किर्स्ज़ब्रौन प्रमेय

गणित में, विशेष रूप से वास्तविक विश्लेषण और कार्यात्मक विश्लेषण, किर्स्ज़ब्रौन प्रमेय कहता है कि यदि U कुछ हिल्बर्ट स्थान का एक उपसमुच्चय है H₁, और H₂ एक और हिल्बर्ट स्थान है, और

$f:U\rightarrow H_{2}$

एक लिप्सचित्ज़ निरंतरता है|लिप्सचित्ज़-निरंतर मानचित्र, फिर एक लिप्सचित्ज़-निरंतर मानचित्र है

$F:H_{1}\rightarrow H_{2}$

जो फैलता है f और लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के समान ही है f.

ध्यान दें कि यह परिणाम विशेष रूप से यूक्लिडियन स्थान स्थान पर लागू होता है Eⁿ और E^m, और इसी रूप में किर्स्ज़ब्राउन ने मूल रूप से प्रमेय तैयार किया और सिद्ध किया। उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट स्पेस का संस्करण (श्वार्ट्ज 1969, पृष्ठ 21) में पाया जा सकता है। अगर H₁ एक अलग करने योग्य स्थान है (विशेष रूप से, यदि यह एक यूक्लिडियन स्थान है) तो परिणाम ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में सत्य है; पूरी तरह से सामान्य मामले के लिए, इसे पसंद के सिद्धांत के कुछ रूप की आवश्यकता प्रतीत होती है; बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय को पर्याप्त माना जाता है। प्रमेय का प्रमाण हिल्बर्ट रिक्त स्थान की ज्यामितीय विशेषताओं का उपयोग करता है; बनच रिक्त स्थान के लिए संबंधित कथन सामान्य रूप से सत्य नहीं है, यहां तक ​​कि परिमित-आयामी बनच रिक्त स्थान के लिए भी नहीं। उदाहरण के लिए, प्रतिउदाहरण बनाना संभव है जहां डोमेन एक उपसमूह है $\mathbb {R} ^{n}$ समान मानदंड के साथ और $\mathbb {R} ^{m}$ यूक्लिडियन मानदंड रखता है। अधिक सामान्यतः, प्रमेय विफल रहता है $\mathbb {R} ^{m}$ किसी से सुसज्जित $\ell _{p}$ आदर्श ($p\neq 2$) (श्वार्ट्ज 1969, पृष्ठ 20)।

स्पष्ट सूत्र

एक के लिए $\mathbb {R}$-मूल्यवान फ़ंक्शन एक्सटेंशन द्वारा प्रदान किया जाता है ${\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}{\big (}f(u)+{\text{Lip}}(f)\cdot d(x,u){\big )},$ कहाँ ${\text{Lip}}(f)$ का लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक है $f$ पर U. सामान्य तौर पर, एक एक्सटेंशन के लिए भी लिखा जा सकता है $\mathbb {R} ^{m}$-मूल्यवान कार्यों के रूप में ${\tilde {f}}(x):=\nabla _{y}({\textrm {conv}}(g(x,y))(x,0)$ कहाँ $g(x,y):=\inf _{u\in U}\left\{\langle f(u),y\rangle +{\frac {{\text{Lip}}(f)}{2}}\|x-u\|^{2}\right\}+{\frac {{\text{Lip}}(f)}{2}}\|x\|^{2}+{\text{Lip}}(f)\|y\|^{2}$ और conv(g) g का निचला उत्तल आवरण है।

इतिहास

प्रमेय को मोजेज़ डेविड किर्स्ज़ब्राउन द्वारा सिद्ध किया गया था, और बाद में इसे फ्रेडरिक वैलेंटाइन द्वारा दोहराया गया था, जिन्होंने सबसे पहले यूक्लिडियन विमान के लिए इसे सिद्ध किया था। कभी-कभी इस प्रमेय को किर्स्ज़ब्रौन-वेलेंटाइन प्रमेय भी कहा जाता है।

बाहरी संबंध

• Kirszbraun theorem at Encyclopedia of Mathematics.