आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण

"Einstein equation" redirects here. For the equation $E=mc^{2}$, see Mass–energy equivalence.

सामान्य सापेक्षता में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (ईएफई; जिसे आइंस्टीन के समीकरणों के रूप में भी जाना जाता है) अंतरिक्ष-समय की ज्यामिति को पदार्थ के वितरण से संबंधित करते हैं # सामान्य सापेक्षता और इसके भीतर ब्रह्मांड विज्ञान में। समीकरणों को अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा 1915 में टेन्सर के रूप में प्रकाशित किया गया था जो स्थानीय से सम्बंधित हैspacetime curvature (आइंस्टीन टेंसर द्वारा व्यक्त) उस स्पेसटाइम के भीतर स्थानीय ऊर्जा, गति और तनाव के साथ (तनाव-ऊर्जा टेंसर द्वारा व्यक्त)।

जिस तरह से विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र मैक्सवेल के समीकरणों के माध्यम से चार्ज (भौतिकी) और विद्युत धाराओं के वितरण से संबंधित हैं, उसी तरह ईएफई स्पेसटाइम ज्यामिति को द्रव्यमान-ऊर्जा, गति और तनाव के वितरण से संबंधित करता है, यानी, वे मीट्रिक निर्धारित करते हैं स्पेसटाइम में तनाव-ऊर्जा-संवेग की दी गई व्यवस्था के लिए स्पेसटाइम का टेंसर (सामान्य सापेक्षता)। मीट्रिक टेंसर और आइंस्टीन टेंसर के बीच का संबंध इस तरह से उपयोग किए जाने पर ईएफई को गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के एक सेट के रूप में लिखने की अनुमति देता है। ईएफई के समाधान मीट्रिक टेंसर के घटक हैं। परिणामी ज्यामिति में कणों और विकिरण (सामान्य सापेक्षता में जियोडेसिक्स) के जड़त्वीय प्रक्षेप पथ की गणना जियोडेसिक समीकरण का उपयोग करके की जाती है।

स्थानीय ऊर्जा-संवेग संरक्षण को लागू करने के साथ-साथ, ईएफई एक कमजोर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और वेग की सीमा में न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम कर देता है जो प्रकाश की गति से बहुत कम है। ईएफई के लिए सटीक समाधान केवल स्पेसटाइम समरूपता जैसी सरलीकृत धारणाओं के तहत ही पाया जा सकता है। सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधानों की विशेष कक्षाओं का अक्सर अध्ययन किया जाता है क्योंकि वे कई गुरुत्वाकर्षण घटनाओं का मॉडल बनाते हैं, जैसे कि घूमते हुए ब्लैक होल और अंतरिक्ष का मीट्रिक विस्तार। मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष से केवल छोटे विचलन के रूप में स्पेसटाइम का अनुमान लगाने में और सरलीकरण प्राप्त किया गया है, जिससे रेखीयकृत गुरुत्वाकर्षण#रैखिकीकृत आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण प्राप्त होते हैं। इन समीकरणों का उपयोग गुरुत्वाकर्षण तरंगों जैसी घटनाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

गणितीय रूप

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (ईएफई) को इस रूप में लिखा जा सकता है:

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

आगे होना , नीदरलैंड में एक दीवार पर EFE

कहाँ $G_{\mu \nu }$ आइंस्टीन टेंसर है, $g_{\mu \nu }$ मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) है, $T_{\mu \nu }$ तनाव-ऊर्जा टेंसर है, $\Lambda$ ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक है और $\kappa$ आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है.

आइंस्टीन टेंसर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },$

कहाँ R_μν रिक्की वक्रता है, और R अदिश वक्रता है. यह एक सममित द्वितीय-डिग्री टेंसर है जो केवल मीट्रिक टेंसर और इसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव पर निर्भर करता है।

आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.076647442844\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},$

कहाँ G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है और c निर्वात में प्रकाश की गति है।

इस प्रकार EFE को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.$

मानक इकाइयों में, बाईं ओर के प्रत्येक पद में 1/लंबाई की इकाइयाँ होती हैं².

