिसरण मैके कहा जाता है यदि सकारात्मक वास्तविक संख्या का एक भिन्न अनुक्रम $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty$ उपस्थित है जैसे कि $r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $X.$ का एक घिरा उपसमुच्चय है।

यदि $X$ और $Y$ स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस हैं तो निम्नलिखित को इस सूची में जोड़ा जा सकता है:

<ली>$F$ मानचित्र बाउंडेड बिल्कुल उत्तल बाउंडेड डिस्क में सेट।<ली>$F^{-1}$ मानचित्र जन्माहारी समुच्चय डिस्क को सेट किया $Y$ बोर्निवोरस डिस्क में $X.$

यदि $X$ एक बोर्नोलॉजिकल स्पेस है और $Y$ स्थानीय रूप से उत्तल है तो निम्नलिखित को इस सूची में जोड़ा जा सकता है:

<ली>$F$ अपने डोमेन के एक बिंदु पर (या समकक्ष, प्रत्येक पर) अनुक्रमिक निरंतरता है।
• दो टीवीएस के बीच अनुक्रमिक निरंतरता रेखीय मानचित्र हमेशा परिबद्ध होता है, लेकिन इसके विपरीत को धारण करने के लिए अतिरिक्त धारणाओं की आवश्यकता होती है (जैसे कि डोमेन का जन्मजात होना और कोडोमेन का स्थानीय रूप से उत्तल होना)।
• यदि डोमेन $X$ तो, यह भी एक अनुक्रमिक स्थान है $F$ अनुक्रमिक निरंतरता है यदि और केवल यदि यह निरंतर है।
<ली>$F$ एक बिंदु पर अनुक्रमिक निरंतरता है।

उदाहरण

• दो परिमित-आयामी मानक स्थानों के बीच कोई भी रैखिक ऑपरेटर घिरा हुआ है, और ऐसे ऑपरेटर को कुछ निश्चित मैट्रिक्स (गणित) द्वारा गुणा के रूप में देखा जा सकता है।
• परिमित-आयामी मानक स्थान पर परिभाषित कोई भी रैखिक ऑपरेटर परिबद्ध है।
• अनुक्रम स्थान पर $c_{00}$ वास्तविक संख्याओं के अंततः शून्य अनुक्रमों पर विचार किया गया $\ell ^{1}$ मानदंड, वास्तविक संख्याओं का रैखिक ऑपरेटर जो किसी अनुक्रम का योग लौटाता है, ऑपरेटर मानक 1 के साथ परिबद्ध होता है। यदि समान स्थान को इसके साथ माना जाता है $\ell ^{\infty }$ मानक, वही ऑपरेटर बाध्य नहीं है।
• कई अभिन्न परिवर्तन परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर हैं। उदाहरण के लिए, यदि
  $$K:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R}$$
  एक सतत कार्य है, फिर ऑपरेटर $L$ अंतरिक्ष पर परिभाषित $C[a,b]$ निरंतर कार्यों का $[a,b]$ समान मानदंड और अंतरिक्ष में मूल्यों से संपन्न $C[c,d]$ साथ $L$ सूत्र द्वारा दिया गया है
  $$(Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,$$
  घिरा है। यह ऑपरेटर वास्तव में एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है। कॉम्पैक्ट ऑपरेटर, बाउंडेड ऑपरेटरों का एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं।
• लाप्लास ऑपरेटर
  $$\Delta :H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\,$$
  (फ़ंक्शन का इसका डोमेन एक सोबोलेव स्थान है और यह वर्ग-अभिन्न फ़ंक्शंस के स्पेस में मान लेता है) घिरा हुआ है।
• एलपी स्पेस पर शिफ्ट ऑपरेटर $\ell ^{2}$ सभी अनुक्रमों का $\left(x_{0},x_{2},x_{2},\ldots \right)$ वास्तविक संख्याओं के साथ $x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,$
  $$L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\left(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)$$
  घिरा है। इसका ऑपरेटर मानक आसानी से देखा जा सकता है $1.$

असंबद्ध रैखिक ऑपरेटर

होने देना $X$ सभी त्रिकोणमितीय बहुपदों का स्थान हो $[-\pi ,\pi ],$ आदर्श के साथ

$$\|P\|=\int _{-\pi }^{\pi }\!|P(x)|\,dx.$$

परिचालक $L:X\to X$ जो एक बहुपद को उसके व्युत्पन्न से मैप करता है, वह परिबद्ध नहीं है। वास्तव में, के लिए $v_{n}=e^{inx}$ साथ $n=1,2,\ldots ,$ अपने पास $\|v_{n}\|=2\pi ,$ जबकि $\|L(v_{n})\|=2\pi n\to \infty$ जैसा $n\to \infty ,$ इसलिए $L$ बाध्य नहीं है.

परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों के स्थान के गुण

• से सभी परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों का स्थान $X$ को $Y$ द्वारा निरूपित किया जाता है $B(X,Y)$ और एक मानक सदिश समष्टि है।
• यदि $Y$ बनच है, तो वैसा है $B(X,Y).$
• जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दोहरे स्थान बनच हैं।
• किसी के लिए $A\in B(X,Y),$ का कर्नेल $A$ का एक बंद रैखिक उपस्थान है $X.$
• यदि $B(X,Y)$ बनच है और $X$ तो यह गैर-तुच्छ है $Y$ बानाच है.

यह भी देखें

• Bounded set (topological vector space)
• Contraction (operator theory) – Bounded operators with sub-unit norm
• Discontinuous linear map
• Continuous linear operator
• Local boundedness
• Norm (mathematics) – Length in a vector space
• Operator algebra – Branch of functional analysis
• Operator norm
• Operator theory – Mathematical field of study
• Seminorm
• Unbounded operator – Linear operator defined on a dense linear subspace

ग्रन्थसूची

• "Bounded operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.