इकाई (रिंग सिद्धांत)

बीजगणित में एक इकाई या उलटा तत्व^{[lower-alpha 1]} रिंग का (गणित) रिंग के गुणन के लिए एक व्युत्क्रमणीय तत्व है। यानी एक तत्व $u$ एक अंगूठी का $R$ यदि मौजूद है तो एक इकाई है $v$ में $R$ ऐसा है कि

vu=uv=1,

कहाँ

1

गुणात्मक पहचान है; तत्व

v

इस गुण के लिए अद्वितीय है और इसे इसका गुणक व्युत्क्रम कहा जाता है

u

.^[1]^[2] की इकाइयों का सेट

R

एक समूह बनाता है (गणित)

R \times

गुणन के अंतर्गत इकाइयों का समूह या इकाई समूह कहा जाता है

R

.^{[lower-alpha 2]} इकाई समूह के लिए अन्य संकेतन हैं

R *

,

U(R)

, और

E(R)

(जर्मन शब्द से Einheit).

कम सामान्यतः, इकाई शब्द का प्रयोग कभी-कभी तत्व को संदर्भित करने के लिए किया जाता है $1$ रिंग का, यूनिट या यूनिट रिंग के साथ रिंग जैसे भावों में, और इकाई मैट्रिक्स भी। इस अस्पष्टता के कारण, $1$ को आमतौर पर एकता या अंगूठी की पहचान कहा जाता है, और एकता के साथ अंगूठी या पहचान के साथ अंगूठी वाक्यांशों का उपयोग इस बात पर जोर देने के लिए किया जा सकता है कि कोई एक आरएनजी (बीजगणित) के बजाय एक अंगूठी पर विचार कर रहा है।

उदाहरण

गुणात्मक पहचान $1$ और इसका योगात्मक व्युत्क्रम $-1$ सदैव इकाइयाँ होती हैं। अधिक सामान्यतः, एक वलय में एकता की कोई भी जड़ $R$ एक इकाई है: यदि $r n = 1$ , तब $r n - 1$ का गुणनात्मक व्युत्क्रम है $r$ . शून्य रिंग में, योगात्मक पहचान एक इकाई नहीं है, इसलिए $R \times$ जोड़ के अंतर्गत बंद नहीं है. एक शून्येतर वलय $R$ जिसमें प्रत्येक अशून्य तत्व एक इकाई है (अर्थात्, $R \times = R -{0}$ ) को विभाजन की अंगूठी (या स्क्यू-फ़ील्ड) कहा जाता है। क्रमविनिमेय विभाजन वलय को क्षेत्र (गणित) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का इकाई समूह $R$ है $R - {0}$ .

पूर्णांक वलय

पूर्णांकों के वलय में $Z$ , केवल इकाइयाँ हैं $1$ और $-1$ .

रिंग में $Z / n Z$ मॉड्यूलर अंकगणित#पूर्णांक मॉड्यूलो n|पूर्णांक मॉड्यूलो $n$ , इकाइयाँ सर्वांगसम वर्ग हैं $(mod n)$ पूर्णांक सहअभाज्य द्वारा दर्शाया गया है $n$ . वे पूर्णांक मॉड्यूलो के गुणक समूह का गठन करते हैं n|पूर्णांक मॉड्यूलो के गुणक समूह $n$ .

किसी संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों का वलय

रिंग में $Z [\sqrt 3]$ द्विघात पूर्णांक को संलग्न करके प्राप्त किया जाता है $\sqrt 3$ को $Z$ , किसी के पास $(2 + \sqrt 3)(2 - \sqrt 3) = 1$ , इसलिए $2 + \sqrt 3$ एक इकाई है, और उसकी शक्तियाँ भी वैसी ही हैं $Z [\sqrt 3]$ में अपरिमित रूप से अनेक इकाइयाँ हैं।

अधिक सामान्यतः, पूर्णांकों के वलय के लिए $R$ किसी संख्या फ़ील्ड में $F$ , डिरिक्लेट की इकाई प्रमेय यह बताती है $R \times$ समूह के लिए समरूपी है

 $\mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}$

कहाँ $\mu _{R}$ एकता की जड़ों का (परिमित, चक्रीय) समूह है $R$ और $n$ , इकाई समूह के एक मॉड्यूल की रैंक है

n=r_{1}+r_{2}-1,

कहाँ

r_{1},r_{2}

वास्तविक एम्बेडिंग की संख्या और जटिल एम्बेडिंग के जोड़े की संख्या हैं

F

, क्रमश।

यह ठीक हो जाता है $Z [\sqrt 3]$ उदाहरण: एक वास्तविक द्विघात क्षेत्र का इकाई समूह (पूर्णांकों का वलय) रैंक 1 का अनंत है, क्योंकि $r_{1}=2,r_{2}=0$ .