बाईं ओर की अभिव्यक्ति मीट्रिक द्वारा निर्धारित स्पेसटाइम की वक्रता को दर्शाती है; दाईं ओर की अभिव्यक्ति स्पेसटाइम की तनाव-ऊर्जा-संवेग सामग्री का प्रतिनिधित्व करती है। फिर ईएफई की व्याख्या समीकरणों के एक सेट के रूप में की जा सकती है जो यह बताता है कि तनाव-ऊर्जा-संवेग स्पेसटाइम की वक्रता को कैसे निर्धारित करता है।

ये समीकरण, जियोडेसिक (सामान्य सापेक्षता) के साथ मिलकर, जो यह निर्धारित करता है कि स्वतंत्र रूप से गिरता हुआ पदार्थ स्पेसटाइम के माध्यम से कैसे चलता है, सामान्य सापेक्षता के सामान्य सापेक्षता के गणित का मूल बनता है।

ईएफई सममित टेंसर | सममित 4 × 4 टेंसर के एक सेट से संबंधित एक टेंसर समीकरण है। प्रत्येक टेंसर में 10 स्वतंत्र घटक होते हैं। चार बियांची पहचानें स्वतंत्र समीकरणों की संख्या को 10 से घटाकर 6 कर देती हैं, जिससे मीट्रिक में चार गेज फिक्सिंग|गेज-फिक्सिंग स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) रह जाती है, जो एक समन्वय प्रणाली चुनने की स्वतंत्रता के अनुरूप होती है।

हालाँकि आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण शुरू में चार-आयामी सिद्धांत के संदर्भ में तैयार किए गए थे, कुछ सिद्धांतकारों ने उनके परिणामों का पता लगाया है n आयाम. सामान्य सापेक्षता के बाहर के संदर्भों में समीकरणों को अभी भी आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के रूप में जाना जाता है। निर्वात क्षेत्र समीकरण (जब प्राप्त होता है T_μν हर जगह शून्य है) आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स को परिभाषित करें।

समीकरण जितने दिखते हैं उससे कहीं अधिक जटिल हैं। तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप में पदार्थ और ऊर्जा के एक निर्दिष्ट वितरण को देखते हुए, ईएफई को मीट्रिक टेंसर के लिए समीकरण समझा जाता है $g_{\mu \nu }$, चूंकि रिक्की टेंसर और स्केलर वक्रता दोनों जटिल गैर-रेखीय तरीके से मीट्रिक पर निर्भर करते हैं। जब पूरी तरह से लिखा जाता है, तो ईएफई दस युग्मित, गैर-रेखीय, हाइपरबोलिक-अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली है।

संकेत परिपाटी

ईएफई का उपरोक्त रूप ग्रेविटेशन (पुस्तक)|मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर (एमटीडब्ल्यू) द्वारा स्थापित मानक है। लेखकों ने मौजूद परंपराओं का विश्लेषण किया और इन्हें तीन संकेतों ([एस1] [एस2] [एस3]) के अनुसार वर्गीकृत किया:

$${\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}$$

उपरोक्त तीसरा चिन्ह रिक्की टेंसर के लिए कन्वेंशन की पसंद से संबंधित है:

$$R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }$$

इन परिभाषाओं के साथ ग्रेविटेशन (पुस्तक)|मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर स्वयं को इस प्रकार वर्गीकृत करते हैं (+ + +), जबकि वेनबर्ग (1972) है (+ − −), पीबल्स (1980) और एफ़स्टैथिउ एट अल। (1990) हैं (− + +), रिंडलर (1977), एटवाटर (1974), कोलिन्स मार्टिन एंड स्क्वॉयर (1989) और मोर (1999) हैं (− + −).

आइंस्टीन समेत लेखकों ने रिक्की टेंसर के लिए अपनी परिभाषा में एक अलग संकेत का उपयोग किया है जिसके परिणामस्वरूप दाईं ओर स्थिरांक का संकेत नकारात्मक होता है:

$$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.$$

ब्रह्माण्ड संबंधी शब्द का चिन्ह इन दोनों संस्करणों में बदल जाएगा यदि (+ − − −) एमटीडब्ल्यू के बजाय मीट्रिक संधिपत्र पर हस्ताक्षर करें का उपयोग किया जाता है (− + + +) मीट्रिक साइन कन्वेंशन यहां अपनाया गया।

