गिनती का माप

गणित में, विशेष रूप से माप सिद्धांत में, गिनती माप किसी भी उपसमुच्चय (गणित) पर माप (गणित) लगाने का सही विधि है उपसमुच्चय का आकार उपसमुच्चय में तत्वों की संख्या के रूप में लिया जाता है यदि उपसमुच्चय में सीमित रूप से कई हैं तत्व, और अनंत प्रतीक या अनंत $\infty$ यदि उपसमुच्चय अनंत समुच्चय है।

गिनती के माप को किसी भी मापने योग्य स्पेस अर्थात, किसी भी समुच्चय पर परिभाषित किया जा सकता है $X$ सिग्मा-बीजगणित के साथ किन्तु इसका उपयोग अधिकतर गणनीय समुच्चय पर किया जाता है।

औपचारिक संकेतन में, हम किसी भी समुच्चय को बदल सकते हैं $X$ का पावर सेट लेकर मापने योग्य स्पेस में $X$ सिग्मा-बीजगणित के रूप में अर्थात्, $\Sigma ;$ के सभी उपसमुच्चय $X$ मापने योग्य समुच्चय हैं.

फिर इस मापने योग्य स्पेस $(X,\Sigma )$ पर गिनती का माप $\mu$, सकारात्मक माप है जिसे $\Sigma \to [0,+\infty ]$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

$$\mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{if }}A{\text{ is finite}}\\+\infty &{\text{if }}A{\text{ is infinite}}\end{cases}}$$

सभी के लिए $A\in \Sigma ,$ जहाँ $\vert A\vert$ समुच्चय $A.$ की प्रमुखता को दर्शाता है

$(X,\Sigma )$ पर गिनती का माप σ-परिमित है यदि और केवल यदि स्पेस $X$ गणनीय है।

चर्चा

गिनती का माप अधिक सामान्य निर्माण का विशेष स्थिति है। उपरोक्त संकेतन के साथ, कोई भी फलन $f:X\to [0,\infty )$ पर एक माप $\mu$ को $(X,\Sigma )$ परिभाषित करता है।

$$\mu (A):=\sum _{a\in A}f(a)\quad {\text{ for all }}A\subseteq X,$$

जहाँ वास्तविक संख्याओं के संभवतः असंख्य योग को सभी परिमित उपसमुच्चयों के योगों के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात,

$$\sum _{y\,\in \,Y\!\ \subseteq \,\mathbb {R} }y\ :=\ \sup _{F\subseteq Y,\,|F|<\infty }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.$$

ले रहा $f(x)=1$ सभी के लिए $x\in X$ गिनती का माप देता है.

$x\in X$ में सभी के लिए $f(x)=1$ लेने से गिनती का माप मिलता है।

यह भी देखें

• पिप (गिनती)
• फलन समुच्चय