सुपरफैक्टोरियल

गणित में और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में एक धनात्मक पूर्णांक $n$ का सुपरफैक्टोरियल पहले $n$ फैक्टोरियल का उत्पाद होता है। वे जॉर्डन पोलिया संख्याओं का एक विशेष स्थिति हैं जो फैक्टोरियल के सही संग्रह के उत्पाद हैं।

परिभाषा

nवें सुपरफैक्टोरियल ${\mathit {sf}}(n)$ को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है

$${\begin{aligned}{\mathit {sf}}(n)&=1!\cdot 2!\cdot \cdots n!=\prod _{i=1}^{n}i!=n!\cdot {\mathit {sf}}(n-1)\\&=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot \cdots n=\prod _{i=1}^{n}i^{n+1-i}.\\\end{aligned}}$$

उत्पाद के लिए सामान्य परंपरा का पालन करते हुए, 0 का सुपरफैक्टोरियल 1 है। सुपरफैक्टोरियल का पूर्णांक अनुक्रम,${\mathit {sf}}(0)=1$ से प्रारंभ होता है

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, 5056584744960000, ... (sequence A000178 in the OEIS)

गुण

जिस तरह फैक्टोरियल को गामा फलन द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है, उसी तरह सुपरफैक्टोरियल को बार्न्स जी-फलन द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है।

फैक्टोरियल मॉड्यूलर अंकगणित अभाज्य संख्या संख्याओं के व्यवहार पर विल्सन के प्रमेय के एनालॉग के अनुसार, जब $p$ समता (गणित) अभाज्य संख्या है

$${\mathit {sf}}(p-1)\equiv (p-1)!!{\pmod {p}},$$

जहाँ $!!$ दोहरा भाज्य के लिए संकेतन है।

प्रत्येक पूर्णांक $k$ के लिए , जो नंबर ${\mathit {sf}}(4k)/(2k)!$ वर्ग संख्या है. इसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है कि, सूत्र में ${\mathit {sf}}(4k)$ फैक्टोरियल के उत्पाद के रूप में, फैक्टोरियल में से को छोड़कर (मध्य वाला, $(2k)!$) का परिणाम वर्गाकार उत्पाद होता है। इसके अतिरिक्त, यदि कोई हो $n+1$ पूर्णांक दिए गए हैं, उनके जोड़ीवार अंतर का गुणनफल ${\mathit {sf}}(n)$ सदैव का गुणज होता है ,और जब दी गई संख्याएँ निरंतर हों तो सुपरफैक्टोरियल के सामान्य होता है।

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W., "Superfactorial", MathWorld