समतुल्य सूत्रीकरण

ईएफई के दोनों पक्षों की अदिश वक्रता#परिभाषा लेने पर एक प्राप्त होता है

$$R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,$$

कहाँ D स्पेसटाइम आयाम है। के लिए समाधान R और इसे मूल ईएफई में प्रतिस्थापित करने पर, निम्नलिखित समकक्ष ट्रेस-उलटा फॉर्म प्राप्त होता है:

$$R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).$$

में D = 4 आयाम यह कम हो जाता है

$$R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).$$

ट्रेस को फिर से उलटने से मूल ईएफई बहाल हो जाएगा। कुछ मामलों में ट्रेस-रिवर्स्ड फॉर्म अधिक सुविधाजनक हो सकता है (उदाहरण के लिए, जब कोई कमजोर-फ़ील्ड सीमा में रुचि रखता है और प्रतिस्थापित कर सकता है) $g_{\mu \nu }$ सटीकता के महत्वपूर्ण नुकसान के बिना मिन्कोवस्की मीट्रिक के साथ दाईं ओर की अभिव्यक्ति में)।

ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक

Main article: Cosmological constant

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में

$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,$$

ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक वाला शब्द Λ उस संस्करण से अनुपस्थित था जिसमें उन्होंने मूल रूप से उन्हें प्रकाशित किया था। फिर आइंस्टीन ने स्थिर ब्रह्मांड की अनुमति देने के लिए इस शब्द को ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के साथ शामिल किया। यह प्रयास असफल रहा क्योंकि:

• इस समीकरण द्वारा वर्णित कोई भी वांछित स्थिर अवस्था समाधान अस्थिर है, और
• एडविन हबल के अवलोकनों से पता चला कि हमारा ब्रह्माण्ड एक विस्तारित ब्रह्माण्ड है।

फिर आइंस्टीन ने त्याग दिया Λ, जॉर्ज गामो से टिप्पणी करते हुए कहा कि ब्रह्माण्ड संबंधी शब्द का परिचय उनके जीवन की सबसे बड़ी भूल थी। इस शब्द के शामिल होने से विसंगतियाँ पैदा नहीं होती हैं। कई वर्षों तक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक को लगभग सार्वभौमिक रूप से शून्य माना गया था। हाल के खगोल विज्ञान अवलोकनों से पता चला है कि ब्रह्मांड का तेजी से विस्तार हो रहा है, और इसे समझाने के लिए इसका एक सकारात्मक मूल्य है Λ ज़रूरी है। किसी आकाशगंगा या उससे छोटी आकाशगंगा के पैमाने पर ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक नगण्य है।

आइंस्टीन ने ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक को एक स्वतंत्र पैरामीटर के रूप में सोचा था, लेकिन क्षेत्र समीकरण में इसके शब्द को बीजगणितीय रूप से दूसरी तरफ भी ले जाया जा सकता है और तनाव-ऊर्जा टेंसर के हिस्से के रूप में शामिल किया जा सकता है:

$$T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.$$

यह टेंसर निर्वात ऊर्जा के साथ निर्वात अवस्था का वर्णन करता है ρ_vac और आइसोट्रोपिक दबाव p_vac जो निश्चित स्थिरांक हैं और द्वारा दिए गए हैं

$$\rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},$$

जहाँ ऐसा माना जाता है Λ में SI इकाई m है⁻² और κ को ऊपर बताए अनुसार परिभाषित किया गया है।

इस प्रकार ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक का अस्तित्व निर्वात ऊर्जा और विपरीत चिह्न के दबाव के अस्तित्व के बराबर है। इसके कारण सामान्य सापेक्षता में ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक और निर्वात ऊर्जा शब्दों का परस्पर उपयोग किया जाने लगा है।

सुविधाएँ

ऊर्जा और संवेग का संरक्षण

सामान्य सापेक्षता ऊर्जा और संवेग के स्थानीय संरक्षण के अनुरूप है

$$\nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.$$

Derivation of local energy–momentum conservation

Contracting the differential Bianchi identity

$$R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0$$

with g^αβ gives, using the fact that the metric tensor is covariantly constant, i.e. g^αβ_;γ = 0,

$${R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+{R^{\gamma }}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

The antisymmetry of the Riemann tensor allows the second term in the above expression to be rewritten:

$${R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

which is equivalent to

$$R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

using the definition of the Ricci tensor.

