गॉसियन तर्कसंगत

गणित में, गॉसियन परिमेय संख्या p + qi रूप की एक जटिल संख्या है, जहां p और q दोनों परिमेय संख्याएं हैं। सभी गाऊसी परिमेय का समुच्चय गाऊसी परिमेय क्षेत्र (गणित) बनाता है, जिसे Q(i) कहा जाता है, जो परिमेय Q के क्षेत्र में काल्पनिक संख्या i को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

क्षेत्र के गुण

गाऊसी परिमेय का क्षेत्र एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का उदाहरण प्रदान करता है, जो एक द्विघात क्षेत्र और एक साइक्लोटोमिक क्षेत्र दोनों है (चूंकि i एकता का चौथा मूल है)। सभी द्विघात क्षेत्रों की तरह यह क्रम दो के गैलोज़ समूह चक्रीय समूह के साथ 'क्यू' का गैलोज़ विस्तार है, इस मामले में जटिल संयुग्मन द्वारा उत्पन्न होता है, और इस प्रकार कंडक्टर (बीजगणितीय संख्या सिद्धांत) 4 के साथ 'क्यू' का एबेलियन विस्तार है। सामान्यतः साइक्लोटोमिक क्षेत्रों की तरह, गाऊसी परिमेय का क्षेत्र न तो क्रमित क्षेत्र है और न ही पूर्ण स्थान (मीट्रिक स्थान के रूप में)। गॉसियन पूर्णांक Z[i] Q(i) के पूर्णांकों का वलय बनाते हैं। सभी गाऊसी परिमेय का समुच्चय गणनीय समुच्चय है।

गॉसियन परिमेय का क्षेत्र भी प्राकृतिक आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ Q पर एक द्वि-आयामी सदिश स्थल है $\{1,i\}$.

फोर्ड गोले

फोर्ड सर्कल की अवधारणा को तर्कसंगत संख्याओं से गाऊसी तर्कसंगत तक सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिससे फोर्ड क्षेत्र मिलते हैं। इस निर्माण में, जटिल संख्याओं को त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक विमान के रूप में एम्बेडेड किया जाता है, और इस विमान में प्रत्येक गाऊसी तर्कसंगत बिंदु के लिए उस बिंदु पर विमान के स्पर्शरेखा वाले एक गोले का निर्माण किया जाता है। एक गाऊसी तर्कसंगत के लिए निम्नतम शब्दों में दर्शाया गया है $p/q$, इस गोले की त्रिज्या होनी चाहिए $1/q{\bar {q}}$ कहाँ ${\bar {q}}$ के जटिल संयुग्म का प्रतिनिधित्व करता है $q$. परिणामी गोले गाऊसी परिमेय के जोड़े के लिए स्पर्शरेखा हैं $P/Q$ और $p/q$ साथ $|Pq-pQ|=1$, और अन्यथा वे एक दूसरे को नहीं काटते हैं।