बहुपद और घात श्रृंखला

एक क्रमविनिमेय वलय के लिए $R$ , बहुपद वलय की इकाइयाँ $R [x]$ बहुपद हैं

p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}

ऐसा है कि

a_{0}

में एक इकाई है

R

और शेष गुणांक

a_{1},\dots ,a_{n}

शून्यशक्तिमान हैं, अर्थात् संतुष्ट हैं

a_{i}^{N}=0

कुछ एन के लिए^[4] विशेषकर, यदि

R

एक डोमेन (रिंग सिद्धांत) (या अधिक सामान्यतः कम रिंग) है, तो की इकाइयाँ

R [x]

की इकाइयाँ हैं

R

. विद्युत शृंखला की इकाइयाँ बजती हैं

R[[x]]

शक्ति श्रृंखला हैं

p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}

ऐसा है कि

a_{0}

में एक इकाई है

R

.^[5]

मैट्रिक्स रिंग

वलय का इकाई समूह $M n (R)$ वर्ग मैट्रिक्स का| $n \times n$ रिंग के ऊपर मैट्रिसेस $R$ समूह है $GL n (R)$ व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का। एक क्रमविनिमेय वलय के लिए $R$ , तत्व $A$ का $M n (R)$ व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि का निर्धारक $A$ में उलटा है $R$ . उस मामले में, $A -1$ को सहायक मैट्रिक्स के संदर्भ में स्पष्ट रूप से दिया जा सकता है।

सामान्य तौर पर

तत्वों के लिए $x$ और $y$ एक रिंग में $R$ , अगर $1-xy$ तो, उलटा है $1-yx$ व्युत्क्रम के साथ व्युत्क्रमणीय है $1+y(1-xy)^{-1}x$ ;^[6] इस सूत्र का अनुमान लगाया जा सकता है, लेकिन गैर-अनुवांशिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी में निम्नलिखित गणना द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है:

(1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.

समान परिणामों के लिए हुआ की पहचान देखें।

इकाइयों का समूह

एक क्रमविनिमेय वलय एक स्थानीय वलय है यदि $R - R \times$ एक अधिकतम आदर्श है.

जैसा कि यह पता चला है, यदि $R - R \times$ एक आदर्श है, तो यह आवश्यक रूप से एक अधिकतम आदर्श है और R स्थानीय वलय है क्योंकि एक अधिकतम आदर्श इससे असंबद्ध है $R \times$ .

अगर $R$ तो फिर एक सीमित क्षेत्र है $R \times$ क्रम का एक चक्रीय समूह है $|R|-1$ .

प्रत्येक वलय समरूपता $f : R \to S$ एक समूह समरूपता को प्रेरित करता है $R \times \to S \times$ , तब से $f$ इकाइयों को इकाइयों में मैप करता है। वास्तव में, इकाई समूह का गठन रिंगों की श्रेणी से लेकर समूहों की श्रेणी तक एक फ़नकार को परिभाषित करता है। इस फ़नकार में एक बायां जोड़ है जो अभिन्न समूह रिंग निर्माण है।^[7] समूह योजना $\operatorname {GL} _{1}$ गुणक समूह योजना के लिए समरूपी है $\mathbb {G} _{m}$ किसी भी आधार पर, किसी भी क्रमविनिमेय वलय के लिए $R$ , समूह $\operatorname {GL} _{1}(R)$ और $\mathbb {G} _{m}(R)$ विहित रूप से समरूपी हैं $U(R)$ . ध्यान दें कि फ़नकार $\mathbb {G} _{m}$ (वह है, $R\mapsto U(R)$ ) इस अर्थ में प्रस्तुत करने योग्य है: $\mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)$ क्रमविनिमेय छल्लों के लिए $R$ (उदाहरण के लिए, यह समूह रिंग निर्माण के साथ उपर्युक्त सहायक संबंध से अनुसरण करता है)। स्पष्ट रूप से इसका मतलब यह है कि रिंग होमोमोर्फिज्म के सेट के बीच एक प्राकृतिक आपत्ति है $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R$ और इकाई तत्वों का सेट $R$ (इसके विपरीत, $\mathbb {Z} [t]$ योगात्मक समूह का प्रतिनिधित्व करता है $\mathbb {G} _{a}$ , क्रमविनिमेय वलय की श्रेणी से एबेलियन समूहों की श्रेणी तक भुलक्कड़ फ़नकार)।