Next, contract again with the metric

$$g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\right)=0$$

to get

$${R^{\delta }}_{\delta ;\varepsilon }-{R^{\delta }}_{\varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma \delta }}_{\delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

The definitions of the Ricci curvature tensor and the scalar curvature then show that

$$R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0$$

which can be rewritten as

$$\left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_{;\gamma }=0$$

A final contraction with g^εδ gives

$$\left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R\right)_{;\gamma }=0$$

which by the symmetry of the bracketed term and the definition of the Einstein tensor, gives, after relabelling the indices,

$${G^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0$$

Using the EFE, this immediately gives,

$$\nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0$$

जो तनाव-ऊर्जा के स्थानीय संरक्षण को व्यक्त करता है। यह संरक्षण कानून एक भौतिक आवश्यकता है। अपने क्षेत्र समीकरणों से आइंस्टीन ने यह सुनिश्चित किया कि सामान्य सापेक्षता इस संरक्षण स्थिति के अनुरूप है।

अरैखिकता

ईएफई की गैर-रैखिकता सामान्य सापेक्षता को कई अन्य मौलिक भौतिक सिद्धांतों से अलग करती है। उदाहरण के लिए, मैक्सवेल के विद्युत चुंबकत्व के समीकरण विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र और चार्ज और वर्तमान वितरण में रैखिक हैं (यानी दो समाधानों का योग भी एक समाधान है); एक अन्य उदाहरण श्रोडिंगर का क्वांटम यांत्रिकी का समीकरण है, जो तरंग तरंग क्रिया में रैखिक है।

पत्राचार सिद्धांत

ईएफई कमजोर-क्षेत्र सन्निकटन और धीमी गति सन्निकटन दोनों का उपयोग करके न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम करता है। वास्तव में, स्थिरांक G ईएफई में प्रदर्शित होना इन दो अनुमानों को बनाकर निर्धारित किया जाता है।

Derivation of Newton's law of gravity

Newtonian gravitation can be written as the theory of a scalar field, Φ, which is the gravitational potential in joules per kilogram of the gravitational field g = −∇Φ, see Gauss's law for gravity

$$\nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)$$

where ρ is the mass density. The orbit of a free-falling particle satisfies

$${\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla \Phi \left({\vec {x}}(t),t\right)\,.$$

In tensor notation, these become

$${\begin{aligned}\Phi _{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-\Phi _{,i}\,.\end{aligned}}$$

In general relativity, these equations are replaced by the Einstein field equations in the trace-reversed form

$$R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)$$

for some constant, K, and the geodesic equation

$${\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.$$

To see how the latter reduces to the former, we assume that the test particle's velocity is approximately zero

$${\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)$$

and thus

$${\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0$$

and that the metric and its derivatives are approximately static and that the squares of deviations from the Minkowski metric are negligible. Applying these simplifying assumptions to the spatial components of the geodesic equation gives

$${\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}$$

where two factors of dt/dτ have been divided out. This will reduce to its Newtonian counterpart, provided

$$\Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha }\left(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.$$

Our assumptions force α = i and the time (0) derivatives to be zero. So this simplifies to

$$2\Phi _{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\right)\approx -g_{00,i}\,$$

which is satisfied by letting

$$g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.$$

Turning to the Einstein equations, we only need the time-time component

$$R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)$$

the low speed and static field assumptions imply that

$$T_{\mu \nu }\approx \operatorname {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \operatorname {diag} \left(\rho c^{4},0,0,0\right)\,.$$

So

$$T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,$$

and thus

$$K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}\,.$$

From the definition of the Ricci tensor

$$R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.$$

Our simplifying assumptions make the squares of Γ disappear together with the time derivatives

$$R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.$$

Combining the above equations together

$$\Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}$$

which reduces to the Newtonian field equation provided

$${\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,$$

which will occur if

$$K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.$$

निर्वात क्षेत्र समीकरण

1979 का एक स्विस स्मारक सिक्का, शून्य ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक (शीर्ष) के साथ निर्वात क्षेत्र समीकरण दर्शाता है।

