स्कॉट डोमेन

ऑर्डर सिद्धांत और डोमेन सिद्धांत के गणितीय क्षेत्रों में, स्कॉट डोमेन बीजगणितीय, परिबद्ध-पूर्ण सीपीओ है। इनका नाम डाना एस. स्कॉट के सम्मान में रखा गया है, जो डोमेन सिद्धांत के आगमन पर इन संरचनाओं का अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे। इस प्रकार स्कॉट डोमेन बीजगणितीय अक्षांशों से अधिक निकटता से संबंधित होते हैं, अतः केवल संभवतः सबसे बड़े तत्व की कमी के कारण भिन्न होते हैं। वह स्कॉट सूचना प्रणालियों से भी निकटता से संबंधित होता हैं, जो स्कॉट डोमेन का वाक्यात्मक प्रतिनिधित्व बनाते हैं।

जबकि उपरोक्त परिभाषा के साथ स्कॉट डोमेन शब्द का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, अतः "डोमेन" शब्द का ऐसा कोई सामान्यतः स्वीकृत अर्थ नहीं होता है और विभिन्न लेखक भिन्न-भिन्न परिभाषाओं का उपयोग करते है। इस प्रकार स्कॉट ने स्वयं उन संरचनाओं के लिए "डोमेन" का उपयोग किया, जिन्हें अब "स्कॉट डोमेन" कहा जाता है। इसके अतिरिक्त, स्कॉट डोमेन कुछ प्रकाशनों में "बीजगणितीय सेमीलैटिस" जैसे अन्य नामों के साथ दिखाई देते हैं।

मूल रूप से, दाना स्कॉट ने पूर्ण जाली की मांग की थी और रूसी गणितज्ञ यूरी येर्शोव ने पूर्ण आंशिक क्रम की आइसोमोर्फिक संरचना का निर्माण किया था। किन्तु लौह पर्दा के गिरने के पश्चात् वैज्ञानिक संचार में सुधार होने तक इसे मान्यता नहीं दी गई थी। इस प्रकार उनके कार्य के सम्मान में, अनेक गणितीय दस्तावेज़ अब इस मौलिक निर्माण को "स्कॉट-एर्शोव" डोमेन कहते हैं।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, गैर-रिक्त आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया समूह $(D,\leq )$ यदि निम्नलिखित होल्ड होता है, तब इसे स्कॉट डोमेन कहा जाता है।

• D पूर्ण आंशिक क्रम होता है, अर्थात् D के सभी निर्देशित उपसमुच्चय में सर्वोच्च होता है।
• D पूर्ण रूप से परिबद्ध होता है, अर्थात् D के सभी उपसमुच्चय जिनकी कुछ ऊपरी सीमा होती है, उनका सर्वोच्च होता है।
• D बीजगणितीय स्थिति है, अर्थात् प्रत्येक तत्व D को कॉम्पैक्ट तत्वों के निर्देशित समूह के सर्वोच्च के रूप में प्राप्त किया जा सकता है D.

गुण

चूँकि रिक्त समूह में निश्चित रूप से कुछ ऊपरी सीमा होती है, हम कम से कम तत्व के अस्तित्व का निष्कर्ष निकाल सकते हैं $\bot$ (रिक्त समुच्चय का सर्वोच्च) परिबद्ध पूर्णता से।

पूर्ण रूप से परिबद्ध होने का गुण सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चयों के न्यूनतम अस्तित्व के बराबर है D. यह सर्वविदित है कि सभी इन्फिमा का अस्तित्व सभी सुप्रीमा के अस्तित्व को दर्शाता है और इस प्रकार आंशिक रूप से व्यवस्थित समूह को पूर्ण जाली में परिवर्तित कर देता है। इस प्रकार, जब शीर्ष तत्व (रिक्त समूह का अधिकतम) स्कॉट डोमेन से जुड़ा होता है, तब कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है:

1. नया शीर्ष तत्व कॉम्पैक्ट है (चूंकि ऑर्डर पहले पूर्ण निर्देशित किया गया था) और
2. परिणामी स्थिति बीजगणितीय जाली होगी (अर्थात पूर्ण जाली जो बीजगणितीय है)।

परिणाम स्वरुप, स्कॉट डोमेन प्रकार से लगभग बीजगणितीय अक्षांश हैं। चूँकि, पूर्ण जाली से शीर्ष तत्व को हटाने से हमेशा स्कॉट डोमेन उत्पन्न नहीं होता है। (पूर्ण जाली पर विचार करें ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$. के परिमित उपसमुच्चय $\mathbb {N}$ निर्देशित समूह बनाएं, किन्तु इसमें कोई ऊपरी सीमा नहीं है ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\setminus \{\mathbb {N} \}$.)

