K-फ़ंक्शन

For the k-function, see Bateman function.

गणित में,K-फ़ंक्शन, जिसे आमतौर पर K(z) कहा जाता है, [[हाइपरकारख़ाने का ]] से जटिल संख्याओं का एक सामान्यीकरण है, जो गामा फ़ंक्शन के लिए फ़ैक्टोरियल के सामान्यीकरण के समान है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, K-फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$K(z)=(2\pi )^{-{\frac {z-1}{2}}}\exp \left[{\binom {z}{2}}+\int _{0}^{z-1}\ln \Gamma (t+1)\,dt\right].$

इसे बंद रूप में भी दिया जा सकता है

$K(z)=\exp {\bigl [}\zeta '(-1,z)-\zeta '(-1){\bigr ]}$

कहाँ ζ′(z) रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दर्शाता है, ζ(a,z) हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन को दर्शाता है और

$\zeta '(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left.{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right|_{s=a}.$

बहुविवाह फ़ंक्शन का उपयोग करने वाली एक और अभिव्यक्ति है

$K(z)=\exp \left[\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln 2\pi \right]$

या सामान्यीकृत बहुविवाह फ़ंक्शन का उपयोग करना:

$K(z)=A\exp \left[\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\right]$

कहाँ A ग्लैशर स्थिरांक है।

गामा फ़ंक्शन के लिए बोहर-मोलेरुप प्रमेय | बोहर-मोलेरुप प्रमेय के समान, लॉग के-फ़ंक्शन अद्वितीय (एक योगात्मक स्थिरांक तक) अंततः समीकरण का 2-उत्तल समाधान है $\Delta f(x)=x\ln(x)$ कहाँ $\Delta$ फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर है।

गुण

इसके लिए यह दिखाया जा सकता है α > 0:

$\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx-\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx={\tfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\tfrac {1}{2}}\right)$

इसे किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करके दिखाया जा सकता है f ऐसा है कि:

$f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx$

इस पहचान को अब सम्मान के साथ अलग किया जा रहा है α पैदावार:

$f'(\alpha )=\ln K(\alpha +1)-\ln K(\alpha )$

लघुगणक नियम लागू करने पर हमें प्राप्त होता है

$f'(\alpha )=\ln {\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}$

की परिभाषा के अनुसार K-फ़ंक्शन हम लिखते हैं

$f'(\alpha )=\alpha \ln \alpha$

इसलिए

$f(\alpha )={\tfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\tfrac {1}{2}}\right)+C$

सेटिंग α = 0 अपने पास

$\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx=\lim _{t\rightarrow 0}\left[{\tfrac {1}{2}}t^{2}\left(\ln t-{\tfrac {1}{2}}\right)\right]+C\ =C$

अब कोई उपरोक्त पहचान का अनुमान लगा सकता है। K}-फ़ंक्शन गामा फ़ंक्शन और बार्न्स जी-फ़ंक्शन|बार्न्स से निकटता से संबंधित है G-समारोह; प्राकृतिक संख्याओं के लिए n, अपने पास

$K(n)={\frac {{\bigl (}\Gamma (n){\bigr )}^{n-1}}{G(n)}}.$

अधिक व्यावहारिक रूप से, कोई लिख सकता है

$K(n+1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}.$

प्रथम मान हैं

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (sequence A002109 in the OEIS).

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "K-Function". MathWorld.