यदि ऊर्जा-संवेग टेंसर {{mvar|T_μν}विचाराधीन क्षेत्र में } शून्य है, तो फ़ील्ड समीकरणों को फ़ील्ड समीकरण#वैक्यूम फ़ील्ड समीकरण भी कहा जाता है। व्यवस्थित करके T_μν = 0 #समतुल्य योगों|ट्रेस-उलट क्षेत्र समीकरणों में, निर्वात क्षेत्र समीकरण, जिन्हें 'आइंस्टीन वैक्यूम समीकरण' (ईवीई) के रूप में भी जाना जाता है, को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$R_{\mu \nu }=0\,.$$

शून्येतर ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के मामले में, समीकरण हैं

$$R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.$$

निर्वात क्षेत्र समीकरणों के समाधान को निर्वात समाधान (सामान्य सापेक्षता) कहा जाता है। फ़्लैट मिन्कोव्स्की स्थान निर्वात समाधान का सबसे सरल उदाहरण है। गैर-तुच्छ उदाहरणों में श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान और केर समाधान शामिल हैं।

लुप्त हो रहे रिक्की टेंसर के साथ विविध ्स, R_μν = 0, रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड्स के रूप में संदर्भित होते हैं और आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स के रूप में मीट्रिक के आनुपातिक रिक्की टेंसर के साथ मैनिफोल्ड्स होते हैं।

आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण

See also: Maxwell's equations in curved spacetime

यदि ऊर्जा-संवेग टेंसर T_μν मुक्त स्थान में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का है, अर्थात यदि विद्युत चुम्बकीय तनाव-ऊर्जा टेंसर

$$T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)$$

प्रयोग किया जाता है, तो आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों को आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण (ब्रह्मांड संबंधी स्थिरांक के साथ) कहा जाता है Λ, पारंपरिक सापेक्षता सिद्धांत में शून्य माना जाता है):

$$G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).$$

इसके अतिरिक्त, इलेक्ट्रोमैग्नेटिक टेंसर#फ़ील्ड टेंसर और सापेक्षता भी मुक्त स्थान में लागू होते हैं:

$${\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0.\end{aligned}}$$

जहां अर्धविराम एक सहसंयोजक व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है, और कोष्ठक बाहरी बीजगणित को दर्शाता है#वैकल्पिक टेंसर बीजगणित|एंटी-सममितिकरण। पहला समीकरण यह दावा करता है कि 2-रूप का 4-विचलन F शून्य है, और दूसरी बात यह कि इसका बाह्य अवकलज शून्य है। उत्तरार्द्ध से, यह पोंकारे लेम्मा का अनुसरण करता है कि एक समन्वय चार्ट में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र क्षमता पेश करना संभव है A_α ऐसा है कि

$$F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }$$

जिसमें अल्पविराम आंशिक अवकलज को दर्शाता है। इसे अक्सर सहसंयोजक मैक्सवेल समीकरण के समतुल्य माना जाता है जिससे यह प्राप्त होता है। हालाँकि, समीकरण के वैश्विक समाधान हैं जिनमें विश्व स्तर पर परिभाषित क्षमता का अभाव हो सकता है।

समाधान

Main article: Solutions of the Einstein field equations

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान स्पेसटाइम के मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) हैं। ये मेट्रिक्स स्पेसटाइम में वस्तुओं की जड़त्वीय गति सहित स्पेसटाइम की संरचना का वर्णन करते हैं। चूंकि फ़ील्ड समीकरण गैर-रैखिक होते हैं, इसलिए उन्हें हमेशा पूरी तरह से हल नहीं किया जा सकता है (अर्थात अनुमान लगाए बिना)। उदाहरण के लिए, दो विशाल पिंडों वाले स्पेसटाइम के लिए कोई ज्ञात पूर्ण समाधान नहीं है (उदाहरण के लिए, जो बाइनरी स्टार सिस्टम का एक सैद्धांतिक मॉडल है)। हालाँकि, आमतौर पर इन मामलों में अनुमान लगाए जाते हैं। इन्हें आमतौर पर पोस्ट-न्यूटोनियन सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। फिर भी, ऐसे कई मामले हैं जहां क्षेत्र समीकरण पूरी तरह से हल हो गए हैं, और उन्हें सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान कहा जाता है।

आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधानों का अध्ययन भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान की गतिविधियों में से एक है। यह ब्लैक होल की भविष्यवाणी और ब्रह्मांड के विकास के विभिन्न मॉडलों की ओर ले जाता है।

एलिस और मैक्कलम द्वारा प्रवर्तित ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम की विधि के माध्यम से आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के नए समाधान भी खोजे जा सकते हैं। इस दृष्टिकोण में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण युग्मित, गैर-रेखीय, साधारण अंतर समीकरणों के एक सेट में बदल जाते हैं। जैसा कि सू और वेनराइट ने चर्चा की, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के स्व-समान समाधान परिणामी गतिशील प्रणाली के निश्चित बिंदु हैं। लेब्लांक द्वारा इन विधियों का उपयोग करके नए समाधान खोजे गए हैं और कोहली और हसलाम.

रेखीयकृत EFE

Main article: Linearized gravity

ईएफई की गैर-रैखिकता सटीक समाधान ढूंढना कठिन बना देती है। क्षेत्र समीकरणों को हल करने का एक तरीका एक अनुमान लगाना है, अर्थात्, गुरुत्वाकर्षण पदार्थ के स्रोत (स्रोतों) से दूर, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र बहुत कमजोर है और अंतरिक्ष-समय मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के करीब है। फिर मीट्रिक को मिन्कोव्स्की मीट्रिक के योग के रूप में लिखा जाता है और उच्च-शक्ति शब्दों को अनदेखा करते हुए, मिन्कोव्स्की मीट्रिक से वास्तविक मीट्रिक के विचलन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक शब्द होता है। इस रैखिककरण प्रक्रिया का उपयोग गुरुत्वाकर्षण विकिरण की घटनाओं की जांच के लिए किया जा सकता है।

बहुपद रूप

ईएफई के लिखित रूप में मीट्रिक टेंसर के व्युत्क्रम के बावजूद, उन्हें ऐसे रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है जिसमें मीट्रिक टेंसर बहुपद रूप में और इसके व्युत्क्रम के बिना होता है। सबसे पहले, 4 आयामों में मीट्रिक के निर्धारक को लिखा जा सकता है

$$\det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }$$

लेवी-सिविटा प्रतीक का उपयोग करना; और 4 आयामों में मीट्रिक का व्युत्क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.$$

मीट्रिक के व्युत्क्रम की इस परिभाषा को समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हुए दोनों पक्षों को उपयुक्त घात से गुणा करें det(g) इसे हर से हटाने पर मीट्रिक टेंसर और इसके पहले और दूसरे व्युत्पन्न में बहुपद समीकरण बनते हैं। जिस क्रिया से समीकरण प्राप्त होते हैं उसे क्षेत्रों की उपयुक्त पुनर्परिभाषाओं द्वारा बहुपद रूप में भी लिखा जा सकता है।

यह भी देखें

• संरूपस्थिक स्पेसटाइम
• आइंस्टीन-हिल्बर्ट कार्रवाई
• समतुल्यता सिद्धांत
• सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान
• सामान्य सापेक्षता संसाधन
• सामान्य सापेक्षता का इतिहास
• हैमिल्टन-जैकोबी-आइंस्टीन समीकरण
• सामान्य सापेक्षता का गणित
• संख्यात्मक सापेक्षता
• घुंघराले कलन

संदर्भ

See General relativity resources.

• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0.
• Weinberg, Steven (1972). Gravitation and Cosmology. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-92567-5.
• Peacock, John A. (1999). Cosmological Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0521410724.

बाहरी संबंध

• "Einstein equations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Caltech Tutorial on Relativity — A simple introduction to Einstein's Field Equations.
• The Meaning of Einstein's Equation — An explanation of Einstein's field equation, its derivation, and some of its consequences
• Video Lecture on Einstein's Field Equations by MIT Physics Professor Edmund Bertschinger.
• Arch and scaffold: How Einstein found his field equations Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations

बाहरी छवियाँ

• डाउनटाउन में संग्रहालय बोएरहावे की दीवार पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण लीडेन
• सुज़ैन इम्बर, अटाकामा रेगिस्तान पर सामान्य सापेक्षता का प्रभाव, बोलीविया में एक ट्रेन के किनारे पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण।

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