स्कॉट निरंतरता का परिचय देकर स्कॉट डोमेन टोपोलॉजिकल स्पेस बन जाते हैं।

स्पष्टीकरण

स्कॉट डोमेन का उद्देश्य सूचना सामग्री द्वारा क्रमबद्ध आंशिक बीजगणितीय डेटा का प्रतिनिधित्व करना है। तत्व $x\in D$ डेटा का टुकड़ा है जिसे पूर्ण प्रकार से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। कथन $x\leq y$ साधन$y$ इसमें वह सारी जानकारी सम्मिलित है $x$ करता है ।

इस व्याख्या से हम देख सकते हैं कि सर्वोच्च $\bigvee X$ उपसमुच्चय का $X\subseteq D$ वह तत्व है जिसमें किसी भी तत्व की सारी जानकारी समाहित होती है $X$ सम्मिलित है, किन्तु अब और नहीं। स्पष्ट रूप से ऐसा सर्वोच्च केवल अस्तित्व में है (अर्थात्, समझ में आता है)। $X$ असंगत जानकारी सम्मिलित नहीं है; इसलिए डोमेन पूर्ण रूप से निर्देशित और परिबद्ध है, किन्तु आवश्यक नहीं कि सभी सर्वोच्च अस्तित्व में हों। बीजगणितीय सिद्धांत अनिवार्य रूप से यह सुनिश्चित करता है कि सभी तत्वों को उनकी सभी जानकारी (गैर-कड़ाई से) क्रम में नीचे से प्राप्त होती है; विशेष रूप से, सघन या परिमित से गैर-संक्षिप्त या अनंत तत्वों की ओर छलांग किसी भी अतिरिक्त जानकारी को गुप्त रूप से प्रस्तुत नहीं करती है जिसे किसी सीमित स्तर पर नहीं पहुँचा जा सकता है। निचला तत्व रिक्त समूह का सर्वोच्च है, अर्थात वह तत्व जिसमें कोई जानकारी नहीं है; इसका अस्तित्व सीमित पूर्णता से निहित है, जिससे कि, रिक्त रूप से, रिक्त समूह की किसी भी गैर-रिक्त स्थिति में ऊपरी सीमा होती है।

दूसरी ओर, अनंत $\bigwedge X$ वह तत्व है जिसमें सभी जानकारी सम्मिलित होती है जो सभी तत्वों द्वारा साझा की जाती है $X$, और कम नहीं. यदि $X$ इसमें कोई सुसंगत जानकारी नहीं है, तब इसके तत्वों में कोई सामान्य जानकारी नहीं है और इसलिए यह न्यूनतम है $\bot$. इस प्रकार सभी गैर-रिक्त इन्फिमा उपस्तिथ हैं, किन्तु सभी इन्फिमा आवश्यक रूप से रोचक नहीं हैं।

आंशिक डेटा के संदर्भ में यह परिभाषा बीजगणित को तेजी से अधिक परिभाषित आंशिक बीजगणित के अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देती है - दूसरे शब्दों में ऑपरेटर का निश्चित बिंदु जो बीजगणित में उत्तरोत्तर अधिक जानकारी जोड़ता है। अधिक जानकारी के लिए डोमेन सिद्धांत देखें।

उदाहरण

• प्रत्येक परिमित स्थिति पूर्ण और बीजगणितीय रूप से निर्देशित होती है। इस प्रकार कोई भी परिबद्ध-पूर्ण परिमित स्थिति तुच्छ रूप से स्कॉट डोमेन है।
• अतिरिक्त शीर्ष तत्व ω के साथ प्राकृतिक संख्याएँ बीजगणितीय जाली का निर्माण करती हैं, इसलिए स्कॉट डोमेन। इस दिशा में अधिक उदाहरणों के लिए, बीजगणितीय जालकों पर लेख देखें।
• वर्णमाला के सभी परिमित और अनंत शब्दों के समुच्चय पर विचार करें {0,1}, शब्दों पर उपसर्ग क्रम द्वारा क्रमबद्ध। इस प्रकार, शब्द w किसी शब्द से छोटा है v यदि w का उपसर्ग है v, अर्थात यदि कोई (सीमित या अनंत) शब्द है v' ऐसा है कि $wv'=v$. उदाहरण के लिए, $101\leq 10110$. रिक्त शब्द इस क्रम का निचला तत्व है और प्रत्येक निर्देशित समूह (जो हमेशा कुल क्रम होता है) को सरलता से सर्वोच्च माना जाता है। इसी प्रकार, व्यक्ति तुरंत बंधी हुई पूर्णता की पुष्टि करता है। चूँकि, परिणामी पोसमूह में निश्चित रूप से अनेक अधिकतम तत्वों वाले शीर्ष का अभाव है (जैसे 111... या 000...)। यह बीजगणितीय भी है, जिससे कि प्रत्येक परिमित शब्द सघन होता है और हम निश्चित रूप से परिमित शब्दों की श्रृंखला द्वारा अनंत शब्दों का अनुमान लगा सकते हैं। इस प्रकार यह स्कॉट डोमेन है जो बीजगणितीय जालक नहीं है।
• ऋणात्मक उदाहरण के लिए, इकाई अंतराल में वास्तविक संख्याओं पर विचार करें [0,1], उनके प्राकृतिक क्रम द्वारा आदेश दिया गया। यह परिबद्ध-पूर्ण सीपीओ बीजगणितीय नहीं है। वास्तव में इसका एकमात्र सघन तत्व 0 है।

साहित्य

डोमेन सिद्धांत के लिए दिया गया साहित्य देखें।

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