संबद्धता

लगता है कि $R$ क्रमविनिमेय है। तत्वों $r$ और $s$ का $R$ कहा जाता हैassociate यदि कोई इकाई मौजूद है $u$ में $R$ ऐसा है कि $r = us$ ; फिर लिखना $r \sim s$ . किसी भी वलय में योगात्मक व्युत्क्रम तत्वों के जोड़े होते हैं^{[lower-alpha 3]} $x$ और $- x$ संबद्ध तत्व हैं। उदाहरण के लिए, 6 और −6 सहयोगी हैं $Z$ . सामान्य रूप में, $~$ पर एक तुल्यता संबंध है $R$ .

संबद्धता को समूह क्रिया (गणित) के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है $R \times$ पर $R$ गुणन के माध्यम से: के दो तत्व $R$ सहयोगी हैं यदि वे उसी में हैं $R \times$ -ऑर्बिट (समूह सिद्धांत).

एक अभिन्न डोमेन में, किसी दिए गए गैर-शून्य तत्व के सहयोगियों के सेट में समान प्रमुखता होती है $R \times$ .

तुल्यता संबंध $~$ को ग्रीन के संबंधों में से किसी एक के रूप में देखा जा सकता है|ग्रीन के अर्धसमूह संबंध एक क्रमविनिमेय वलय के गुणक अर्धसमूह के लिए विशिष्ट हैं $R$ .

यह भी देखें

↑ The use of "invertible element" without specifying the operation is not ambiguous in the case of rings, since all elements of a ring are invertible for addition.
↑ The notation $R \times$ , introduced by André Weil, is commonly used in number theory, where unit groups arise frequently.^[3] The symbol × is a reminder that the group operation is multiplication. Also, a superscript × is not frequently used in other contexts, whereas a superscript * often denotes dual.
↑ $x$ and $- x$ are not necessarily distinct. For example, in the ring of integers modulo 6, one has $3 = -3$ even though $1 \neq -1$ .

उद्धरण

↑ Dummit & Foote 2004.
↑ Lang 2002.
↑ Weil 1974.
↑ Watkins (2007, Theorem 11.1)
↑ Watkins (2007, Theorem 12.1)
↑ Jacobson 2009, § 2.2. Exercise 4.
↑ Exercise 10 in § 2.2. of Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd ed.). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001.

स्रोत

Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). सार बीजगणित (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
Jacobson, Nathan (2009). बुनियादी बीजगणित 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
Lang, Serge (2002). बीजगणित. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.
Watkins, John J. (2007), Topics in commutative ring theory, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, MR 2330411
Weil, André (1974). मूल संख्या सिद्धांत. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 144 (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58655-5.

श्रेणी:1 (संख्या) श्रेणी:बीजगणितीय संख्या सिद्धांत श्रेणी:समूह सिद्धांत श्रेणी:रिंग सिद्धांत श्रेणी:तत्वों के बीजगणितीय गुण

[1] The use of "invertible element" without specifying the operation is not ambiguous in the case of rings, since all elements of a ring are invertible for addition.

[5] The notation $R \times$ , introduced by André Weil, is commonly used in number theory, where unit groups arise frequently.^[3] The symbol × is a reminder that the group operation is multiplication. Also, a superscript × is not frequently used in other contexts, whereas a superscript * often denotes dual.

[10] $x$ and $- x$ are not necessarily distinct. For example, in the ring of integers modulo 6, one has $3 = -3$ even though $1 \neq -1$ .

[FOOTNOTEDummitFoote2004-2] Dummit & Foote 2004.

[FOOTNOTELang2002-3] Lang 2002.

[FOOTNOTEWeil1974-4] Weil 1974.

[6] Watkins (2007, Theorem 11.1)

[7] Watkins (2007, Theorem 12.1)

[FOOTNOTEJacobson2009§_2.2._Exercise_4-8] Jacobson 2009, § 2.2. Exercise 4.

[9] Exercise 10 in § 2.2. of Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd ed.). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001.

[lower-alpha 1]

[1]

[2]

[lower-alpha 2]

[4]

[5]

[6]

[7]

[lower-alpha 3]

[3]

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